Janko Latschev
Vorlesung "Topologie", Wintersemester 2013/14
Übungsblätter (Abgabetermin in Klammern)
Für diese Vorlesung wird es typischerweise zwei Übungsblätter pro Woche geben, jeweils ein Blatt mit Aufgaben zur Bearbeitung in den Übungen, und ein weiteres mit Aufgaben zur Abgabe. Die Hausaufgaben werden jeweils spätestens dienstags veröffentlicht, Abgabetermin ist der folgende Dienstag.
Die Übungsstundenblätter finden Sie hier:
1. Woche
2. Woche
3. Woche
4. Woche
5. Woche
6. Woche
7. Woche
8. Woche
9. Woche
10. Woche
11. Woche
12. Woche
13. Woche
Die Übungsblätter finden Sie hier:
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12
Blatt 13
Literatur zur Vorlesung:
Die Links zu den Büchern funktionieren (außer bei Hatcher) nur im Uni-Netz.
| J. Munkres | Topology - a first course |
| B. v. Querenburg | Mengentheoretische Topologie |
| G. Laures, M. Szymik | Grundkurs Topologie | |
| K. Jänich | Topologie | |
| L.A. Steen, J.A. Seebach, Jr. | Counterexamples in Topology |
| O. Viro, O. Ivanov, N. Netsvetaev, V. Kharlamov | Elementary Topology - Problem Textbook |
| A. Hatcher | Algebraic Topology
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Logbuch:
| 15.10. | topologische Räume, erste Beispiele, Basis einer Topologie, Charakterisierung einer Basis, metrische Topologie, Vergleich verschiedener Topologien auf einer Menge, Inneres, abgeschlossene Hülle und Rand, Kuratowski-Axiome
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| 17.10. | linear geordnete Mengen, lineare Kontinua, Ordnungstopologie; stetige Abbildungen; Konstruktionen topologischer Räume: Teilraum-Topologie, Topologien auf Produkten
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| 22.10. | Charakterisierungen der Produkttopologie durch universelle Eigenschaften, Initialtopologie allgemein, Beispiel: schwach-*-Topologie, Finaltopologie, topologische Summe, Quotiententopologie
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| 24.10. | weitere Beispiele von Quotientenräumen: Verkleben entlang von Teilmengen, Quotienten bei Gruppenwirkungen, Zusammenkleben von Räumen
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| 29.10. | Zusammenhängende Räume, elementare Eigenschaften und Beispiele, wegzusammenhängend, lokal zusammenhängend, Zusammenhangskomponenten: Beispiele und Beziehungen zwischen den Begriffen
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| 31.10. | lokal wegzusammenhängend ⟹ Wegzusammenhangskomponenten=Zusammenhangskomponenten; Kompaktheit, elementare Beispiele, abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind kompakt, Hausdorff-Räume, kompakte Teilmengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen, stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt, injektive stetige Abbildungen eines kompakten in einen Hausdorff-Raum sind Einbettungen, Familien mit endlichen Durchschnitten und Kompaktheit, kompakte Intervalle in linear geordneten Mengen
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| 05.11. | endliche Produkte kompakter Räume sind kompakt, Formulierung des Satzes von Tychonoff, kleiner Ausflug in die Mengenlehre: Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz, Maximum-Prinzip; Beginn des Beweises des Satzes von Tychonoff
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| 07.11. | Ende des Beweises, Anwendungsbeispiel: Satz von Banach-Alaoglu; lokal kompakte Räume, Einpunktkompaktifizierung für lokal kompakte Hausdorff-Räume, Beispiele
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| 12.11. | Kompaktheit für metrische Räume; Abzählbarkeitsaxiome, elementare Beispiele, Vererbung auf Teilräume und Produkte, Eigenschaften von Räumen mit abzählbaren Umgebungsbasen, Eigeschaften von Räumen mit abzählbarer Basis
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| 14.11. | Trennungsaxiome, Beispiele, alternative Charaktersisierung von T3- und T4-Räumen, Beispielfamilien von normalen Räumen, Urysohns Lemma
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| 19.11. | Fortsetzungssatz von Tietze, Urysohns Metrisierungssatz, kurze Diskussion anderer Metrisierungssätze
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| 21.11. | Filter, Beschreibung der Stetigkeit mit Filtern, Beschreibung der Kompaktheit mit Filtern
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| 26.11. | Beweis des Satzes von Tychonoff mit Filtern; Homotopie von Abbildungen, Homotopieäquivalenz und verwandte Begriffe (Retrakt, Deformationsretrakt, starker Deformationsretrakt), Beispiele
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| 28.11. | Homotopieklassen von Wegen, Verknüpfungen von Wegen, Fundamentalgruppe, Abhängigkeit vom Fußpunkt, stetige Abbildungen induzieren Homomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen, Verhalten bezüglich Homotopie von Abbildungen
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| 03.12. | Homotopieäquivalenzen induzieren Isomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen, einfach zusammenhängende Räume, Definition des Abbildungsgrades für Selbstabbildungen von S1, Klassifikation bis auf Homotopie für solche Abbildungen, Fundamentalgruppe von S1
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| 05.12. | Folgerungen aus der Berechnung von π1(S1): Unterscheidung von S2 und T2, Brouwerscher Fixpunktsatz, Fundamentalsatz der Algebra, Satz von Borsuk und Ulam; Ausflug in die Gruppentheorie: direkte Summe und Produkt von Gruppen, freies Produkt von Gruppen
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| 10.12. | Konstruktion des freien Produktes, freie Gruppen, Kommutatoruntergruppe und abelscher Quotient, Erzeugendensysteme, Präsentation einer Gruppe
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| 12.12. | Beispiele für Gruppenpräsentationen, amalgamiertes Produkt von Gruppen (universelle Eigenschaft und Existenz); Fundamentalgruppe von Produkträumen, Beispiel Tn, Satz von Seifert und van Kampen (Formulierung), erste Folgerungen und Beispiele: Sn für n≥2, S1v S1
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| 17.12. | weitere Beispiele: nochmal T2, Klein'sche Flasche, RP2; Beweis des Satzes von Seifert und van Kampen
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| 19.12. | höhere Homotopiegruppen: verschiedene äquivalente Definitionen, Abhängigkeit vom Basispunkt, Wirkung der Fundamentalgruppe, Kommutativität, Homotopieäquivalenzen induzieren Isomorphismen, elementare Beispiele, kurze Diskussion von Homotopiegruppen von Sphären
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| 07.01. | Überlagerungen: Definition und erste Beispiele, freie und diskontinuierliche Gruppenwirkungen, Überlagerungen aus Gruppenwirkungen, Hebungen, Eindeutigkeit von Hebungen
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| 09.01. | Beweis der Eindeutigkeit, Homotopiehebungseigenschaft und Folgerungen daraus, insbesondere Injektivität der induzierten Abbildung auf Fundamentalgruppen, allgemeines Hebungskriterium
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| 14.01. | Folgerungen aus dem allgemeinen Hebungskriterium: höhere Homotopiegruppen für Basis und Totalraum sind isomorph, Beispiele dazu; Decktransformationen: Eindeutigkeit, Existenz in Beispielen, normale Überlagerungen
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| 16.01. | äquivalente Überlagerungen haben konjugierte Bilder von π1(E) in π1(B), Charakterisierung normaler Überlagerungen: Bild von π1(E) in π1(B) ist normal, Beschreibung der Decktransformationsgruppe als Quotient des Normalisators, Decktransformationen bei Quotienten diskontinuierlicher Gruppenwirkungen; Definition der universellen Überlagerung
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| 21.01. | Existenzsatz für Überlagerungen mit Beweis
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| 23.01. | Beispiele für universelle Überlagerungen (zum Teil ohne Beweis), kurze Diskussion der Poincaré-Vermutung; Definition CW-Komplex, Beispiele, Vereinigung von Zellen als Unterkomplex
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| 28.01. | kompakte CW-Komplexe sind endlich, Graphen als 1-dimensionale CW-Komplexe, Bäume als kontrahierbare Graphen, maximale Bäume in zusammenhängenden Graphen (Definition und Existenz), die Fundamentalgruppe eines Graphen ist frei, jede Überlagerung eines Graphen ist ein Graph, Konsequenz: Untergruppen freier Gruppen sind frei
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| 30.01. | weiterführende Bemerkungen zu CW-Komplexen; Faserungen: Definition und Beispiele, lange exakte Sequenz für Homotopiegruppen, Beispiele dazu
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