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Janko Latschev

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Vorlesung "Funktionentheorie", Sommersemester 2025

Funktionentheorie beschäftigt sich mit dem Studium komplex differenzierbarer Funktionen und ihrer Eigenschaften. Während die grundlegenden Definitionen durchaus parallel zur reellen Analysis entwickelt werden können, treten hier jedoch schnell völlig neue Phänomene auf, welche eine eigenständige Behandlung erfordern und viele interessante Anwendungen haben. Sogar manche Probleme der reellen Analysis werden über den Umweg "ins Komplexe" einfacher lösbar.

Die Vorlesung bietet eine Einführung in das Thema für Studierende der Mathematik und des Lehramts Mathematik, ist aber auch als vertiefender Einblick für Studierende anderer Fächer geeignet, welche gewisse Grundkenntnisse der reellen Analysis besitzen. Vorrangiges Ziel ist die Bereitstellung der grundlegenden Sätze (Integralformel von Cauchy, Residuensatz, Riemannscher Abbildungssatz, usw.), einschließlich typischer Anwendungen. Daneben werden einige geometrische Aspekte behandelt.

Hinweise zur Prüfungszulassung

Wie üblich behalten Prüfungszulassungen aus vorangegangenen Semestern ihre Gültigkeit.
Um die Zulassung neu zu erwerben, sollten Sie regelmäßig die Übungsaufgaben bearbeiten. Es wird voraussichtlich 12 Übungsblätter geben, die in jeweils drei Blöcke von je 4 Blättern aufgeteilt sind. Sie können die Bearbeitung allein oder zu zweit abgeben. In jedem Block (2 für Studierende in der 6LP-Variante, 3 für alle anderen) sollten Sie mindestens 3 der 4 Blätter ausreichend und sinnvoll bearbeitet haben. Die Aufgaben sind primär zum Üben da, werden daher nicht bepunktet. Um das Kriterium "ausreichend und sinnvoll bearbeitet" zu erreichen, sollten Sie den größten Teil der (Teil-)Aufgaben zumindest ernsthaft versucht haben. Dokumentieren Sie dazu also auch Ihre gescheiterten Lösungsversuche in Ihrer Abgabe. "Ich hatte keine Idee." ist keine ernsthafte Bearbeitung, sollte also nur in echten Ausnahmefällen vorkommen.

Übungsblätter (Abgabetermin für Hausaufgaben in Klammern):

Blatt 1  (14.4.)   Blatt 2  (22./23.4.)   Blatt 3  (28.4.)   Blatt 4  (5.5.)  
Blatt 5  (12.5.)

Literatur zur Vorlesung:

 Die Links zu den Büchern funktionieren nur im Uni-Netz.

W. Fischer, I. Lieb	Einführung in die komplexe Analysis
D. Salamon	Funktionentheorie	eine elektronische Version ist auch hier erhältlich
K. Fritzsche	Grundkurs Funktionentheorie
E. Freitag, R. Busam	Funktionentheorie 1
R. Remmert, G. Schumacher	Funktionentheorie 1
S.G. Krantz	Complex Analysis: The Geometric Viewpoint
J.B. Conway	Functions of one complex variable

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Logbuch:

07.04.	Die komplexen Zahlen, verschiedene Interpretationen, Realteil, Imaginärteil, Betrag, Polarkoordinaten, Rechtfertigung über Eigenschaften der Exponentialfunktion, Argument als lokale Wahl eines Winkels, Hauptzweig des Arguments, komplexer Logarithmus, Wurzeln komplexer Zahlen, Einheitswurzeln; C als metrischer Raum; diese und ähnliche Themen finden sich in unterschiedlicher Detailtiefe am Beginn jedes Buches zu Funktionentheorie, z.B. Abschnitte 1.1. bis 1.3. und Teile von 1.7. in Fischer-Lieb
09.04.	Definition komplexe Differenzierbarkeit, elementare Eigenschaften der Ableitung, Definition holomorphe Funktion, Beispiele; graphische Darstellung holomorpher Funktionen durch Bilder von Koordinatennetzen; Abschnitte 1.4. und 1.6. in Fischer-Lieb
14.04.	Vergleich mit reeller Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemann-Gleichungen, Folgerungen: nichtverschwindende Ableitungen holomorpher Funktionen sind orientierungserhaltend und winkeltreu; Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch, harmonische Funktionen auf C sind stets Realteil einer holomorphen Funktion Abschnitt 2.1. in Salamon oder Abschnitt 1.5. in Fischer-Lieb
16.04.	Kurvenintegrale komplexer Funktionen: Definition, elementare Eigenschaften, Beispiele, erste Kriterien für die Existenz von Stammfunktionen Abschnitt 1.8 und 2.1. in Fischer-Lieb
23.04.	Satz von Goursat, Definition sternförmige Teilmenge in C, Konsequenzen aus dem Satz von Goursat, insbesondere Cauchyscher Integralsatz für sternförmige offene Mengen, Zentrierungslemma Abschnitt 2.2 und Teile von 2.3 in Fischer-Lieb
28.04.	Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben, Vertauschen von Ableitung und Integral, verallgemeinerte Cauchysche Integralformeln für Kreisscheiben, Folgerungen: Satz von Morera, Satz von Liouville, Beispiel zum Satz von Liouville Abschnitt 2.3 in Fischer-Lieb
30.04.	Fundamentalsatz der Algebra; Folgen und Reihen holomorpher Funktionen: Vertauschbarkeit von Integral und Grenzwertbildung, Grenzwerte lokal gleichmäßig konvergenter Folgen holomorpher Funktionen sind holomorph, Beispiel Riemannsche Zeta-Funktion, Cauchyscher Entwicklungssatz, lokale Existenz von Potenzreihenentwicklungen als alternative Charakterisierung holomorpher Funktionen Abschnitt 2.4 in Fischer-Lieb
05.05.	Beispiele für Taylorreihen, Bemerkungen zum Rechnen mit Potenzreihen: Reziproke Funktion, Beispiel P(z)=(exp(z)-1)/z, Bernoulli-Zahlen, Verknüpfung von Potenzreihen; Identitätssatz für holomorphe Funktionen Abschnitt 3.6 in Salamon oder Abschnitt 2.4 in Fischer-Lieb
07.05.	Ordnung einer Nullstelle, Nullstellen nichtkonstanter holomorpher Funktionen sind isoliert, biholomorphe Abbildungen, Satz von der Umkehrabbildung für holomorphe Funktionen, weitere Beispiele biholomorpher Abbildungen, Satz über die lokale Abbildung Abschnitte 2.2 und 3.6 in Salamon