Grundlagen der Mathematik, WS 2017/18

Dr. Max Pitz

Vorlesungstermine

Montags, 14:15 - 15:45 Uhr, Geomatikum H2.
Mittwochs, 8:15 - 09:45 Uhr, Geomatikum H2.

Übungstermine

Gruppe 1: Montags, 16:00 - 17:30 Uhr, Geomatikum 1240 (Hubert Kiechle / Josephina Emonds).
Gruppe 2: Montags, 16:00 - 17:30 Uhr, Geomatikum 435 (Natalie Charlos / Hubert Kiechle).
Gruppe 3: Montags, 16:00 - 18:30 Uhr (mit Pause von 16:45-17:45Uhr), Geomatikum 142 (Julia Finke / Max Pitz).
Gruppe 4: Dienstags, 16:15 - 17:45 Uhr, Geomatikum 1240 (Anastasia Milencuk / Max Pitz).
Gruppe 5: Dienstags, 16:15 - 17:45 Uhr, Geomatikum 415 (Max Pitz / Lisa Weidlich).

Freiwillige Hausaufgabenbetreuung

Donnerstags, 18:15 - 20:45 Uhr, Geomatikum, Seminarräume im 4. Stock (Tom-Benedikt Brühl / Gursewak Singh).

Aktuelles

Aktualisierte Prüfungstermine jetzt auf Stine (16. Februar 2018).
Aktualisierter Prüfungskatalog (Stand: 13. Februar 2018) mit einer genaueren Beschreibung zum Prüfungsablauf. Einzige weitere Änderung: Zusammenhang kleinster Verbrecher bei der Induktion.
Ihre Prüfungstermine finden Sie ab heute (1. Februar 2018) in Stine.
Am Mittwoch, den 24. Januar, wird es zu Beginn der Vorlesung den dritten und letzten Kurztest geben (ca. 20 Minuten). Themen: Elementare Zahlentheorie und die ganzen Zahlen. Punkteverteilung.
Beispielhafte Informationen zur mündlichen Prüfung aus dem letzten Jahr finden Sie hier. Ich werde Ende Januar eine an die Schwerpunkte dieses Jahres angepasste, aber definitiv leicht modifizierte Version zur Verfügung stellen.
Am Mittwoch, 13. Dezember, wird es zu Beginn der Vorlesung den zweiten Kurztest geben (ca. 20 Minuten). Themen: Mächtigkeit von Mengen und die natürlichen Zahlen. Punkteverteilung.
Eine Information für alle Nachrückenden: Für die Prüfungszulassung müssen Sie 50% der Punkte der für Sie zukünftigen Blätter erreichen. Die vorherigen Übungen sollten sie natürlich zu Ihrem eigenen Verständnis eigenständig durcharbeiten.
Am Mittwoch, 15. November, wird es zu Beginn der Vorlesung den ersten Kurztest geben (ca. 20 Minuten). Themen: Mengen, Aussagen, Funktionen. Punkteverteilung.
Nicht-abgeholte Hausaufgaben können Sie jederzeit in meinem Büro Geomatikum 238 abholen.
Der Mittwoch, 1. November, ist Dies Academicus. Der reguläre Vorlesungstermin findet dann nicht statt. Stattdessen gibt es wieder eine Onlinevorlesung zu Funktionen.
Der Dienstag, 31. Oktober, ist ein Feiertag und somit fallen alle Dienstagsübungen aus. Der Ersatztermin für die Dienstagsübungen ist Donnerstag, 2. Nov., 16.15-17:45 Uhr, Raum 1438 .
Am Montag, den 23. Oktober, und Mittwoch, den 25. Oktober, fallen die regulären Vorlesungstermine aus! Stattdessen gibt es zwei Online Vorlesungen zu Mengen und Aussagen. Es ist wichtig, dass Sie das Material bis zur darauffolgenden Woche durchgearbeitet haben. Alle Übungen sowie die Hausaufgabenbetreuung finden regulär statt.

Übungsblätter

Die Übungsblätter erscheinen wöchentlich. Sie sollten versuchen sich mit allen Aufgaben auseinanderzusetzen, und Lösungsansätze zu allen Aufgaben abzugeben. Denken Sie daran, rechtzeitig anzufangen, die Problemstellung zu verstehen, um Ihrem Unterbewusstsein Zeit zu geben, Lösungsideen zu entwickeln. Planen Sie ca. 10h pro Woche für die Hausaufgaben ein. Abgabetermin ist immer Mittwochs vor Beginn der Vorlesung. Hierzu werden wir Ordner in der letzten Reihe des Hörsaals auslegen. Sie dürfen gerne in Gruppen zu zweit oder zu dritt abgeben. Denken Sie aber daran, dass wir Sie fragen werden, Ihre Lösungen in den Übungen zu präsentieren. Hier können Sie sehen, wie die Übungszettel ausgefallen sind.

1. Übungsblatt - Abgabe am 18.10.
2. Übungsblatt - Abgabe am 25.10.
3. Übungsblatt - Abgabe am 1.11.
4. Übungsblatt - Abgabe am 8.11.
5. Übungsblatt - Abgabe am 15.11.
6. Übungsblatt - Abgabe am 22.11. Eine kurze Anleitung von Dr. Hubert Kiechle zu Tabellenkalkulationen finden Sie hier.
7. Übungsblatt - Abgabe am 29.11.
8. Übungsblatt - Abgabe am 6.12.
9. Übungsblatt - Abgabe am 13.12.
10. Übungsblatt - Abgabe am 20.12.
Übungsblatt Weihnachtsferien - Freiwillige Knobelaufgaben über die Ferien. Abgabe am 10.1.
Neujahrspräsenzaufgaben.
11. Übungsblatt - Abgabe am 17.1.
12. Übungsblatt - Abgabe am 24.1.

Organisation

In den beiden wöchentlichen zweistündigen Vorlesungen am Montag und Mittwoch werden wir neuen Stoff und neue mathematische Ideen besprechen. Dies geschieht sehr wahrscheinlich viel schneller und abstrakter, als Sie es von der Schule her gewohnt sind. So werden Sie vielleicht am Ende einer Vorlesung das Gefühl haben, nicht alles verstanden zu haben. Deswegen finden neben den Vorlesungen Übungsgruppen statt, die jeweils zur Hälfte von Dozent(inn)en und von studentischen Tutor(inn)en geleitet werden. Im Dozententeil können und sollen Fragen zur Vorlesung geklärt werden, und es wird im Team an Präsenzaufgaben gearbeitet, welche Material aus der Vorlesung aufgreifen und vertiefen. Diese Präsenzaufgaben dienen außerdem zur Vorbereitung auf die in jeder Woche gestellten Übungsaufgaben. Diese Hausaufgaben werden eine Woche später von Ihnen in Zwei- oder Dreiergruppen abgegeben, und dann jeweils im Tutorenteil der folgenden Woche besprochen und teilweise von Ihnen vorgetragen. Alle Aufgaben werden korrigiert und bepunktet. Haben Sie am Ende des Semesters genügend Punkte gesammelt, hinreichend oft vorgerechnet, sind Sie zur Prüfung am Ende des Semesters zugelassen.

Freiwillig, aber unbedingt empfehlenswert ist eine Aufgabenbetreuung, die wöchentlich jeweils am späten Donnerstagnachmittag im vierten Stock des Geomatikums angeboten wird. Unter der Obhut Studierender höherer Semester haben Sie in zwangloser Atmosphäre die Gelegenheit, die Aufgaben aus dem Übungsbetrieb zu bearbeiten.

Inhalt

In dieser Vorlesung konzentrieren wir uns auf die fundamentalen Konzepte und Arbeitstechniken der Mathematik. Laut Modulhandbuch verfolgen wir dabei folgende Qualifikationsziele:

Verständnis für die grundlegenden Strukturkonzepte der Mathematik
verständiger Gebrauch mathematischer Sprechweisen
Verständnis für Zahlen und ihre Typen
Verständnis für (auch abstrakte) funktionale Zusammenhänge
Beherrschen von elementaren Beweismethoden und formalen logischen Schlüssen

Themen: Zahlen (bis einschließlich komplexe Zahlen); Mengen, Relationen, Aussagen; (abstrakte) Funktionen; Elementare Kombinatorik; Vollständige Induktion; Verknüpfungen und Gruppen.

Leistungsnachweis

Bestehen der mündlichen Prüfung, welche an den Tagen 19.-23. Februar 2018 stattfinden wird. Für die Prüfungszulassung müssen Sie folgende Kriterien erfüllen:

Sie müssen 50% der auf den Übungszetteln 1-6 möglichen Punkte erreichen.
Sie müssen 50% der auf den Übungszetteln 7-12 möglichen Punkte erreichen.
Sie müssen mindestens eine Übungsaufgabe in den Übungen vorgerechnet haben.
Erfolgreiches Abschließen der Kurztests während des Semesters (die genauen Termine werden noch bekannt gegeben).

Literatur

H. Kiechle: Skriptum zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik im WS 2015/16. (Wird über Stine zur Verfügung gestellt.)
K. Appell, J. Appell: Mengen - Zahlen - Zahlbereiche, Spektrum Verlag, 2005. (Ein paar Ausgaben gibt es auch in der Bibliothek)
K. Houston: Wie man mathematisch denkt. Eine Einführung in die mathematische Arbeitsweise für Studienanfänger, Springer Spektrum, 2011.
S. Koch: Skriptum zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik im WS 2013/14
H.-J. Samaga: Unterlagen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik im WS2010/11

Weitere Quellen zum Stöbern

Tipps, wie man eine Lösung zu einem Matheproblem sauber aufschreibt, auf Englisch, von Kevin Houston.
R. Courant, H. Robbins: What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods., Oxford University Press, 1996.
Wann wurden unsere heute üblichen mathematischen Symbole erfunden? Erstaunlich spät, meistens erst im 19. und 20. Jahrhundert! Siehe hier.
Zum Begriff der Zahl: Hier ein Link zur Originalarbeit von Gottlob Frege (sehr lesenswert), und hier ein Link zu einer schönen Besprechung in der Zeit.
Ein interessantes Video zum kleinen Satz von Fermat gibt es zB hier.

Üben im Internet

Online Übungen erstelle für einen früheren Jahrgang an der Uni Hamburg, von Hans-Joachim Samaga.
Khanacademy (auf Englisch) hat unglaublich viel Material zum Wiederholen von Mathegrundlagen. Das Kapitel Algebra 1 ist vielleicht besonders hilfreich, um die Grundlagen aufzufrischen. Für alle, die Probleme mit der Hausaufgabe H7 hatten, sei das folgende Khan Kapitel zu Ungleichungen wämstens ans Herz gelegt.
Mathe Online Wien

Logbuch

16. Okt: ABRAKADABRA und Pascalsches Dreieck. Siehe ersten 5 Seiten hier.
18. Okt: Schachbrettkachelungen und Geraden in der Ebene. Siehe Problem 1.3, 11.3 und 11.4 in: Daniel Grieser, Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik. Online verfügbar aus dem Uni-Netzwerk und von außerhalb.
23. Okt: Online Vorlesung: Mengen, Schnittmengen, Vereinigungsmengen, Mengendifferenz und Kartesische Produkte (Skript Kiechle, S. 5 – 8). Ausgewählte Lösungen zum Video hier.
25. Okt: Online Vorlesung: Aussagen, Junktoren, Wahrheitstabellen, Aussageformen, Quantoren. (Skript Kiechle, S. 9 – 12. Viele anschauliche Beispiele in Skript Koch, Kap 1.1 – 1.4). Ausgewählte Lösungen zum Video hier.
30. Okt: Parallelen zwischen Mengenoperationen und Junktoren. Potenzmengen: Beispiele, Hasse-Diagramme und Kardinalitäten. (Skript Kiechle, S. 12. Nachbereitung Kardinalität Potenzmenge.)
1. Nov: Online Vorlesung: Funktionen und Verknüpfungen. Bild und Urbildfunktion. (Skript Kiechle, S. 23 – 27. Weitere Beispiele in Skript Koch, Kap 4.1 und 4.2).
6. Nov: Injektive, surjektive und bijektive Funktionen. Verknüpfungen von Funktionen. (Skript Kiechle, S. 28 – 30.)
8. Nov: Mehr zu bijektiven Funktionen. Umkehrfunktionen. Folgen. (Skript Kiechle, S. 30 – 33.)
13. Nov: Hilberts Hotel und Gleichmächtigkeit von Mengen. Rationale Zahlen sind abzählbar. Menge der Binärfolgen ist überabzählbar. (Skript Kiechle, S. 33 – 35.)
15. Nov: 1. Kurztest. Reelle Zahlen sind überabzählbar. Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist gleichmächtig mit der Menge der Binärfolgen. (Skript Kiechle, S. 36 – 38.)
20. Nov: Motivation + Peano Axiome. Erste Anwendungen des Induktionsaxioms. (Skript Kiechle, S. 39 – 42.)
22. Nov: Vollständige Induktion und Definition der Addition. Distributiv– und Kommutativgesetz der Addition. (Skript Kiechle, S. 42 – 45.)
27. Nov: Kürzungsregel, Definition von Potenzen in Halbgruppen, Multiplikation auf den natürlichen Zahlen (Skript Kiechle, S. 45 – 46. sowie 49 – 51.)
29. Nov: Mehr zur Multiplikation. Anordnung auf den natürlichen Zahlen. Trichotomie und Transitivität. Monotoniegesetze. Jede nicht-leere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element. (Skript Kiechle, S. 46 – 48.)
4. Dez: Formel für Fibonacci-Zahlen. Teilen mit Rest. g-adische Darstellung der natürlichen Zahlen. (Skript Kiechle, S. 48 sowie 53 – 55.)
6. Dez: Rechnen in g-adischen Zahlensystemen. Teilbarkeit in den natürlichen Zahlen. Primzahlen. Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen. Euklids Lemma. Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. (Skript Kiechle, S. 56, 57 sowie 70 – 72.)
11. Dez: Beweis von Euklids Lemma. Kongruenzen: Definition und Beispiele. (Skript Kiechle, S. 73.)
13. Dez: 2. Kurztest. Relationen, Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen. Kongruenz modulo m: Verträglichkeit der Addition und Multiplikation. (Skript Kiechle, S. 73 – 75.)
18. Dez: Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen. Jedes Element liegt in genau einer Äquivalenzklasse. Addition und Multiplikation auf Restklassen modulo m. Beispiele Verknüpfungstafeln. (Skript Kiechle, S. 76 – 78.)
20. Dez: Multiplikation auf Restklassen modulo eine Primzahl p. Existenz inverser Elemente. Der kleine Satz von Fermat.
8. Jan: ggT, kgV und Euklidischer Algorithmus (Skript Kiechle, S. 79 – 80.)
10. Jan: Erweiterter Euklidischer Algorithmus. Invertierbare Elemente und Gruppen. Auflösen von Gleichungen. Konstruktion der ganzen Zahlen (Anfang). (Skript Kiechle, S. 58, 61 – 63, 81 – 82)
15. Jan: Konstruktion der ganzen Zahlen (Fortsetzung): Addition und Multiplikation. (Skript Kiechle, S. 82 – 83)
17. Jan: Konstruktion der ganzen Zahlen (Schluss): Rechengesetze, Anordnung und Monotoniegesetze. Ringe und Körper. Auflösen von linearen Gleichungen in allgemeinen Körpern. (Skript Kiechle, S. 66 – 69.)
22. Jan: Konstruktion der rationalen Zahlen (Anfang): Brüche als Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren, Diskussion der Gleichheit von Brüchen. Definition von Addition und Multiplikation. (Skript Kiechle, S. 85 – 86.)
24. Jan: 3. Kurztest. Konstruktion der rationalen Zahlen (Fortsetzung): Wohldefiniertheit von Addition und Multiplikation. Angeordnete Körper. (Skript Kiechle, S. 17 – 18.)
29. Jan: Monotoniegesetze für angeordnete Körper. Q ist archimedisch. Zwei Beweise für die Irrationalität von Wurzel 2 (Skript Kiechle, S. 18 – 19. Siehe hier für einen noch schöneren geometrischen Beweis der Irrationalität von Wurzel 2.)
31. Jan: Das Vollständigkeitsaxiom. R ist der eindeutige angeordnete archimedische vollständige Körper. Dezimaldarstellung reeller Zahlen als Konsequenz der Vollständigkeit. Eine Dezimalzahl ist genau dann rational, wenn Sie periodisch ist (Skript Kiechle, S. 20.)

Impress

2018-10-17, Max Pitz