Mögliche Unordnung in den Grundlagen der Mathematik: Priv.-Doz. Dr. Philipp Lücke aus der Mathematik und die fordernden Kardinalzahlen

6. Dezember 2024

Foto: Andriy Onufriyenko/Getty Images

Infinity is more complex than you might think

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Die populärwissenschaftliche Zeitschrift New Scientist veröffentlichte am 6. Dezember einen Artikel mit dem journalistischen Titel "Mathematicians have discovered a mind-blowing new kind of infinity" (Alex Wilkins): Link (Paywall).

In diesem Artikel wird über die Arbeit von Juan Aguilera, Joan Bagaria und Philipp Lücke berichtet. Lücke ist derzeit Heisenberg-Stipendiat in der Gruppe ML des Fachbereichs Mathematik und Aguilera war im Jahre 2023 Humboldt-Stipendiat in derselben Gruppe. Auch im populärwissenschaftlichen Magazin Popular Mechanics diskutiert Darren Orff am 11. Dezember 2024 die Ergebnisse von Aguilera, Bagaria und Lücke: Link.

Die Hierarchie der großen Kardinalzahlen ist die Basis unseres Verständnisses der Grundlagen der Mathematik: am unteren Rande dieser Hierarchie liegt die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, welche als allgemeine Grundlage von der mathematischen Forschungsgemeinschaft akzeptiert wird; um so höher wir in dieser Hierarchie kommen, desto umstrittener werden die zusätzlichen Axiome. Eine wesentliche Aufgabe der Grundlagenforschung der Mathematik ist die Erforschung der Struktur dieser Hierarchie.

Der untere Bereich dieser Hierarchie ist sehr gut verstanden; der mittlere Bereich ist die Arena eines grossen Teils der Forschung in den Grundlagen der Mathematik; der obere Bereich dieser Hierarchie ist noch kaum verstanden. Die sogenannte HOD-Vermutung von Hugh Woodin geht davon aus, dass Ordnung und Regelmäßigkeit in diesem oberen Bereich vorherrschen.

Aguilera, Bagaria und Lücke untersuchen in ihrer Arbeit neue Unendlichkeitsbegriffe, die Begriffe der fordernden Kardinalzahlen und ultra-fordernden Kardinalzahlen (exacting und ultra-exacting). Die Konsistenz der Annahme der Existenz solcher Unendlichkeitsbegriffe würde Woodins HOD-Vermutung widerlegen und dafür sorgen, dass im oberen Bereich der Hierarchie keine Ordnung herrscht.