Priv.-Doz. Dr. Ernst Kleinert
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Arbeitsgebiete
- Zahlentheorie
- Philosophie der Mathematik
Lehre
Wintersemester 2026/27: Bewertungen und Lokale Zahlentheorie
Inhalt: Ein lokaler Körper ist die Komplettierung eines Zahlkörpers (allgemeiner eines “globalen” Körpers, dieser Begriff wird in der Vorlesung eingeführt) nach einem seiner Absolutbeträge; so wie der reelle Körper die Komplettierung des rationalen Körpers nach dem gewöhnlichen Absolutbetrag ist. Die Absolutbeträge eines Zahlkörpers entsprechen seinen Einbettungen in den komplexen Körper (“archimedischer” Fall) und den Primidealen seines Ganzheitsbereichs (“nichtarchimedischer” Fall); im Fall des rationalen Körpers treten also dem reellen Körper unendlich viele “p-adische” Körper zur Seite. Viele “globale” Probleme (etwa Lösungen diophantischer Gleichungen) haben “lokale”, durchweg einfacher zu behandelnde Analoga und können auf diese zurückgeführt werden (manche vollständig, dann spricht man einem “Lokal-Global-Prinzip” oder “Hasse-Prinzip”, andere nur bis zu einem gewissen Grade). Daher sind die lokalen Methoden aus der modernen Zahlentheorie nicht mehr wegzudenken. Die Vorlesung bringt zunächst eine Einführung in die allgemeine Theorie der Bewertungen und Absolutbeträge; ein Hauptziel der Vorlesung ist die Erarbeitung des Begriffs “globaler Körper”. Es folgt die arithmetische Theorie der lokalen Körper (der nichtarchimedischen, denn die archimedischen sind nach einem Satz von Ostrowski isomorph zum reellen oder komplexen Körper und haben keine “natürliche” arithmetische Struktur). Falls Zeit bleibt, wird die lokale Klassenkörpertheorie besprochen (die globale wird Gegenstand des folgenden Semesters).
Vorkenntnisse: Algebra und Grundwissen über Zahlkörper.
Literatur: wird in der Vorlesung angegeben.
Sommersemester 2025: Klassenkörpertheorie
Inhalt: In der Klassenkörpertheorie gipfelt die klassische algebraische Zahlentheorie. Ihre Hauptresultate sind ein Existenzsatz: die abelschen Erweiterungen des Zahlkörpers K entsprechen bijektiv verallgemeinerten Idealklassengruppen von K, sodann das Artinsche Reziprozitätsgesetz: entspricht die Erweiterung L/K der Gruppe H, so ist H in kanonischer Weise isomorph zu Gal(L/K). Entsprechende Resultate für beliebige (galoissche) Erweiterungen von Zahlkörpern sind seit langem Gegenstand laufender Forschung; der tiefste und am meisten versprechende Ansatz ist das Programm von Langlands.
Die Vorlesung bringt zunächst die klassische idealtheoretische Version der Hauptsätze, im Einzelnen: Galoistheorie und Primzerlegung – Frobeniusautomorphismus und Artinabbildung – Verallgemeinerte Idealklassengruppen – Reziprozitätsgesetz – Existenzsatz und Folgerungen (Satz von Kronecker-Weber, Hilbertscher Klassenkörper). Vollständige Beweise können nicht gegeben werden, doch soll versucht werden, die „großen Linien“ der Argumentation herauszustellen. Falls Zeit bleibt: die neuere ideltheoretische Formulierung, die eine direkte Fortsetzung in der Langlandskorrespondenz hat, lokale Klassenkörpertheorie.
Voraussetzungen: Vorausgesetzt wird Grundwissen über algebraische Zahlkörper und ihre Komplettierungen.
Literatur: wird in der Vorlesung angegeben.
Ort und Zeit: Freitags 8.00-10.00 im H3, Beginn 11.4.
Wintersemester 2021/22: Einführung in die algebraische Zahlentheorie
Inhalt: Eine Grundaufgabe von Algebra und Zahlentheorie ist die Lösung ganzzahliger Polynomgleichungen f(x) = 0, f ∈ ℤ[x] . Es stellt sich schnell heraus, daß eine sachgemäße Bearbeitung dieser Aufgabe Kenntnis der arithmetischen Strukturen erfordert, welche durch die Lösungen solcher Gleichungen erzeugt werden. Dies ist die Arithmetik der Zahlkörper (= endlich-dimensionale Erweiterungen des rationalen Grundkörpers). Die Vorlesung entwickelt die Grundlagen dieser Theorie. Themen sind: ganze algebraische Größen, Dedekindringe, Differente und Diskriminante, Idealklassengruppe, Einheitensatz von Dirichlet. Wenn Zeit bleibt: Galoistheorie und Primzerlegung, analytische Methoden. An Beispielen werden namentlich quadratische und Kreisteilungskörper besprochen. Es ist geplant, den Kursus mit Vorlesungen über lokale Zahlentheorie und Klassenkörpertheorie fortzusetzen.
Vorkenntnisse: Grundwissen über Zahlen, Ringe und Körper. Hinweis: Es werden keine speziellen Kenntnisse der (sog.) elementaren Zahlentheorie vorausgesetzt.
Literatur: wird in der 1.Vorlesung angegeben.