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Janko Latschev


Vorlesung  Differentialgeometrie, Sommersemester 2017

Die Vorlesung findet dienstags 8-10 Uhr und donnerstags 10-12 Uhr im H4 statt.
Die Übungen finden donnerstags 12-14 Uhr im Raum Geom 431 statt.

Die Prüfungen zu dieser Vorlesung sind mündlich. Prüfungstermine gibt es in den Kalenderwochen 29 (ab 17.7.) oder 33 (ab 14.8.). Genauere Informationen werden gegen Ende Juni hier veröffentlicht.

Hier finden Sie die Übungsblätter:

Blatt 1   Blatt 2   Blatt 3   Blatt 4   Blatt 5   Blatt 6   Präsenzaufgaben 29.5.
Blatt 7   Blatt 8   Blatt 9   Blatt 10   Blatt 11   Lösung für (A33) c)  

Begleitende Literatur:

J. Robbin und D. Salamon   Introduction to Differential Geometry   Buchprojekt
C.H. Taubes   Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature   Oxford University Press
M. Spivak   A comprehensive introduction to differential geometry, vol. 1   Publish or Perish
I. Agricola, T. Friedrich   Vektoranalysis: Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik   Springer Verlag (Link funktioniert nur aus dem Campus-Netz)
F. Warner   Foundations of differentiable manifolds and Lie groups   Springer Verlag
I. Madsen, J.Tornehave   From calculus to cohomology   Cambridge University Press
B. O'Neill   Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity   Academic Press

Logbuch:

04.04.   Organisatorisches; Wiederholung glatte Untermannigfaltigkeiten des Rn, Definition topologische Mannigfaltigkeit, Beispiel zur Motivation der Hausdorff-Eigenschaft, kurze Erklärung zur Bedeutung der abzählbaren Basis
06.04.   Definition Karte, glatter Atlas, glatte Struktur, Beispiele auf Sk, weitere Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten, insbesondere RPn
11.04.   glatte Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, Diffeomorphismen, Beispiele, Gruppenwirkungen; Tangentialraum in einem Punkt
13.04.   Tangentialvektoren als Derivationen, Differential einer glatten Abbildung, Ausdruck in lokalen Koordinaten, Kettenregel
18.04.   Immersionen, Submersionen, Einbettungen und Beispiele, Satz vom regulären Wert für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, Satz von Sard (Aussage); Vektorbündel: Definition, lokale Trivialisierungen, Kozykelbedingung für Übergangsabbildungen, Konstruktion durch lokales Verkleben
20.04.   Vektorbündel über S2, Tangentialbündel, Schnitte, lokale Darstellung von Vektorfeldern, Bündelmorphismen
25.04.   kurze Diskussion zu Konstruktionen mit Vektorbündeln (direkte Summe, Tensorprodukt, Dualisierung, etc.), zurückgezogenes Bündel, Orientierbarkeit von Vektorbündeln; Vektorfelder als Derivationen von C(M), Kommutator von Derivationen als Lieklammer,
27.04.   Vektorfelder und Flüsse, Beispiele, vollständige Vektorfelder, Lieableitung eines Vektorfeldes in Richtung eines anderen Vektorfeldes, Vergleich mit der Lieklammer, Folgerung: Flüsse kommutieren genau dann, wenn Vektorfelder kommutieren
02.05.   Beispiel für nicht kommutierende Flüsse; Liegruppen: Definition und Beispiele, linksinvariante Vektorfelder und Liealgebraeiner Liegruppe, Berechnung der Klammer für gl(n,R), Exponentialabbildung, Differential eines Liegruppen-Homomorphismus ist ein Liealgebra-Homomorphismus
04.05.   Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten; Satz von Frobenius: Motivation und Formulierung, Beispiele und Gegenbeispiele
15.05.   Motivation zu kovarianten Ableitungen auf Mannigfaltigkeiten und Vektorbündeln, Definition kovariante Ableitung, erste Beispiele, Lokalität im ersten Argument, Beschreibung in lokalen Koordinaten, parallele Vektorfelder, Definition Tensorfeld, erste Beispiele
16.05.   Lokalität von Tensorfeldern, weitere Beispiele: Krümmung und Torsion einer kovarianten Ableitung, Vektorfelder entlang einer glatten Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten, Fortsetzung einer kovarianten Ableitung auf TM zu einer kovarianten Ableitung auf Vektorfeldern entlang f : N → M
18.05.   Beweis der Strukturgleichungen der fortgesetzten kovarianten Ableitung, Vektorfelder entlang Kurven und deren kovariante Ableitung, Paralleltransport entlang Kurven, Abhängigkeit des Paralleltransports vom Weg und die Beziehung zur Krümmung
23.05.   Beweis der Beziehung zwischen Paralleltransport und Krümmung, Bemerkungen zu Paralleltransport, Horizontalräumen und Krümmung, Holonomie; Wiederholung Skalarprodukte
30.05.   (Evaluation); Definition pseudo-Riemannsche Metrik, Beispiele, Existenz von Riemannschen Metriken, Hauptsatz der pseudo-Riemannschen Geometrie (Existenz und Eindeutigkeit des Levi-Civita-Zusammenhangs)
01.06.   Levi-Civita-Zusammenhang in lokalen Koordinaten, kurze Diskussion von Isometrien, Geodätische: Definition als Kurven mit parallelem Tangetialvektor, Differentialgleichung in lokalen Koordinaten, lokale Existenz, Exponentialabbildung in einem Punkt, Beispiele
12.06.   Gauß-Lemma, Länge von Kurven, Abstandsbegriff in zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten, Definition Injektivitätsradius
13.06.   kurze Geodätische sind kürzeste Verbindungen zwischen ihren Endpunkten, Beispiele minimaler Geodätischer, Energiefunktional und Beziehung zur Länge, Tangentialraum an den Raum der glatten Kurven
15.06.   erste und zweite Variationsformel für die Energie, Geodätische als kritische Punkte der Energie; geodätische Vollständigkeit, Satz von Hopf und Rinow
20.06.   Ende des Beweises des Satzes von Hopf und Rinow, Diskussion zum Schnittort mit Beispielen; algebraische Eigenschaften des Krümmungstensors in pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten, Definition der Schnittkrümmung
22.06.   Wohldefiniertheit der Schnittkrümmung, Beispiele zur Berechnung: Rn, Sn; Diskussion zu Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung; Schnittkrümmung für Flächen im R3
27.06.   Theorema egregium mit Beweis, Einordnung: zweite Fundamentalform, Hauptkrümmungen und mittlere Krümmung für Hyperflächen; Beginn Diskussion von invarianten Metriken auf Liegruppen
29.06.   Formel für ad:g → Aut(g), Formel für den Levi-Civita-Zusammenhang einer linksinvarianten Metrik, Beispiel: auf SL(2,R) stimmen die beiden Exponentialabbildungen nicht überein, biinvariante Metriken und ihre Geodätische, Beispiel: biinvariante Metrik auf SO(n)
04.07.   Krümmung biinvarianter Metriken auf Liegruppen, Beispiele; Jacobifelder: Definition und Beispiele, Beginn der Berechnung der Schnittkrümmung von Hn mit Hilfe von Jacobifeldern
06.07.   konjugierte Punkte, Nichtexistenz im Fall nichtpositiver Schnittkrümmung, alternative Charakterisierung, Satz von Hadamard und Cartan, Beginn des Beweises
11.07.   Ende des Beweises des Satzes von Hadamard und Cartan, Diskussion von Beispielen, Definition der Ricci-Krümmung, Satz von Bonnet und Myers mit Beweis, Diskussion von Bedeutung und Beispielen
13.07.   Satz von Gauß-Bonnet für Flächen: Formulierung, Definition der Euler-Charakteristik über Triangulierungen, Definition der geodätischen Krümmung einer Kurve, lokale Version des Satzes für n-Ecke in einer orientierten Fläche mit Riemannscher Metrik (mit Beweis), Beweis des Satzes aus dem lokalen Fall


 
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