Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie,
Meteorologie und Physik und des Computing in Science
Veranstalter: Janko Latschev
Übungsorganisation: Ralf Holtkamp
Quicklinks: Logbuch, Übungsblätter, Skript
Informationen zur Klausureinsicht:
Die Klausurergebnisse der zweiten Klausur sind jetzt auf STiNE veröffentlicht.
Die Möglichkeit zur Klausureinsicht besteht am Montag, 25.03.2019, in Geom 241, zwischen 13:00 und 14:30 Uhr. Bitte kommen Sie mit Personalausweis/Reisepass und ohne Taschen/Stifte. In begründeten Einzelfällen können wir auch einen alternativen Termin vereinbaren.
Vorsorglich weisen wir darauf hin, dass Nachkorrekturen nur für die gesamte Klausur möglich sind, nicht für einzelne Aufgaben.
Die Vorlesung findet mittwochs 08:15-09:45 im ESA A (Hauptgebäude) und freitags 08:15-09:45 im Hörsaal H der Erziehungswissenschaft statt.
Die aktive Teilnahme an den Übungsgruppen und die gründliche Beschäftigung mit den Übungsaufgaben sind essentiell für Ihren Studienerfolg.
Sie müssen jeweils an der Übung teilnehmen, für die Sie in STiNE eingeteilt sind. (Sollten in STiNE noch mehrere Räume angegeben sein, informieren Sie sich bitte im Raum mit der kleinsten Nummer.)
Inhalt
Die Zahlbereiche N, Q, R und C, konvergente Folgen und Reihen,
Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen in einer
Veränderlichen,
Integration solcher Funktionen, Vektoren und Vektorräume,
lineare Gleichungssysteme.
Vorkenntnisse
Gute Schulkenntnisse
Literatur und Material
Die aktuelle Version des Vorlesungsskripts ist vom 29.01.2019.
Bitte beachten Sie auch unsere begleitenden
Veranschaulichungen
zur Vorlesung.
Es gibt unzählige Lehrbücher zu Analysis und linearer Algebra, zum Beispiel:
Außerdem empfehlen wir Ihnen das Buch Wie man mathematisch denkt. Eine Einführung in die mathematische Arbeitsweise für Studienanfänger von Kevin Houston, welches viele Schwierigkeiten thematisiert, die beim Übergang von der Schule an die Universität vor allem durch die unterschiedliche Arbeitsweise und das höhere Abstraktionsniveau entstehen.
Logbuch zur Vorlesung
Hier werden jeweils zeitnah die Inhalte der einzelnen Vorlesungen stichpunktartig festgehalten.
| Datum |
Inhalt |
Skriptfolien |
| 24.10. |
Organisatorisches; Aussagen, Mengen, Rechenregeln für Mengen, Quantoren, Beweistechniken, insbesondere vollständige Induktion |
1-18 |
| 26.10. |
rekursive Definitionen, Eigenschaften natürlicher und rationaler Zahlen, Abbildungen und ihre Eigenschaften, Körperaxiome und elementare Konsequenzen daraus |
19-36 |
| 02.11. |
Ordnungsaxiome für R und erste Konsequenzen, Intervalle, dedekindsches Schnittaxiom als wesentlicher Unterschied von R und Q, Absolutbetrag und Abstände reeller Zahlen, Körper C der komplexen Zahlen: Definition und elementare Eigenschaften |
37-54 |
| 09.11. |
Absolutbetrag und Abstände in C, metrische Räume; Folgen, Konvergenz von Folgen und Grenzwert, Beispiele, Eindeutigkeit des Grenzwerts, Beschränktheit und Konvergenz, Rechenregeln für Grenzwerte, Cauchyfolgen und Vollständigkeit der reellen Zahlen |
55-73 |
| 14.11. |
graphische Veranschaulichung von Folgen und Konvergenz, monotone Folgen und ihre Konvergenz, Satz von Bolzano und Weierstraß, Heron-Verfahren zur Berechnung von Wurzeln, Q ist nicht vollständig, C ist vollständig, Konvergenzeigenschaften geometrischer Folgen |
74-93 |
| 16.11. |
Reihen in R und C, Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen, Konvergenzkriterien, Beispiele, Exponentialreihe, Cauchyprodukt von absolut konvergenten Reihen, binomischer Lehrsatz, Funktionalgleichung der Exponentialfunktion |
94-112 |
| 21.11. |
Exkurs zur Definition von ax für a>0 und reelle Exponenten x, Definition von Sinus und Kosinus, Eigenschaften fü reelle Argumente, Polarkoordinaten, weitere Konvergenzkriterien, Beispiele zu Umordnungen von Reihen |
113-127 |
| 23.11. |
Umordnung und absolute Konvergenz, Umordnungssatz von Riemann; endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen, Beispiele: NxN, Q, Qn, R, Supremum und Infimum einer Teilmenge von R, liminf und limsup für reelle Folgen |
127-145 |
| 28.11. |
Definition Stetigkeit mit Folgenkriterium, Grenzwert einer Funktion in einem Punkt, Beispiele f\"ur stetige Funktionen, Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig, Exponentialfunktion und Winkelfunktionen sind stetig, hyperbolische Winkelfunktionen (Definition und Eigenschaften), Zwischenwertsatz, Infimum und Supremum reellwertiger Funktionen, Minimum-Maximum-Eigenschaft f\"ur Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen, ε-δ-Definition von Stetigkeit |
146-164 |
| 30.11. |
Bemerkungen zur ε-δ-Definition von Stetigkeit; Definition von π, weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen, Umkehrfunktionen, Existenz im Fall von streng monoton wachsenden Funktionen, Stetigkeit der Umkehrfunktion für monotone Funktionen folgt aus der Stetigkeit der Funktion selbst, Beispiele: Wurzeln, Logarithmus, Exponentialfunktion zur Basis a und ihre Eigenschaften |
164-188 |
| 5.12. |
weitere Eigenschaften der Exponentialfunktionen, Charakterisierung durch Stetigkeit in 0 und die Funktionalgleichung, uneigentliche Grenzwerte, Beispiele dazu, exponentielles Wachstum, logarithmisches Wachstum, Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen, Begründung der Polarkoordinaten, n-te Einheitswurzeln, Lösungen von zn=c in den komplexen Zahlen |
189-205 |
| 7.12. |
Fundamentalsatz der Algebra mit Beweis; Differentialrechnung: Differenzenquotienten, differenzierbar in einem Punkt, Ableitung, Interpretationen, erste Beispiele, Beziehung zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit, affine (lineare) Approximation und Differenzierbarkeit |
205-223 |
| 12.12. |
Ableitungsregeln, Ableitung der Umkehrfunktion, Kettenregel, lokale Extrema und Zusammenhang mit der Ableitung, Satz von Rolle, Mittelwertsatz, Schrankensatz |
224-240 |
| 14.12. |
Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung, verallgemeinerter Mittelwertsatz, Regel von L'Hospital, Beziehung zwischen Monotonie und Vorzeichen der Ableitung, lokale Extrema als Vorzeichenwechsel der Ableitung, höhere Ableitungen, Charakterisierung lokaler Extrema über das Verhalten der zweiten Ableitung, konvexe Funktionen, Konvexität ist äquivalent zu nichtnegativer zweiter Ableitung |
241-258 |
| 19.12. |
Taylor-Entwicklung, Beispiele, Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen (punktweise vs. gleichmäßig), der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen ist wieder eine stetige Funktion, Umformulierung für Funktionenreihen, Differentation von Funktionenfolgen und -reihen |
259-277 |
| 21.12. |
Rückblick auf die bisherigen Themen, einschließlich kurzer Diskussion der Riemannschen ζ-Funktion. Warnung: Die in dieser Vorlesung dargestellten Sätze und Aussagen sind nicht offizieller Teil des Vorlesungsskriptes, dürfen also in dieser Form für Übungsaufgaben und Klausur nicht ohne weitere Begründungen verwendet werden. Die im Rückblick nicht thematisierten Grundlagen sind zum Beispiel in Kapitel 5,6 und 10 dieses Vorkursskriptes näher dargestellt. |
--- |
| 09.01. |
Treppenfunktionen, Integral von Treppenfunktionen, Linearität und Monotonie des Integrals, Ober- und Unterintegral einer beschränkten Funktion, Eigenschaften, Definition der Integrierbarkeit, Riemann-Integral, Linearität und Monotonie des Riemann-Integrals, weitere Eigenschaften, Integrale von Rn- und C-wertigen Funktionen, stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind integrierbar |
278-296 |
| 11.01. |
Mittelwertsatz der Integralrechnung, Integrierbarkeit von Produkten, Approximation durch Riemannsche Summen, Stammfunktionen, Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, Substitutionsregel, Beispiele, partielle Integration, Beispiele, uneigentliche Integrale, Beispiele |
297-321 |
| 16.01. |
Definition Vektorraum, Beispiele, Unterräume, Beispiele, Linearkombinationen, lineare Unabhängigkeit einer Familie von Vektoren, lineare Hülle einer Familie von Vektoren, Erzeugendensystem, Basis, Beispiele, Charakterisierung von Basen, Basisauswahlsatz |
322-343 |
| 18.01. |
Austauschlemma, Steinitzscher Austauschsatz, Dimension eines Vektorraumes, Beispiele, weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz, Bestimmung einer Basis eines Unterraums mit dem Gaußschen Algorithmus, Beispiel |
344-361 |
| 23.01. |
Definition lineare Abbildung, elementare Eigenschaften und Beispiele, Dualraum, Vektorräume von Matrizen, Produkt einer Matrix mit einem Vektor oder einer anderen Matrix, Interpretation als lineare Abbildung von Kn nach Km bzw. als Verknüpfung solcher Abbildungen
|
362-377 |
| 25.01. |
Spur einer quadratischen Matrix, darstellende Matrix einer Abbildung zwischen Vektorräumen mit gegebenen Basen, Rang linearer Abbildungen, Dimensionsformel und Folgerungen, innere Summe von Unterrämen, äußere direkte Summe, innere direkte Summe, Dimensionsformel für Summen von Unterräumen, Charakterisierung der inneren direkten Summe
|
378-394 |
| 30.01. |
alternative Charakterisierungen von direkten Summen, Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, Beispiel, Definition und Beispiele von Gruppen, Gruppenhomomorphismen, Beispiele und elementare Bemerkungen, symmetrische Gruppe, Sn ist für n ≥3 nicht kommutativ, Permutationen sind Produkte von Transpositionen, Vorzeichen einer Permutation
|
395-416 |
| 01.02. |
Eigenschaften des Vorzeichenhomomorphismus, zyklische Permutationen; Determinante: Motivation im 2-dimensionalen Fall, axiomatische Beschreibung, weitere Eigenschaften, Existenz, Eindeutigkeit und explizite Formel für die Determinante
|
417-432 |
Übungen
Die Übungsblätter erscheinen wöchentlich hier auf der Webseite. Diese müssen Sie jeweils innerhalb einer Woche handschriftlich bearbeiten (Abgabehinweise finden Sie auf dem jeweiligen Aufgabenblatt). In der Regel eine Woche später erhalten Sie Ihre Lösungen korrigiert zurück.
Einige Hinweise zur Bearbeitung von Übungsblättern habe ich vor zwei Jahren für den Mathematik-Vorkurs verfasst. Sie gelten im Wesentlichen auch für die Übungen zu dieser Vorlesung.
Die Anmeldung und Einteilung der Übungsgruppen erfolgt ausschließlich über STINE.
-
Bitte achten Sie darauf, dass Sie in STINE (neben dem gesamten Modul)
sowohl für die Vorlesung als auch für die Übungen angemeldet sein
müssen. Für Wiederholer ist die Anmeldung für den - in STINE für
Wiederholer als optional eingestuften - Modul-Baustein Übungen nur unter
dem STINE-Menü-Punkt Öffentliche Veranstaltungen möglich.
Die Möglichkeit der Anmeldung (ggf. Ummeldung in eine andere Gruppe,
wenn dort Plätze frei sind) endet am
25.10., 13:00.
Ohne Anmeldung können wir keine Teilnahme ermöglichen! Studienleistungen
(für die Bonus-Regelung, s.u.) können nur erbracht werden, wenn eine
Übungsgruppen-Anmeldung (regulär oder - falls Sie Wiederholer sind - als
Hörer) in STINE besteht.
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Bei technischen Problemen wenden Sie sich bitte an den support
mit einer Problembeschreibung und den wichtigsten Angaben. Dozenten
haben keine Benutzerrechte, um Ihnen bei STINE-Problemen helfen zu
können.
Tutorien
Die Tutorien sind freiwillige Veranstaltungen (und gehen nicht in den
Bonus, s.u., ein). Wir empfehlen Ihnen dennoch ausdrücklich, das Angebot wahrzunehmen.
Tutoriumstermine für Studierende der Physik:
Mo 10-12 Uhr im Blauen Salon der Physik
und
Fr 14:15-16:15 Uhr im Hörsaal 3 der Physik (Jungiusstraße 9)
Die Tutorien für Studierende der Meteorologie wurden separat angekündigt.
Klausur, Bonus-Regelung
Die Abschlussprüfung findet in Form einer 120minütigen Klausur statt.
Der Termin der ersten Klausur ist voraussichtlich Samstag, der 2.2.2019., 9:30-11:30.
Der Termin der Nachklausur ist voraussichtlich Donnerstag, der 21.03.2019.
Verbindlich ist stets der in STINE angegebene Termin.
Bitte bringen Sie zur Klausur einen schwarz- oder blau-schreibenden
Stift und Personalausweis/Reisepass sowie
Studierendenausweis/Studienbescheinigung mit.
Es sind keine Hilfsmittel erlaubt, insbesondere sind
Taschenrechner und Formelsammlungen nicht zugelassen.
Wichtig: Für die
Teilnahme an der Klausur müssen Sie sich im Vorwege zur
Prüfung angemeldet haben (siehe Prüfungsordnung der
Fakultät).
Die Anmeldung kann bis 3 Tage vor der Prüfung
über STINE vorgenommen werden. Es dürfen nur diejenigen Studierenden
an der Klausur teilnehmen, die auch auf der Anmeldeliste stehen.
Vorbehaltserklärungen und nachträgliche
Prüfungsanmeldungen sind ausgeschlossen. Wir können Sie
weder vor Ort noch nachträglich anmelden.
Bonus
Sie können semesterbegleitend einen Bonus erwerben, der
Ihr Klausurergebnis verbessern kann.
Dieser Bonus gilt nur für das aktuelle Semester!
Um den Bonus zu erhalten, müssen Sie alle der folgenden Bedingungen erfüllen:
- Sie haben einmal im Semester eine Übungsaufgabe im Wesentlichen korrekt in Ihrer Übungsgruppe vorgerechnet.
- Sie haben für die ersten 5 Übungsblätter mindestens 50% der erreichbaren Punkte erhalten.
- Sie haben für die letzten 5 Übungsblätter mindestens 50% der erreichbaren Punkte erhalten.
Effekt des erfolgreich erworbenen Bonuses:
Falls Sie die Bestehensgrenze der Klausur um höchstens 5 Prozent der Gesamtpunktzahl verfehlen, können Sie mit Hilfe des Bonuses die Klausur trotzdem noch bestehen, und erhalten die Note 4,0. Falls Sie die Bestehensgrenze der Klausur erreicht haben, aber mit den Klausurpunkten nicht die Note 1,0 erzielen, so verbessert sich Ihre Prüfungsnote mit dem Bonus um 1/3 (siehe Bachelorprüfungsordnung). Erreichen Sie in der Klausur die Note 1,0, so hat der Bonus keinen Effekt.
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