Fachbereich Mathematik 
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Grundlagen der Mathematik, WS 2017/18

Dr. Max Pitz

Vorlesungstermine

  • Montags, 14:15 - 15:45 Uhr, Geomatikum H2.
  • Mittwochs, 8:15 - 09:45 Uhr, Geomatikum H2.

Übungstermine

  • Gruppe 1: Montags, 16:00 - 17:30 Uhr, Geomatikum 1240 (Hubert Kiechle / Josephina Emonds).
  • Gruppe 2: Montags, 16:00 - 17:30 Uhr, Geomatikum 435 (Natalie Charlos / Hubert Kiechle).
  • Gruppe 3: Montags, 16:00 - 18:30 Uhr (mit Pause von 16:45-17:45Uhr), Geomatikum 142 (Julia Finke / Max Pitz).
  • Gruppe 4: Dienstags, 16:15 - 17:45 Uhr, Geomatikum 1240 (Anastasia Milencuk / Max Pitz).
  • Gruppe 5: Dienstags, 16:15 - 17:45 Uhr, Geomatikum 415 (Max Pitz / Lisa Weidlich).

Freiwillige Hausaufgabenbetreuung

  • Donnerstags, 18:15 - 20:45 Uhr, Geomatikum, Seminarräume im 4. Stock (Tom-Benedikt Brühl / Gursewak Singh).

Aktuelles

  • Am Mittwoch, 13. Dezember, wird es zu Beginn der Vorlesung den zweiten Kurztest geben (ca. 20 Minuten). Themen: Mächtigkeit von Mengen und die natürlichen Zahlen. Wie beim letzten Mal dürfen Sie einen einseitig beschriebenen Din A4 Spickzettel mitnehmen. Es gibt auch wieder einen Probetest und Lösungen zum Probetest (wie immer: erst selbst probieren!).
  • Eine Information für alle Nachrückenden: Für die Prüfungszulassung müssen Sie 50% der Punkte der für Sie zukünftigen Blätter erreichen. Die vorherigen Übungen sollten sie natürlich zu Ihrem eigenen Verständnis eigenständig durcharbeiten.
  • Am Mittwoch, 15. November, wird es zu Beginn der Vorlesung den ersten Kurztest geben (ca. 20 Minuten). Themen: Mengen, Aussagen, Funktionen. Kurztest A sowie Kurztest B sowie Punkteverteilung.
  • Nicht-abgeholte Hausaufgaben können Sie jederzeit in meinem Büro Geomatikum 238 abholen.
  • Der Mittwoch, 1. November, ist Dies Academicus. Der reguläre Vorlesungstermin findet dann nicht statt. Stattdessen gibt es wieder eine Onlinevorlesung zu Funktionen.
  • Der Dienstag, 31. Oktober, ist ein Feiertag und somit fallen alle Dienstagsübungen aus. Der Ersatztermin für die Dienstagsübungen ist Donnerstag, 2. Nov., 16.15-17:45 Uhr, Raum 1438 .
  • Am Montag, den 23. Oktober, und Mittwoch, den 25. Oktober, fallen die regulären Vorlesungstermine aus! Stattdessen gibt es zwei Online Vorlesungen zu Mengen und Aussagen. Es ist wichtig, dass Sie das Material bis zur darauffolgenden Woche durchgearbeitet haben. Alle Übungen sowie die Hausaufgabenbetreuung finden regulär statt.

Übungsblätter

Die Übungsblätter erscheinen wöchentlich. Sie sollten versuchen sich mit allen Aufgaben auseinanderzusetzen, und Lösungsansätze zu allen Aufgaben abzugeben. Denken Sie daran, rechtzeitig anzufangen, die Problemstellung zu verstehen, um Ihrem Unterbewusstsein Zeit zu geben, Lösungsideen zu entwickeln. Planen Sie ca. 10h pro Woche für die Hausaufgaben ein. Abgabetermin ist immer Mittwochs vor Beginn der Vorlesung. Hierzu werden wir Ordner in der letzten Reihe des Hörsaals auslegen. Sie dürfen gerne in Gruppen zu zweit oder zu dritt abgeben. Denken Sie aber daran, dass wir Sie fragen werden, Ihre Lösungen in den Übungen zu präsentieren. Hier können Sie sehen, wie die Übungszettel ausgefallen sind.

Organisation

In den beiden wöchentlichen zweistündigen Vorlesungen am Montag und Mittwoch werden wir neuen Stoff und neue mathematische Ideen besprechen. Dies geschieht sehr wahrscheinlich viel schneller und abstrakter, als Sie es von der Schule her gewohnt sind. So werden Sie vielleicht am Ende einer Vorlesung das Gefühl haben, nicht alles verstanden zu haben. Deswegen finden neben den Vorlesungen Übungsgruppen statt, die jeweils zur Hälfte von Dozent(inn)en und von studentischen Tutor(inn)en geleitet werden. Im Dozententeil können und sollen Fragen zur Vorlesung geklärt werden, und es wird im Team an Präsenzaufgaben gearbeitet, welche Material aus der Vorlesung aufgreifen und vertiefen. Diese Präsenzaufgaben dienen außerdem zur Vorbereitung auf die in jeder Woche gestellten Übungsaufgaben. Diese Hausaufgaben werden eine Woche später von Ihnen in Zwei- oder Dreiergruppen abgegeben, und dann jeweils im Tutorenteil der folgenden Woche besprochen und teilweise von Ihnen vorgetragen. Alle Aufgaben werden korrigiert und bepunktet. Haben Sie am Ende des Semesters genügend Punkte gesammelt, hinreichend oft vorgerechnet, sind Sie zur Prüfung am Ende des Semesters zugelassen.

Freiwillig, aber unbedingt empfehlenswert ist eine Aufgabenbetreuung, die wöchentlich jeweils am späten Donnerstagnachmittag im vierten Stock des Geomatikums angeboten wird. Unter der Obhut Studierender höherer Semester haben Sie in zwangloser Atmosphäre die Gelegenheit, die Aufgaben aus dem Übungsbetrieb zu bearbeiten.

Inhalt

In dieser Vorlesung konzentrieren wir uns auf die fundamentalen Konzepte und Arbeitstechniken der Mathematik. Laut Modulhandbuch verfolgen wir dabei folgende Qualifikationsziele:
  • Verständnis für die grundlegenden Strukturkonzepte der Mathematik
  • verständiger Gebrauch mathematischer Sprechweisen
  • Verständnis für Zahlen und ihre Typen
  • Verständnis für (auch abstrakte) funktionale Zusammenhänge
  • Beherrschen von elementaren Beweismethoden und formalen logischen Schlüssen
Themen: Zahlen (bis einschließlich komplexe Zahlen); Mengen, Relationen, Aussagen; (abstrakte) Funktionen; Elementare Kombinatorik; Vollständige Induktion; Verknüpfungen und Gruppen.

Leistungsnachweis

Bestehen der mündlichen Prüfung, welche an den Tagen 19.-23. Februar 2018 stattfinden wird. Für die Prüfungszulassung müssen Sie folgende Kriterien erfüllen:
  • Sie müssen 50% der auf den Übungszetteln 1-6 möglichen Punkte erreichen.
  • Sie müssen 50% der auf den Übungszetteln 7-12 möglichen Punkte erreichen.
  • Sie müssen mindestens eine Übungsaufgabe in den Übungen vorgerechnet haben.
  • Erfolgreiches Abschließen der Kurztests während des Semesters (die genauen Termine werden noch bekannt gegeben).

Literatur

Weitere Quellen zum Stöbern

  • Tipps, wie man eine Lösung zu einem Matheproblem sauber aufschreibt, auf Englisch, von Kevin Houston.
  • R. Courant, H. Robbins: What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods., Oxford University Press, 1996.
  • Wann wurden unsere heute üblichen mathematischen Symbole erfunden? Erstaunlich spät, meistens erst im 19. und 20. Jahrhundert! Siehe hier.
  • Zum Begriff der Zahl: Hier ein Link zur Originalarbeit von Gottlob Frege (sehr lesenswert), und hier ein Link zu einer schönen Besprechung in der Zeit.

Üben im Internet

  • Online Übungen erstelle für einen früheren Jahrgang an der Uni Hamburg, von Hans-Joachim Samaga.
  • Khanacademy (auf Englisch) hat unglaublich viel Material zum Wiederholen von Mathegrundlagen. Das Kapitel Algebra 1 ist vielleicht besonders hilfreich, um die Grundlagen aufzufrischen. Für alle, die Probleme mit der Hausaufgabe H7 hatten, sei das folgende Khan Kapitel zu Ungleichungen wämstens ans Herz gelegt.
  • Mathe Online Wien

Logbuch

  • 16. Okt: ABRAKADABRA und Pascalsches Dreieck. Siehe ersten 5 Seiten hier.
  • 18. Okt: Schachbrettkachelungen und Geraden in der Ebene. Siehe Problem 1.3, 11.3 und 11.4 in: Daniel Grieser, Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik. Online verfügbar aus dem Uni-Netzwerk und von außerhalb.
  • 23. Okt: Online Vorlesung: Mengen, Schnittmengen, Vereinigungsmengen, Mengendifferenz und Kartesische Produkte (Skript Kiechle, S. 5 – 8). Ausgewählte Lösungen zum Video hier.
  • 25. Okt: Online Vorlesung: Aussagen, Junktoren, Wahrheitstabellen, Aussageformen, Quantoren. (Skript Kiechle, S. 9 – 12. Viele anschauliche Beispiele in Skript Koch, Kap 1.1 – 1.4). Ausgewählte Lösungen zum Video hier.
  • 30. Okt: Parallelen zwischen Mengenoperationen und Junktoren. Potenzmengen: Beispiele, Hasse-Diagramme und Kardinalitäten. (Skript Kiechle, S. 12. Nachbereitung Kardinalität Potenzmenge.)
  • 1. Nov: Online Vorlesung: Funktionen und Verknüpfungen. Bild und Urbildfunktion. (Skript Kiechle, S. 23 – 27. Weitere Beispiele in Skript Koch, Kap 4.1 und 4.2).
  • 6. Nov: Injektive, surjektive und bijektive Funktionen. Verknüpfungen von Funktionen. (Skript Kiechle, S. 28 – 30.)
  • 8. Nov: Mehr zu bijektiven Funktionen. Umkehrfunktionen. Folgen. (Skript Kiechle, S. 30 – 33.)
  • 13. Nov: Hilberts Hotel und Gleichmächtigkeit von Mengen. Rationale Zahlen sind abzählbar. Menge der Binärfolgen ist überabzählbar. (Skript Kiechle, S. 33 – 35.)
  • 15. Nov: 1. Kurztest. Reelle Zahlen sind überabzählbar. Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist gleichmächtig mit der Menge der Binärfolgen. (Skript Kiechle, S. 36 – 38.)
  • 20. Nov: Motivation + Peano Axiome. Erste Anwendungen des Induktionsaxioms. (Skript Kiechle, S. 39 – 42.)
  • 22. Nov: Vollständige Induktion und Definition der Addition. Distributiv– und Kommutativgesetz der Addition. (Skript Kiechle, S. 42 – 45.)
  • 27. Nov: Kürzungsregel, Definition von Potenzen in Halbgruppen, Multiplikation auf den natürlichen Zahlen (Skript Kiechle, S. 45 – 46. sowie 49 – 51.)
  • 29. Nov: Mehr zur Multiplikation. Anordnung auf den natürlichen Zahlen. Trichotomie und Transitivität. Monotoniegesetze. Jede nicht-leere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element. (Skript Kiechle, S. 46 – 48.)
  • 4. Dez: Formel für Fibonacci-Zahlen. Teilen mit Rest. g-adische Darstellung der natürlichen Zahlen. (Skript Kiechle, S. 48 sowie 53 – 55. )
  • 6. Dez: Rechnen in g-adischen Zahlensystemen. Teilbarkeit in den natürlichen Zahlen. Primzahlen. Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen. Euklids Lemma. Existenz und Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung. (Skript Kiechle, S. 56, 57 sowie 70 – 72. )
  • 11. Dez: Beweis von Euklids Lemma. Kongruenzen: Definition und Beispiele. (Skript Kiechle, S. 73. )

 
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