Mathematik II für Studierende der Geophysik/Ozeanographie,
Meteorologie und Physik und des Computing in Science
Veranstalter: Janko Latschev
Übungsorganisation: Ralf Holtkamp
Quicklinks: Logbuch, Übungsblätter, Skript
Informationen zur Klausureinsicht (2. Klausur):
Die Möglichkeit zur Klausureinsicht besteht am Freitag, dem 11.10.2019, zwischen 11:00 und 12:00 in meinem Büro, Raum 222 des Geomatikums.
Bitte kommen Sie mit Personalausweis/Reisepass und ohne Taschen/Stifte.
Sie können auch jemanden bevollmächtigen, für Sie die Klausur einzusehen und ggf. in Ihrem Namen eine Nachkorrektur zu veranlassen. (Dafür ist die übliche Vorgehensweise, dass der/die Bevollmächtigte zum Einsichtstermin sich selbst ausweist, eine von Ihnen unterschriebene entsprechende Vollmacht abgibt, und Kopien von Ihrem Personalausweis und Studierendenausweis vorlegt.)
Vorsorglich weisen wir darauf hin, dass Nachkorrekturen nur für die gesamte Klausur möglich sind, nicht für einzelne Aufgaben.
Die Vorlesung findet (bis auf wenige Ausnahmen) mittwochs und freitags 08:15-09:45 im ESA A (Hauptgebäude) statt.
Die aktive Teilnahme an den Übungsgruppen und die gründliche Beschäftigung mit den Übungsaufgaben sind essentiell für Ihren Studienerfolg.
Sie müssen jeweils an der Übung teilnehmen, für die Sie in STiNE eingeteilt sind. (Sollten in STiNE noch mehrere Räume angegeben sein, informieren Sie sich bitte im Raum mit der kleinsten Nummer.)
Inhalt
Determinanten (Fortsetzung aus dem letzten Semester), Äquivalenzrelationen, Diagonalisierung von Endomorphismen, Euklidische und hermitesche Vektorräume, metrische Räume und Vollständigkeit, Beschränkte Operatoren, Hilbertbasen, Fourier-Reihen, Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher, Differenzierbare Abbildungen, der Umkehrsatz und seine Anwendungen, Gewöhnliche Differentialgleichungen.
Vorkenntnisse
sichere Beherrschung des Stoffes von Teil I der Veranstaltung
Literatur und Material
Die aktuelle Version des Vorlesungsskripts ist vom 10.07.2019.
Die Webseite des letzten Semesters mit dem Link zum entsprechenden Skript findet sich hier.
Ein Blatt mit Vorschlägen zum Nacharbeiten von Vorlesungen, das ich vor 3 Jahren für den Vorkurs Mathematik verfasst habe, finden Sie hier.
Bitte beachten Sie auch unsere begleitenden
Veranschaulichungen
zur Vorlesung.
Es gibt unzählige Lehrbücher zu Analysis und linearer Algebra, zum Beispiel:
Logbuch zur Vorlesung
Hier werden jeweils zeitnah die Inhalte der einzelnen Vorlesungen stichpunktartig festgehalten.
| Datum |
Inhalt |
Skriptfolien |
| 03.04. |
Wiederholung zu Determinanten, Regel von Sarrus; transponierte Matrix: Definition und elementare Eigenschaften, alternative Charakterisierung der Determinante, Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen, Determinante eines Endomorphismus; Matrixinversion mit Hilfe des Gaußalgorithmus |
433-449 |
| 05.04. |
Entwicklungssatz von Laplace, Cramersche Regel; Äquivalenzrelationen, Definition und Beispiele, Quotientenraum, Orientierungen eines reellen Vektorraums, orientierungserhaltende/-umkehrende Abbildungen |
450-468 |
| 10.04. |
Diagonalisierung von Endomorphismen: Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume, erste Beispiele, charakteristisches Polynom, spezielle Koeffizienten, Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms, algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten, lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten, Kriterien für Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus |
469-489 |
| 12.04. |
Beispiele zur Diagonalisierbarkeit; Multilinearformen, insbesondere Bilinearformen, Beispiele, Eigenschaften, darstellende Matrix für eine Bilinearform, orthogonale Unterräume bezüglich einer nicht entarteten Bilinearform, Euklidische Skalarprodukte, Länge, Abstand, Cauchy-Schwarz-Ungleichung, Winkel und Orthogonalität in Euklidischen Vektorräumen |
490-507 |
| 17.04. |
orthonormale Basen, Gram-Schmidt-Verfahren zur Orthogonalisierung, orthogonale Gruppe, Charakterisierung orthogonaler Matrizen, Hermitesche Formen, Hermitesche Skalarprodukte, Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Hermitesche Skalarprodukte, unitäre Basen, unitäre Gruppe |
508-522 |
| 24.04. |
Normalformen von Endomorphismen: unitäre Endomorphismen sind in einer unitären Basis diagonalisierbar, orthogonale Endomorphismen können in einer Orthonormalbasis auf Blockdiagonalgestalt gebracht werden; adjungierte Abbildung, Eindeutigkeit und Existenz, selbstadjungierte Endomorphismen, selbstadjungierte Endomorphismen sind in einer orthogonalen Basis diagonalisierbar, Normalformen für Hermitesche Formen und symmetrische Bilinearformen über R |
523-541 |
| 26.04. |
Normierte Vektorräume als metrische Räume, wann kommt eine Norm von einem euklidischen Skalarprodukt?, Äquivalenz von Normen, Banachräume, Hilberträume, Beispiel eines unendlich-dimensionalen Hilbertraumes |
542-559 |
| 03.05. |
warum ist ℓ2 unendlichdimensional?, Banachscher Fixpunktsatz, topologische Grundbegriffe: offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Inneres und Abschluss einer Teilmenge, topologische Charakterisierung stetiger Abbildungen, Eigenschaften abgeschlossener Mengen, Kompaktheit, elementare Eigenschaften kompakter Mengen
|
560-573 |
| 08.05. |
Satz von Heine-Borel, Bilder kompakter Mengen und stetigen Abbildung sind kompakt, auf kompakten Mengen nehmen stetige Funktionen Maximum und Minimum an, gleichmäßige Stetigkeit, Abbildungsräume als metrische Räume, Vertauschung von Grenzwert und Integral; Definition eines beschränkten Operators, Operatornorm, lineare Abbildungen sind stetig genau dann, wenn sie beschränkt sind, orthogonale Projektionen auf vollständige Unterräme und ihre Eigenschaften
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574-589 |
| 10.05. |
elementare Form des Rieszschen Darstellungssatzes, separable metrische Räme, ℓ2 ist separabel, orthonormale Familien, Besselsche Ungleichung, Hilbertbasen, Beispiele, äquivalente Charakterisierungen von Hilbertbasen, Existenz von Hilbertbasen in separablen Hilberträumen; periodische Funktionen, eikx mit k∈Z als orthonormale Familie, Fourierpolynom und Fourierreihe, alternative Form mit sin(kx) und cos(kx)
|
590-609 |
| 15.05. |
Beispiel zur Berechnung einer Fourierreihe, Besselsche Ungleichung für Fourierreihen, Fourierreihen Riemann-integrierbarer Funktionen konvergieren im quadratischen Mittel gegen die Funktion (mit Beweis)
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610-626 |
| 17.05. |
Fourierreihen stetiger, stückweise stetig differenzierbarer Funktionen konvergieren gleichmäßig gegen die Funktion; Richtungsableitungen, partielle Ableitungen, Beispiele zum vorsichtigen Umgang, höhere partielle Ableitungen, Lemma von Schwarz (Vertauschbarkeit partieller Ableitungen), Gradient, Vektorfelder, Divergenz, Laplace-Operator, Rotationssymmetrische harmonische Funktionen
|
627-649 |
| 22.05. |
das Newtonsche Gravitationsfeld und das eletrostatische Feld als Beispiele für harmonische Funktionen, das Kreuzprodukt zweier Vektoren im R3, das Spatprodukt dreier Vektoren im R3, Rotation eines Vektorfelds im R3, Gradienten sind rotationsfrei, Rotationen sind divergenzfrei; Definition Differenzierbarkeit für Abbildungen mehrerer Veränderlicher, Differential einer Abbildung, differenzierbare Abbildungen sind partiell differenzierbar, darstellende Matrix des Differentials (Jacobi-Matrix), Beziehung zwischen Differential und Gradient, differenzierbare Funktionen sind stetig
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650-668 |
| 24.05. |
Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen sind hinreichend für Differenzierbarkeit, Rechenregeln für Ableitungen, Kettenregel, Beispiele, Mittelwertsatz, Funktionen mit verschwindender Ableitung sind konstant auf wegzusammenhängenden Gebieten, Gradienten stehen senkrecht auf Niveaumengen, lokale Extrema
|
669-685 |
| 29.05. |
Taylorpolynome für Funktionen von mehreren Variablen, Hessesche Matrix, Kriterien für lokale Extrema anhand der Hessematrix; Definition Diffeomorphismus, Beispiele, Formulierung Umkehrsatz
|
686-701 |
| 31.05. |
Lipschitzstetigkeit, Schrankensatz, Diffeomorphiesatz, Beweis des Umkehrsatzes, Polarkoordinaten, Motivation für Satz über implizite Funktionen, Formulierung des Satzes
|
702-715 |
| 05.06. |
Beweis des Satzes über implizite Funktionen, Beispiele, Bestimmung des Differentials der impliziten Funktion, Rang einer Abbildung, Immersionen, Submersionen, Beispiele, Normalformsatz für Abbildungen von konstantem Rang, Normalformen für Submersionen und Immersionen als Folgerungen daraus
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715-730 |
| 07.06. |
Definition Homöomorphismus, Untermannigfaltigkeiten, Beispiele, Charakterisierung über lokale Graphen, Charakterisierung als lokales Urbild von Submersionen
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731-742 |
| 19.06. |
Tangentialraum an eine Untermannigfaltigkeit in einem Punkt, Eigenschaften und verschiedene Beschreibungen, Beispiele; Extrema mit Nebenbedingungen: notwendiges Kriterium, Lagrange-Multiplikatoren, Beispiele; Gewöhnliche Differentialgleichungen: Motivation, erste Beispiele, grundlegende Definitionen
|
743-757 |
| 21.06. |
wann/wie kann man eine Differentialgleichung in Normalform bringen?, Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Gleichungen erster Ordnung, autonome DGL, Beziehung zu Vektorfeldern, Beispiele, elementare Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Lösung homogener DGL, Lösung linearer DGL (Variation der Konstanten)
|
758-775 |
| 26.06. |
spezielle Lösungsansätze für lineare DGL mit konstantem Faktor, Beispiel dazu, Bernoulli-Gleichungen, exakte Differentialgleichungen und Potentialfunktionen, Beispiele verschiedener DGL; Lipschitz-Bedingung, hinreichende Bedingung für Lipschitzstetigkeit, Formulierung des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard und Lindelöf
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776-790 |
| 28.06. |
Beweis des Satzes von Picard und Lindelöf, Bemerkung zu iterativen Lösungsverfahren, Eindeutigkeitssatz, Beispiel für nicht eindeutige Lösungen, globale Existenz und Eindeutigkeit, maximale Lösungen für lineare AWP sind global definiert, Existenzsatz von Cauchy und Peano (ohne Beweis), Gronwall-Ungleichung, Formulierung des Satzes zur stetigen Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen
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791-806 |
| 03.07. |
Beweis des Satzes zur stetigen Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen, Bemerkungen und Beispiel; lineare Systeme im Rn: Struktur des Lösungsraums, Fundamentalsystem und Fundamentalmatrix, Beispiel, Variation der Konstanten in diesem Kontext, das Matrixexponential und seine Eigenschaften, Lösung eines homogenen linearen Systems mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe des Matrixexponentials
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807-825 |
| 05.07. |
Eigenschaften der Exponentialabbildung für Matrizen, Zusammenfassung zur Lösung von linearen DG-Systemen mit konstanten Koeffizienten, Jordansche Normalform über C, Jordansche Normalform über R, Anwendung auf lineare DG-Systeme
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826-841 |
| 10.07. |
Übertragung der Resultate von linearen Systemen erster Ordnung auf Differentialgleichungen höherer Ordnung: maximale und globale Existenz und Eindeutigkeit, lineare DG höherer Ordnung, Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante in diesem Kontext, Variation der Konstanten zum Auffinden einer speziellen Lösung, Beispiel, lineare DG höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Bestimmung eines Fundamentalsystems mit Hilfe des charakteristischen Polynoms, Ansätze für spezielle Lösungen von inhomogenen Systemen in einigen Spezialfällen, Beispiel: getriebener harmonischer Oszillator
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842-862 |
| 12.07. |
Rückblick auf die Inhalte der Vorlesung (außer Differentialgleichungen). Warnung: Diese Auswahl ist als Überblick mit Querbezügen gedacht. Sie kann als Teil der Klausurvorbereitung genutzt werden, ersetzt aber nicht die Beschätigung mit dem Vorlesungsskript.
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Übungen
Die Übungsblätter erscheinen wöchentlich hier auf der Webseite. Diese müssen Sie jeweils innerhalb einer Woche handschriftlich bearbeiten (Abgabehinweise finden Sie auf dem jeweiligen Aufgabenblatt). In der Regel eine Woche später erhalten Sie Ihre Lösungen korrigiert zurück.
Einige Hinweise zur Bearbeitung von Übungsblättern habe ich vor zwei Jahren für den Mathematik-Vorkurs verfasst. Sie gelten im Wesentlichen auch für die Übungen zu dieser Vorlesung.
Die Anmeldung und Einteilung der Übungsgruppen erfolgt ausschließlich über STINE.
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Bitte achten Sie darauf, dass Sie in STINE (neben dem gesamten Modul)
sowohl für die Vorlesung als auch für die Übungen angemeldet sein
müssen. Für Wiederholer ist die Anmeldung für den - in STINE für
Wiederholer als optional eingestuften - Modul-Baustein Übungen nur unter
dem STINE-Menü-Punkt Öffentliche Veranstaltungen möglich.
Die Möglichkeit der Anmeldung (ggf. Ummeldung in eine andere Gruppe,
wenn dort Plätze frei sind) endet am
11.04., 13:00.
Ohne Anmeldung können wir keine Teilnahme ermöglichen! Studienleistungen
(für die Bonus-Regelung, s.u.) können nur erbracht werden, wenn eine
Übungsgruppen-Anmeldung (regulär oder - falls Sie Wiederholer sind - als
Hörer) in STINE besteht.
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Bei technischen Problemen wenden Sie sich bitte an den support
mit einer Problembeschreibung und den wichtigsten Angaben. Dozenten
haben keine Benutzerrechte, um Ihnen bei STINE-Problemen helfen zu
können.
Tutorien
Die Tutorien sind freiwillige Veranstaltungen (und gehen nicht in den
Bonus, s.u., ein). Wir empfehlen Ihnen dennoch ausdrücklich, das Angebot wahrzunehmen.
Tutoriumstermine für Studierende der Physik:
Fr 14:30-16:00 Uhr im Blauen Salon der Physik (Jungiusstraße 11) und
Mo 14:15-16:15 Uhr im Hörsaal INF der Physik (Jungiusstraße 11)
Die Tutorien für Studierende der Meteorologie wurden separat angekündigt.
Klausur, Bonus-Regelung
Die Abschlussprüfung findet in Form einer 120minütigen Klausur statt.
Bitte bringen Sie zur Klausur einen schwarz- oder blau-schreibenden
Stift und Personalausweis/Reisepass sowie
Studierendenausweis/Studienbescheinigung mit.
Es sind keine Hilfsmittel erlaubt, insbesondere sind
Taschenrechner und Formelsammlungen nicht zugelassen.
Wichtig: Für die
Teilnahme an der Klausur müssen Sie sich im Vorwege zur
Prüfung angemeldet haben (siehe Prüfungsordnung der
Fakultät).
Die Anmeldung kann bis 3 Tage vor der Prüfung
über STINE vorgenommen werden. Es dürfen nur diejenigen Studierenden
an der Klausur teilnehmen, die auch auf der Anmeldeliste stehen.
Vorbehaltserklärungen und nachträgliche
Prüfungsanmeldungen sind ausgeschlossen. Wir können Sie also
weder vor Ort noch nachträglich anmelden.
Bonus
Sie können semesterbegleitend einen Bonus erwerben, der
Ihr Klausurergebnis verbessern kann.
Dieser Bonus gilt nur für das aktuelle Semester!
Um den Bonus zu erhalten, müssen Sie alle der folgenden Bedingungen erfüllen:
- Sie haben einmal im Semester eine Übungsaufgabe im Wesentlichen korrekt in Ihrer Übungsgruppe vorgerechnet.
- Sie haben für die ersten 6 Übungsblätter mindestens 50% der erreichbaren Punkte erhalten.
- Sie haben für die letzten 6 Übungsblätter mindestens 50% der erreichbaren Punkte erhalten.
Effekt des erfolgreich erworbenen Bonuses:
Falls Sie die Bestehensgrenze der Klausur um höchstens 5 Prozent der Gesamtpunktzahl verfehlen, können Sie mit Hilfe des Bonuses die Klausur trotzdem noch bestehen, und erhalten die Note 4,0. Falls Sie die Bestehensgrenze der Klausur erreicht haben, aber mit den Klausurpunkten nicht die Note 1,0 erzielen, so verbessert sich Ihre Prüfungsnote mit dem Bonus um 1/3 (siehe Bachelorprüfungsordnung). Erreichen Sie in der Klausur die Note 1,0, so hat der Bonus keinen Effekt.
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