Vorlesung Modelle der Mengenlehre
WS 2020/21
Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik

Diese Vertiefungsveranstaltung in Mathematischer Logik und Mengenlehre wendet sich an Studierende, die die Wahlpflichtveranstaltung Mathematische Logik & Mengenlehre des Bachelorstudiiums erfolgreich abgeschlossen haben. In der Bachelorvorlesung haben wir die Grundbegriffe der mathematischen Logik und Mengenlehre kennengelernt. In dieser Vorlesung wenden wir nun die Erkenntnisse des Gödelschen Vollständigkeitssatzes auf das Axiomensystem der Mengenlehre an. Unter anderem wollen wir behandeln:

1. Grundbegriffe der Modelltheorie (elementare Äquivalenz, elementare Substruktur, Tarski-Vaught-Kriterium, Skolemhülle),
2. genaueres Studium der Kardinalzahlen (singuläre und reguläre Kardinalzahlen, unerreichbare Kardinalzahlen),
3. Konstruktion von Modellen von ZFC unter starken Annahmen (Satz von Shepherdson),
4. Zusammenhang zwischen Modellen von ZFC und unerreichbaren Kardinalzahlen.

Der Stoff der Vorlesung kann voraussichtlich im Sommersemester 2021 mit einem Seminar über große Kardinalzahlen fortgesetzt werden.

Das Buch Einführung in die Mathematische Logik von Heinz Ebbinghaus, Jörg Flum und Wolfgang Thomas ist über die Bibliothek der Universität Hamburg als e-book verfügbar.

Die zur Verfügung gestellte pdf-Datei enthält Kapitel 1 und die relevanten Teile von Kapitel 2 des Buchs Model Theory von Marker. Dieser Auszug besteht aus weniger als 15% des gesamten Buchs und darf gemäß §60a UrhG den Teilnehmern der Vorlesung zum Zwecke der Lehre zur Verfügung gestellt werden.

§1 Unabhängigkeit in der Mengenlehre. Kardinalzahlen, Nachfolger- und Limeskardinalzahlen. Satz von Hessenberg (kein Beweis, s. Gruppenarbeit #1). Reguläre und singuläre Kardinalzahlen. Nachfolgerkardinalzahlen sind regulär. Schwach unerreichbare Kardinalzahlen. Motivierende Frage: Kann man die Existenz schwach unerreichbarer Kardinalzahlen in ZFC beweisen? (Kurze Diskussion von Aleph-Fixpunkten und ihrem Zusammenhang mit Unerreichbarkeit.)

§2 Erinnerung: Vollständigkeit & Kompaktheit. Vollständigkeits- und Kompaktheitssatz. Anwendungen: die Klasse der endlichen S-Strukturen ist nicht axiomatisierbar; jede axiomatisierbare Klasse von Strukturen, die beliebig große endliche Elemente hat, hat ein unendliches Element; für jedes κ und jede widerspruchsfreie Menge von Sätzen mit einem unendlichen Modell gibt es ein Modell mit mindestens κ vielen Elementen. Konsequenz: Unendliche Modelle können nicht bis auf Isomorphie charakterisiert werden, z.B. das Standardmodell der Arithmetik.

§3 Erinnerung: Löwenheim-Skolem-Sätze. Erinnerung an den Beweis des Vollständigkeitssatzes über Henkins Lemma: die Größe des Termmodells (ggf. in der erweiterten Sprache, die man für das Enthalten von Beispielen in Henkins Lemma braucht). Absteigender Satz von Löwenheim & Skolem. Konsequenz: Es gibt abzählbare Modelle der Theorie der reellen Zahlen. Aufsteigender Satz von Löwenheim & Skolem.

Gruppenarbeit #1. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe per Videokonferenz (oder, wenn Sie es vorziehen, persönlich, unter Einhaltung der Hygienemaßregeln der Universität Hamburg), um gemeinsam einen Übungszettel mit Arbeitsanweisungen durchzuarbeiten. Die pdf-Datei mit den Arbeitsanweisungen finden Sie unten. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" (also z.B. "5. November 2020, mit Jane Public") eingeben. pdf-Datei.

Zweite Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§4 Weitere Grundbegriffe der Modelltheorie. Theorien, die Theorie einer Struktur, vollständige Theorien. Kategorizität und < κ-Kategorizizät. Der Vaught-Test. Beispiele: die Theorie der Mengen ist κ-kategorisch für jedes unendliche κ (aber nicht vollständig); die Theorie der unendlichen Mengen ist vollständig; die Theorie IIEC der Äquivalenzrelationen mit unendlichen unendlich großen Äquivalenzklassen ist abzählbar kategorisch und vollständig, aber nicht überabzählbar kategorisch. Einbettungen, Isomorphismen, elementare Einbettungen. Erinnerungen an das Isomorphielemma und das Substrukturlemma. Elementaräquivalenz. Trennung der Begriffe durch Beispiele.

Gruppenarbeit #2. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" (also z.B. "16. November 2020, mit Jane Public") eingeben. pdf-Datei.

Dritte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§5 Verbesserte Löwenheim-Skolem-Theoreme. Das atomare und das elementare Diagramm einer Struktur; Diagramme und Unterstrukturen. Aufsteigender Löwenheim-Skolem: jede unendliche Struktur ist elementare Unterstruktur einer Struktur beliebig großer Kardinalität. Der Tarski-Vaught-Test. Skolemfunktionen und ihre Existenz (unter Verwendung des Auswahlaxioms). Die Skolemhülle; elementare Unterstruktur; Kardinalität der Skolemhülle. Absteigender Löwenheim-Skolem: jede unendliche Struktur hat elementare Unterstrukturen. Beispiel: Skolemhüllen in den reellen Zahlen (vgl.

§6 Konfinalität. Begriff der Konfinalität und elementare Eigenschaften.

Gruppenarbeit #3. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" (also z.B. "23. November 2020, mit Jane Public") eingeben. pdf-Datei.

Vierte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§6 Konfinalität. Konfinalität von Limeskardinalzahlen. Normale Ordinalzahloperatoren und Existenz von Fixpunkten. Der kleinste Fixpunkt hat abzählbare Konfinalität. Die Aleph-Operation und Aleph-Fixpunkte. Schwach unerreichbare Kardinalzahlen sind Aleph-Fixpunkte. Starke Limiten und (stark) unerreichbare Kardinalzahlen. Die Beth-Operation. Stark unerreichbare Kardinalzahlen sind Beth-Fixpunkte (vgl. Gruppenarbeit #4).

§7 Die kumulative Hierarchie. Definition und grundlegende Eigenschaften. Mirimanoff-Rang und grundlegende Eigenschaften.

Gruppenarbeit #4. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" (also z.B. "30. November 2020, mit Jane Public") eingeben. pdf-Datei.

Fünfte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§7 Die kumulative Hierarchie. Berechnung des Mirimanoffrangs einiger Mengen. Extensionalitätsaxiom in transitiven Mengen. Die Axiome von FST in Limesrängen der von Neumann-Hierarchie. Absolutheit von Formeln. Das Unendlichkeitsaxiom. Metamathematik: ZF ist stärker als Z. Konkrete Gegenbeispiele zum Ersetzungsaxiom in den von Neumann-Rängen ω+ω und ω₁. Unerreichbare Kardinalzahlen und ZF in dem von Neumann-Rang κ.<

Gruppenarbeit #5. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" (also z.B. "6. Dezember 2020, mit Jane Public") eingeben. pdf-Datei.

Sechste Vorlesung (vertreten durch Herrn Wansner). Vorlesungsnotizen.

§8 Andere große Kardinalzahlen und ihre Unerreichbarkeit. Meßbare Kardinalzahlen: Filter, Ultrafilter, Vollständigkeit. Satz von Ulam: jede meßbare Kardinalzahl ist unerreichbar. Partitionskardinalzahlen: Färbungen, homogene Mengen, schwache Kompaktheit. Satz von Erdös: jede schwach kompakte Kardinalzahl ist unerreichbar.

Gruppenarbeit #6. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" eingeben. pdf-Datei.

Siebte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§9 Weltliche Kardinalzahlen & Lévy-Paare. Weltliche Kardinalzahlen. Unterhalb von jeder unerreichbaren Kardinalzahl gibt es eine weltliche Kardinalzahl: modifiziertes Skolem-Hüllenargument. Lévy-Paare und einige modelltheoretische Eigenschaften. Obere Lévy-Zahlen müssen nicht immer unerreichbar sein. Abschlußeigenschaften der Menge der unteren Lévy-Zahlen. Starke Lévy-Paare und ihre Existenz unter Annahme einer unerreichbaren Kardinalzahl.

Gruppenarbeit #7.

Achte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§9 Weltliche Kardinalzahlen & Lévy-Paare. Wiederholung: Notwendigkeit der Voraussetzung der Unerreichbarkeit im Beweis aus Vorlesung VII; Weltlichkeit impliziert, daß eine Ordinalzahl eine Kardinalzahl ist. Starke Lévy-Paare und der Satz von Lévy mit Beweis.

§10 Ultraprodukte. Produkte von Strukturen und Erhaltung von Eigenschaften unter Produkten.

Gruppenarbeit #8. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" eingeben. pdf-Datei.

Neunte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§10 Ultraprodukte. Zweites Beispiel: Produkte linearer Ordnungen sind nicht notwendigerweise linear. Filter und Ultrafilter. Reduzierte Produkte, reduzierte Potenzen, Ultraprodukte und Ultrapotenzen. Einbettung einer Struktur in ihre reduzierte Potenz. Satz von Łoś. Elementare Einbettung einer Struktur in ihre Ultrapotenz.

§11 Anwendungen von Ultrapotenzen in der Mengenlehre. Ultrapotenzen von V_κ mit einem kleinen Ultrafilter. Repräsentanten von Ordinalzahlen. Falls der Ultrafilter auf den natürlichen Zahlen lebt, so ist die Ultrapotenz nicht fundiert.

Gruppenarbeit #9. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" eingeben. pdf-Datei.

Zehnte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§11 Anwendungen von Ultrapotenzen in der Mengenlehre. Nicht-fundierte Modelle: Ordinalzahlen zwischen den natürlichen Zahlen und ω; Existenz nicht-fundierter Modelle der Mengenlehre (Anwendung von Kompaktheit). Bemerkung zu Nichtstandardmodellen der Arithmetik. Abzählbare Vollständigkeit des Ultrafilters impliziert die Fundiertheit der Ultrapotenz. Der Mostowski-Kollaps. Eigenschaften transitiver Modelle von ZFC. Welche Ordinalzahlen werden durch konstante Funktionen repräsentiert. Zusammenhang zu meßbaren Kardinalzahlen.

Gruppenarbeit #10. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" eingeben. pdf-Datei.

Elfte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§12 Der Hauptsatz über meßbare Kardinalzahlen. Innere Modelle von V_λ und ihre Eigenschaften. Die von einem κ-vollständigen Ultrafilter auf κ generierte elementare Einbettung und ihre Eigenschaften: Identität auf V_κ, V_κ+1 ist im inneren Modell enthalten. Konsequenzen: die kleinste unerreichbare ist nicht meßbar (Reflektion) und der Satz von Scott (meßbare können nicht das kleinste Gegenbeispiel zu GCH sein).

Gruppenarbeit #11. In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" eingeben. pdf-Datei.

Zwölfte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§12 Der Hauptsatz über meßbare Kardinalzahlen. Was macht die elementare Einbettung mit Teilmengen von V_λ? Der Hauptsatz über meßbare Kardinalzahlen.

§13 Große Kardinalzahlaxiome Informelle Beschreibung von grossen Kardinalzahlbegriffen und -axiomen. Natürlichkeit in der Mathematik. Stärke von grossen Kardinalzahlaxiomen: Vergleich nach Implikationsstärke, Größe, und Konsistenzstärke. Axiome mehrerer unerreichbarer Kardinalzahlen und ihre Stärke.

Gruppenarbeit #12 In der Gruppenarbeit treffen Sie sich in einer Zweiergruppe. Das Treffen soll ca. 45 bis 60 Minuten dauern: wenn Sie nicht alle Arbeitsanweisungen erledigen können, ist das kein Problem. Verbleibende, nicht bearbeitete Anweisungen können Sie später für die Klausurvorbereitung nutzen. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" eingeben. pdf-Datei.

Dreizehnte Vorlesung: Vorlesungsnotizen.

§13 Große Kardinalzahlaxiome. Implikationsstärke und Konsistenzstärke stimmen auf Axiomen endlich vieler Unerreichbarer überein. Axiome, die unendlich viele Unerreichbare geben. Beschreibungen abzählbarer Ordinalzahlen und ihre Unerreichbarkeitsaxiome. Absolutheit von Beschreibungen abzählbarer Ordinalzahlen. Unbeschränkt viele unerreichbare Kardinalzahlen und unerreichbare Limiten von Unerreichbaren. Unvergleichbarkeit in der Implikationsstärke bei Vergleichbarkeit in der Konsistenzstärke. Vergleich mit meßbaren Kardinalzahlen: jede meßbare Kardinalzahl ist unerreichbarer Limes von Unerreichbaren (Reflektion).

Gruppenarbeit #13. In der Gruppenarbeit beschäftigen Sie sich mit der Musterklausur, die Sie hier finden: pdf-Datei. Die ersten Schritte der Gruppenarbeit führen Sie diesmal individuell durch und schicken sich gegenseitig Ihre Lösungen zur Hauptaufgabe der Musterklausur. Danach treffen Sie sich in Ihrer Zweiergruppe. Nach dem Treffen in der Zweiergruppe erledigen Sie die Aufgabe, indem Sie hier eine Texteingabe der Form "[DATUM], mit [NAME]" eingeben. pdf-Datei.

Vierzehnte Vorlesung: Vorlesungsnotizen (inclusive Notizen zum Q&A).

§14 Große große Kardinalzahlen. Stabilität von Eigenschaften: Ultrapotenzeinbettungen erhalten Unerreichbarkeit und viele andere Eigenschaften, aber nicht Meßbarkeit. Anwendungen des Reflektionsprinzips. Hierarchien von Meßbarkeit. Erhaltung der Meßbarkeit einer meßbaren Kardinalzahl: Mitchell-Ordnung Eins. Starke Einbettungen und starke Kardinalzahlen. Ausblick: Fundamentalsatz für starke Kardinalzahlen (ohne Beweis). Coda: falls j eine starke Einbettung ist, so ist die Ultrafiltereinbettung des von erzeugten Ultrafilters nicht gleich j.

Q & A zur Vorlesung.

Am Dienstag, 23. Februar 2021, von 11:30 Uhr bis 13:30 Uhr wird die Online-Klausur stattfinden.

Laden Sie das Aufgabenblatt um 11:30 Uhr herunter. Danach können Sie von 11:30 bis 13:30 offline arbeiten. Sie schreiben die Klausur handschriftlich, entweder auf Papier oder auf einer graphischen Oberfläche. Nach Fertigstellung der Klausur erstellen Sie eine einzelne pdf-Datei

• (Option 1) indem Sie die handschriftlichen Papierseiten fotografieren und mit Hilfe eines Programms in eine einzelne pdf-Datei verwandeln (in diesem Fall achten Sie darauf, daß die Bilder leserlich sind und keine Seite fehlt), oder
• (Option 2) indem Sie den elektronischen handschriftlichen Text in einer pdf-Datei abspeichern.
  

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Bitte laden Sie Ihre Klausurabgabe als einzelne pdf-Datei bis spätestens 13:45 Uhr hoch. Vergessen Sie nicht die Eigenständigkeitserklärung:

"Ich bestätige hiermit, daß ich die Klausur ohne Hilfe einer weiteren Person geschrieben habe."

Am Dienstag, 23. März 2021, von 15:45 Uhr bis 17:45 Uhr wird die Online-Wiederholungsklausur stattfinden. Sie finden die Wiederholungsklausur unten als Moodle-Aufgabe: 

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