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Topologische unendliche Graphentheorie, SoSe 2020
Vorlesungstermine
Montags, 10:15 - 11:45 Uhr, on Bigbluebutton
Übungstermine
Montags, 12:15 - 13:45 Uhr.
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Digitales Lernen
Die Vorlesung und Übungen werden online angeboten. Das Zugangspasswort zum Bigbluebutton Übungsraum finden Sie auf Stine; oder schreiben Sie mir eine Email. Die Vorlesungen sind live und interaktiv. Parallel dazu werden die Vorlesungen aufgezeichnet und danach zur Verfügung gestellt.
Inhalt
Die Graphentheorie ist eines der
jüngsten und zugänglichsten Gebiete der Mathematik.
Hier begegnet man vom ersten Tag an
mathematischen Problemen, die man im Prinzip ohne
weitere Voraussetzungen selbst bearbeiten könnte. Unendliche Graphentheorie ist ein faszinierendes Teilgebiet der Graphentheorie, deren Reiz unter anderem darin besteht, dass Beweise im Gegensatz zu den endlichen Induktionsbeweisen viel algorithmischer und konstruktiver sein müssen -- und dann oftmals auch neue Einblicke im Rückschluss auf endliche Graphen erlauben.
Die Vorlesung folgt anfangs dem 8. Kapitel des Buchs Graph Theory (Springer, Graduate Text in Mathematics 173) von Reinhard Diestel. Einen guten Überblick gibt der folgende Survey Artikel:
-
Locally finite graphs with ends: a topological approach I-III
(R. Diestel),
Discrete Math 311-312 (2010-11);
PDF of parts I-II
Weitere Quellen für den späteren Teil der Vorlesung werden auch hier online zur Verfügung gestellt.
Voraussetzungen
Die Vorlesung wendet sich typischerweise an Hörer im
Mastersemester, und setzt das Material aus der Graphentheorie 1 voraus. Eine vorherige Teilnahme an meiner Vorlesung Unendliche Graphentheorie aus dem letzten Semester ist empfohlen -- die wichtigsten Hintergründe kann man sich aber auch selbst im 8. Kapitel des Buchs Graph Theory (Springer, Graduate Text in Mathematics 173) von Reinhard Diestel anlesen. Bekanntschaft mit etwas Topologie ist vorteilhaft aber nicht nötig.
Übungsblätter
Zur Vorlesung gibt es Übungen, die durchaus
über den Vorlesungsstoff hinausgehen können und auf die aktuelle Forschung hinführen. Die Übungsblätter erscheinen im wöchentlichen Rhythmus. Sie werden Ihre Lösungen in den Übungen mündlich präsentieren. Hierzu tragen Sie sich jeweils vor der Übung in eine Liste ein, welche Aufgaben Sie gelöst haben und bereit sind, vorzutragen. Denken Sie beim Vortragen an das Schema: Situation -- Complication -- Solution, d.h. erinnern Sie Ihre Kommilitonen kurz daran, was eigentlich das Problem / die Aufgabe war, wo eventuell die Schwierigkeit der Aufgabe liegt, und erst dann, wie Ihre Lösung aussieht.
Leistungsnachweis
Bestehen der schriftlichen/mündlichen Prüfung. Für die Prüfungszulassung wird eine erfolgreiche Teilnahme an der Übung vorausgesetzt (Lösen von mindestens 50% der Aufgaben). Wenn Sie eine Woche wegen Krankheit verpassen, wird diese Woche bei Vorlegen eines Attests (kurze Email an mich) von den 50% rausgerechnet.) Allgemeine Tipps zum Ablauf,
zur Vorbereitung, und zum Prüfungsstoff gibt es hier.
Material
- R. Diestel, Graph Theory (5th ed'n), GTM 173, Springer 2017. Online verfügbar aus dem Uni-Netzwerk. Achtung: Die deutsche Version des Buches enthält das Kapitel über unendliche Graphen n i c h t.
- Deutsch-englisches Glossar.
- Den Originalbeweis über Eulertouren in connected standard subspaces von Blatt 5 Aufgabe 1 kann man hier in Theorem 1.3 nachlesen.
Logbuch
Ex.x beziehen sich auf die Kapitel in der englischen Version des Buches.
- 20. April: Der Endenbegriff sowie der topologische Raum |G|, Kompaktheitstheorem für lokal endliches |G| (E8.6 Anfang inklusive Theorem 8.6.1, Survey Page 4.)
- 27. April: Metrisierbarkeit von |G| unter MTop (siehe Theorem 3.1 hier) sowie das Jumping Arc Lemma. (Theorem 8.6.2, Lemma 8.6.3)
- 4. Mai: Der Wilde Kreis, Kombinatorische Charakterisierung von topologischen Kreisen durch Endengrad=2, Definition und Eigenschaften topologische Spannbäume (Relevante Ausschnitte Kapitel 8.6, sowie Übungen 96 und 98; Siehe auch Survey Lemma 1.7 und 1.8)
- 11. Mai: NSTs are TSTs (Lemma 8.6.8). Zwei Methoden, um Arcs in |G| zu konstruieren (Methode 1: Lemma 8.6.7 und 8.6.11; Methode 2: Direkter Beweis von Lemma 8.6.5 wie in zweiter Hälfte des Beweises zu Theorem 8.7.3.) Siehe auch Survey, Kapitel 3.
- 18. Mai: Tree-packing für TSTs (Theorem 8.6.9). Aharoni-Thomassen Konstruktion für k-zusammenhängende lokal endliche Graphen, sodass jeder Circuit trennt (siehe Survey, p. 36f).
- 25. Mai: Unendliche Graphen als Inverse Limits endlicher Minoren (Kapitel 8.8 bis inklusive Lemma 8.8.3).
- 8. Juni: Lifting Lemma (Lemma 8.8.4). Inverse Limit Representation Theorem für graphenartige Räume.
- 15. Juni: The topological cycle space (Kapitel 8.7; vergleiche auch Survey Theorem 2.1 und 2.2)
- 22. Juni: Proof of MacLane's Theorem for both |G| and for 2-connected graph-like metrizable continua.
- 29. Juni: Approximation von unendlichen Graphen durch normale Bäume sowie tiefergehende topologische Eigenschaften allgemeiner Endenräume. (Paper)
- 6. Juli: Orthgonalität von Zyklen- und Schnittraum (Survey Theorem 2.6). Parität von Endengraden sowie Start der kombinatorischen Bruhn-Stein Charakterisierung von topolischen Zyklenraumelementen (Survey Theorem 2.5).
- 6. Juli: Beweis der kombinatorischen Bruhn-Stein Charakterisierung von topolischen Zyklenraumelementen (Siehe das Original Paper und, für Experten, auch die Generalisierung auf graphenartige Räume in Abschnitt 4, Seite 20 hier).
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