Janko Latschev
Vorlesung "Funktionentheorie", Sommersemester 2013
Funktionentheorie ist die systematische Untersuchung von Funktionen komplexer Argumente. Während ein Teil der Theorie durchaus parallel zur reellen Analysis entwickelt werden kann, treten hier auch völlig neue Phänomene auf, welche eine eigenständige Behandlung erfordern und viele interessante Anwendungen haben. Sogar manche Probleme der reellen Analysis werden über den Umweg "ins Komplexe" einfacher lösbar.
Die Vorlesung bietet eine Einführung in das Thema, und richtet sich an Studierende der Mathematik, des Lehramts Mathematik und der Physik. Vorrangiges Ziel ist die Bereitstellung der grundlegenden Sätze (Integralformel von Cauchy, Residuensatz, Riemannscher Abbildungssatz, usw.), einschließlich typischer Anwendungen. Daneben werden einige geometrische Aspekte behandelt.
Übungsblätter (Abgabetermin in Klammern)
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Eine Lösung für Aufgabe 3c) von Blatt 8
findet sich bei Freitag/Busam auf S.251/252.
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11 (11.7.)
Literatur zur Vorlesung:
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Logbuch:
| 02.04. | Die komplexen Zahlen, verschiedene Interpretationen, Realteil, Imaginärteil, Betrag, Polarkoordinaten, Rechtfertigung über Eigenschaften der Exponentialfunktion, Argument als Abbildung nach R/2πZ, Hauptzweig des Arguments, komplexer Logarithmus, Beispiele für die graphische Darstellung komplexer Funktionen
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| 04.04. | Lösbarkeit von polynomialen Gleichungen, Wurzeln und Einheitswurzeln, C als metrischer Raum, die Riemannsche Zahlenkugel C=C∪{∞} als Kompaktifizierung von C, rationale Funktionen sind stetig auf C, Möbiustransformationen
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| 09.04. | Eigenschaftern von Möbiustransformationen: 3-Punkt-Transitivität, Erhalt von Doppelverhältnissen, 4 Punkte auf einem Kreis äquivalent zu reellem Doppelverhältnis; Definition komplexe Differenzierbarkeit, elementare Eigenschaften der Ableitung, Definition holomorphe Funktion
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| 11.04. | äquivalente Charakterisierungen der komplexen Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemann-Gleichungen, Folgerungen: holomorphe Funktionen mit nichtverschwindender Ableitung sind orientierungserhaltend und winkeltreu; biholomorphe Abbildungen:Definition, Beispiele, nichtverschwindende Ableitung als lokales Kriterium
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| 16.04. | Kurvenintegrale komplexer Funktionen: Definition, elementare Eigenschaften, Beispiele, Kriterien für die Existenz von Stammfunktionen, Satz von Goursat
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| 18.04. | Endes des Beweises zum Satz von Goursat, Folgerungen daraus, insbesondere Cauchyscher Integralsatz für sternförmige offene Mengen, Cauchysche Integralformel
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| 23.04. | Dies academicus (keine Vorlesung und keine Übung)
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| 25.04. | Vertauschen von Ableitung und Integral, verallgemeinerte Cauchysche Integralformeln, Satz von Morera, Satz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra; Elementargebiete: Definition, Existenz von Logarithmen und Wurzeln, Konstruktion von Elementargebieten als Vereinigungen, biholomorphe Bilder von Elementargebieten sind wieder Elementargebiete
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| 30.04. | vorläufige Zusammenfassung zu Elementargebieten; Folgen und Reihen holomorpher Funktionen: mögliche Konvergenzbegriffe, Vertauschbarkeit von Integral und Grenzwertbildung, Grenzwerte lokal gleichmäßig konvergenter Folgen holomorpher Funktionen sind holomorph, Potenzreihen und Konvergenzradius, Taylorreihe, Funktionen sind holomorph genau dann, wenn sie sich lokal als Potenzreihe darstellen lassen
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| 02.05. | Wiederholung: Äquivalente Charakterisierungen holomorpher Funktionen; Rechen mit Potenzreihen: Reziproke Funktion, Beispiel P(z)=(exp(z)-1)/z, Bernoulli-Zahlen, Verknüpfung von Potenzreihen; Identitätssatz für holomorphe Funktionen
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| 07.05. | Ordnung einer Nullstelle, Nullstellen holomorpher Funktionen sind isoliert, Satz über die lokale Abbildung, Offenheitssatz, Biholomorphiesatz, Beispiel, Maximumsprinzp für holomorphe Funktionen
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| 09.05. | Himmelfahrt (keine Vorlesung und keine Übung)
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| 14.05. | Schwarzsches Lemma, Anwendung: Beschreibung der Biholomorphismen der Kreisscheibe; ausführliche Nebenbemerkungen zur hyperbolische Geometrie der Kreisscheibe: Poincaré-Metrik, hyperbolische Länge einer Kurve, hyperbolischer Abstand, biholomorphe Abbildungen sind Isometrien, Berechnung des Abstandes vom Nullpunkt
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| 16.05. | allgemeine Beschreibung kürzester Verbindungen, Bedeutung des Modells für den axiomatischen Zugang zur Geometrie, Liste weiterer Eigenschaften des Poincaré-Modells; (Isolierte) Singularitäten holomorpher Funktionen: einführende Beispiele, Definitionen: hebbare Singularität, Polstelle und wesentliche Singularität, Riemannscher Hebbarkeitssatz, Charakterisierung von Polstellen, Zuordnung jeder isolierten Singularitäten in eine der drei Gruppen
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| 28.05. | Satz von Casorati und Weierstraß, holomorphe Funktionen auf Kreisringen: Existenz und Eindeutigkeit der Laurentzerlegung, Laurentreihe, Integralformel für die Koeffizienten
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| 30.05. | Klassifizierung der isolierten Singularitäten durch ihre lokale Laurententwicklung, Beispiele für Laurentreihen; Meromorphe Funktionen auf offenen Teilmengen von C und C, ganz meromorphe Funktionen sind rational, Satz von Liouville für C
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| 04.06. | Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen, Hauptteilverteilungen und der Satz von Mittag-Leffler, Beispiele für Partialbruchentwicklungen: π2/sin2(πz), π cot(πz), Eulersche Formeln für die Werte der Riemannschen Zeta-Funktion in den geraden natürlichen Zahlen; Definition der Umlaufzahl einer geschlossenen Kurve
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| 06.06. | Umlaufzahlen sind ganze Zahlen, Umlaufzahl ist konstant auf den Zusammenhangskomponenten des Komplements der Kurve und verschwindet auf der unbeschränkten Komponente, diverse Homotopiebegriffe, Homotopieversionen des Cauchyschen Integralsatzes, Homotopieinvarianz der Umlaufzahl, Berechnungsmethode (ohne Beweis), nullhomotope und nullhomologe geschlossene Kurven, Formulierung der allgemeinen Cauchyschen Integralformel
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| 11.06. | keine Vorlesung
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| 13.06. | keine Vorlesung
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| 18.06. | Beweis der allgemeinen Cauchyschen Integralformel, Folgerungen: Charakterisierung nullhomologer geschlossener Kurven, Existenz von Stammfunktionen holomorpher Funktionen auf Kreisringen, Definition des Residuums, Residuensatz
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| 20.06. | Beweis des Residuensatzes, Rechenregeln für Residuen, Beispiele, Anwendungen des Residuensatzes zur Berechnung reeller Integrale
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| 25.06. | Weitere Beispiele zur Berechnung reeller Integrale, Prinzip vom Argument
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| 27.06. | Kriterium für die Existenz des Logarithmus einer Funktion, Satz von Hurwitz über lokal gleichmäße Grenzwerte von Folgen nullstellenfreier Funktionen, Satz von Rouché mit Beispiel, Anwendung: neuer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, Vergleich der komplexen mit der reellen Differentialrechnung
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| 02.07. | Herleitung von Versionen des Cauchyschen Integralsatzes und des Residuensatzes aus dem Satz von Stokes; Charakterisierung der Elementargebiete durch den Zusammenhang des Komplements in der Zahlenkugel, Beispiele, Formulierung des Riemannschen Abbildungssatzes
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| 04.07. | Beispiele für uniformisierende Abbildungen, beschränkte Familien holomorpher Funktionen sind lokal gleichgradig stetig, Satz von Montel, Beginn des Beweises des Abbildungssatzes
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| 09.07. | Ende des Beweises des Abbildungssatzes, Bemerkungen zum Randverhalten der erhaltenen Abbildung und Ausblick auf den Uniformisierungssatz; Gamma-Funktion
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| 11.07. | Eigeschaften der Gammafunktion, Charakterisierung nach Wielandt, unendliche Produkte und Produktdarstellung der Gammafunktion, Folgerungen (ohne Beweis)
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