Janko Latschev
Vorlesung "Funktionentheorie", Sommersemester 2013
Funktionentheorie ist die systematische Untersuchung von Funktionen komplexer Argumente. Während ein Teil der Theorie durchaus parallel zur reellen Analysis entwickelt werden kann, treten hier auch völlig neue Phänomene auf, welche eine eigenständige Behandlung erfordern und viele interessante Anwendungen haben. Sogar manche Probleme der reellen Analysis werden über den Umweg "ins Komplexe" einfacher lösbar.
Die Vorlesung bietet eine Einführung in das Thema, und richtet sich an Studierende der Mathematik, des Lehramts Mathematik und der Physik. Vorrangiges Ziel ist die Bereitstellung der grundlegenden Sätze (Integralformel von Cauchy, Residuensatz, Riemannscher Abbildungssatz, usw.), einschließlich typischer Anwendungen. Daneben werden einige geometrische Aspekte behandelt.
Übungsblätter (Abgabetermin in Klammern)
Blatt 1 (11.4.)
Blatt 2 (18.4.)
Blatt 3 (25.4.)
Blatt 4 (2.5.)
Blatt 5 (korrigiert am 14.5., Abgabe: 16.5.)
Literatur zur Vorlesung:
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Logbuch:
| 02.04. | Die komplexen Zahlen, verschiedene Interpretationen, Realteil, Imaginärteil, Betrag, Polarkoordinaten, Rechtfertigung über Eigenschaften der Exponentialfunktion, Argument als Abbildung nach R/2πZ, Hauptzweig des Arguments, komplexer Logarithmus, Beispiele für die graphische Darstellung komplexer Funktionen
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| 04.04. | Lösbarkeit von polynomialen Gleichungen, Wurzeln und Einheitswurzeln, C als metrischer Raum, die Riemannsche Zahlenkugel C=C∪{∞} als Kompaktifizierung von C, rationale Funktionen sind stetig auf C, Möbiustransformationen
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| 09.04. | Eigenschaftern von Möbiustransformationen: 3-Punkt-Transitivität, Erhalt von Doppelverhältnissen, 4 Punkte auf einem Kreis äquivalent zu reellem Doppelverhältnis; Definition komplexe Differenzierbarkeit, elementare Eigenschaften der Ableitung, Definition holomorphe Funktion
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| 11.04. | äquivalente Charakterisierungen der komplexen Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemann-Gleichungen, Folgerungen: holomorphe Funktionen mit nichtverschwindender Ableitung sind orientierungserhaltend und winkeltreu; biholomorphe Abbildungen:Definition, Beispiele, nichtverschwindende Ableitung als lokales Kriterium
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| 16.04. | Kurvenintegrale komplexer Funktionen: Definition, elementare Eigenschaften, Beispiele, Kriterien für die Existenz von Stammfunktionen, Satz von Goursat
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| 18.04. | Endes des Beweises zum Satz von Goursat, Folgerungen daraus, insbesondere Cauchyscher Integralsatz für sternförmige offene Mengen, Cauchysche Integralformel
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| 23.04. | Dies academicus (keine Vorlesung und keine Übung)
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| 25.04. | Vertauschen von Ableitung und Integral, verallgemeinerte Cauchysche Integralformeln, Satz von Morera, Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra; Elementargebiete: Definition, Existenz von Logarithmen und Wurzeln, Konstruktion von Elementargebieten als Vereinigungen, biholomorphe Bilder von Elementargebieten sind wieder Elementargebiete
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| 30.04. | vorläufige Zusammenfassung zu Elementargebieten; Folgen und Reihen holomorpher Funktionen: mögliche Konvergenzbegriffe, Vertauschbarkeit von Integral und Grenzwertbildung, Grenzwerte lokal gleichmäßig konvergenter Folgen holomorpher Funktionen sind holomorph, Potenzreihen und Konvergenzradius, Taylorreihe, Funktionen sind holomorph genau dann, wenn sie sich lokal als Potenzreihe darstellen lassen
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| 02.05. | Wiederholung: Äquivalente Charakterisierungen holomorpher Funktionen; Rechen mit Potenzreihen: Reziproke Funktion, Beispiel P(z)=(exp(z)-1)/z, Bernoulli-Zahlen, Verknüpfung von Potenzreihen; Identitätssatz für holomorphe Funktionen
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| 07.05. | Ordnung einer Nullstelle, Nullstellen holomorpher Funktionen sind isoliert, Satz über die lokale Abbildung, Offenheitssatz, Biholomorphiesatz, Beispiel, Maximumsprinzp für holomorphe Funktionen
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| 09.05. | Himmelfahrt (keine Vorlesung und keine Übung)
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| 14.05. | Schwarzsches Lemma, Anwendung: Beschreibung der Biholomorphismen der Kreisscheibe; ausführliche Nebenbemerkungen zur hyperbolische Geometrie der Kreisscheibe: Poincaré-Metrik, hyperbolische Länge einer Kurve, hyperbolischer Abstand, biholomorphe Abbildungen sind Isometrien, Berechnung des Abstandes vom Nullpunkt und allgemein, Bedeutung des Modells für den axiomatischen Zugang zur Geometrie
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| 16.05. |
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| 28.05. |
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| 30.05. |
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| 04.06. |
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| 06.06. |
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| 11.06. | keine Vorlesung
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| 13.06. | keine Vorlesung
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| 18.06. |
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| 20.06. |
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| 25.06. |
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| 27.06. |
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| 02.07. |
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| 04.07. |
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| 09.07. |
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| 11.07. |
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