Partielle Differentialgleichungen 1

Vorlesung im Wintersemester 2025/26

Dozenten: Thomas Schmidt (Vorlesung), N.N. (Übungen)

Vorlesungtermine (erste Vorlesung am 13. Oktober):

• Mo, 14-16, H1
• Mi, 14-16, H4

Übungsgruppen (erste Übung am 20. Oktober):

• Mo, 16-18, Geom 1240

Relevanz und Hörerschaft: Es handelt sich um eine Vorlesung des Wahl(pflicht)bereichs in allen Master-Studiengängen der Mathematik (M. Sc. Mathematics, M. Sc. Mathematical Physics, M. Sc. Technomathemtik, M. Sc. Wirtschaftsmathematik), deren Besuch allen Studierenden mit Interesse an Analysis sehr empfohlen wird. Die Veranstaltung kann auch im Bachelor-Studium der Mathematik ab 5. Semester sinnvoll belegt werden; sie kann dann entweder im Wahlbereich des Bachelor eingebracht oder für einen späteren Master-Studiengang „aufgespart“ werden. Interessierte Hörer aus anderen Studiengängen sind selbstverständlich willkommen.

Leistungspunkte: Die Vorlesung und die zugehörigen Übungen bilden ein Modul im Wert von 12 ECTS.

Vorkenntnisse: Die Vorlesung baut auf den Grundvorlesungen zur Analysis und linearen Algebra auf. Grundkenntnisse zur Lebesgue-Integration (i.d.R. aus der höheren Analysis) werden ebenfalls vorausgesetzt.

Vorlesungsinhalte: Partielle Differentialgleichungen sind Gleichungen, in denen eine unbekannte Funktion mehrerer Variablen und endlich viele (partielle) Ableitungen dieser Funktion auftreten. Die Theorie dieser Gleichungen ist sehr reichhaltig, kann auf ganz verschiedene Weisen angegangen werden und steht in Wechselwirkung mit vielen verschiedenen Bereichen der Analysis, der Mathematik und der Physik. In dieser einführenden Vorlesung soll die Reichhaltigkeit der Theorie anhand folgender drei Modellgleichungen aufgezeigt werden:

• Laplace-Gleichung (mit harmonischen Funktionen als Lösungen), Poisson-Gleichung,
• Wärmeleitungsgleichung,
• Wellengleichung.

Voraussichtlich wird im Sommersemester 2026 eine Folge-Vorlesung Partielle Differentialgleichungen II angeboten.

Vorlesungsskript: Vorläufige Version (PDF) (nur in englischer Sprache verfügbar).

Literatur: Bekannte Bücher (von unterschiedlichem Niveau und Umfang) sind:

• S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey, Harmonic Function Theory, Springer, 2001,
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998,
• D. Gilbarg, N.E. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001,
• J. Jost, Partial Differential Equations, Springer, 2013,
• J. Rauch, Partial Differential Equations, Springer, 1991,
• F. Sauvigny, Partial Differential Equations (2 Bände), Springer, 2012,
• M.E. Taylor, Partial Differential Equations (3 Bände), Springer, 1996.