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Janko Latschev


Vorlesung "Grundlagen der Mathematik", Wintersemester 2016/17

Hier geht's direkt zu den Übungsblättern.

Update der Regeln, 12.12.16: Im Januar wird es ein 13. Übungsblatt geben. Die auf diesem Blatt erzielten Punkte können dazu benutzt werden, je nach Bedarf fehlende Punkte in den Kurztests und/oder in den Übungsblättern auszugleichen.

Hier geht's direkt zum Logbuch.

Update am 13.1.17: Wie versprochen finden Sie ab sofort hier den Fragenkatalog für die mündliche Prüfung. Die dort auftretenden, noch nicht behandelten Inhalte sind Gegenstand der Vorlesungen in den nächsten 3 Wochen.

Der erste Prüfungsblock findet am 13. und 14. Februar statt.


Sie haben sich für den schönen Beruf der Mathematiklehrerin bzw. des Mathematiklehrers entschieden. Um dieses Fach in der Schule unterrichten zu können, sollten Sie zunächst eine möglichst klare Vorstellung davon entwickeln, was das Wesen der Mathematik ausmacht und welche grundlegenden Arbeitsweisen sich daraus ableiten. Die Vermittlung und Reflektion dieser Grundprinzipien sowie der Einblick in einzelne weiterführende Themen sind die zentralen Anliegen des fachlichen Anteils Ihres Studiums. Auch wenn Sie vieles davon nicht sofort oder nicht in dieser Form im Unterricht weitergeben können, ist ein Verständnis dieser Grundlagen als fachliches Fundament für den Schulunterricht unerlässlich.

In dieser Vorlesung konzentrieren wir uns zunächst auf einige fundamentale Konzepte und Arbeitstechniken. Laut Modulhandbuch verfolgen wir dabei folgende Qualifikationsziele:

  • Verständnis für die grundlegenden Strukturkonzepte der Mathematik
  • verständiger Gebrauch mathematischer Sprechweisen
  • Verständnis für Zahlen und ihre Typen
  • Verständnis für (auch abstrakte) funktionale Zusammenhänge
  • Verständnis für das Konzept von Verknüpfungen in verschiedenen mathematischen Kontexten
  • Beherrschen von elementaren Beweismethoden und formalen logischen Schlüssen

Hinweise zur Prüfung

Bitte beachten Sie, dass Sie für diese Prüfungen in STiNE angemeldet sein müssen.
Um für die Prüfung zugelassen zu werden, müssen Sie

  • von den ersten 6 Übungsblättern insgesamt mindestens 50% der Punkte erreichen, und
  • von den letzten 6 Übungsblättern insgesamt mindestens 50% der Punkte erreichen, und
  • bei den drei Kurztests während des Semesters insgesamt mindestens 50% der Punkte erreichen.

Die erwähnten Kurztests finden am 9.11., am 7.12. und am 18.1. in der Vorlesung statt.

Übungsgruppen

Alle Übungsgruppen finden montags zwischen 16 und 18 Uhr statt. Die Zeit ist jeweils gespalten in eine Nachbesprechung der Übungsaufgaben und einen zweiten Teil, in dem einerseits die Möglichkeit besteht, Fragen zum Stoff zu stellen, und andererseits Präsenzaufgaben bearbeitet werden. In der folgenden Tabelle sind die studentischen Tutorinnen und Tutoren, welche die Aufgabenkorrektur sowie während der Übungen die Nachbesprechung der Aufgaben übernehmen, kursiv eingetragen.

Gruppe Raum
1    1240  C. Paap/M. Mohr
2    142  J. Schnitzer/S. Wenke
3    430  J. Finke/W. Bedenknecht
4    434  J. Latschev/A. Bangemann
5    435  N. Charlos/J. Latschev

Donnerstags zwischen 18 und 20:30 Uhr findet in den Seminarrämen des 4. Stockwerks eine Arbeitsgruppenbetreuung statt, bei der Sie mit anderen Studierenden gemeinsam neue Lösungsansätze entwickeln oder auch individuelle Fragen zu den Aufgabenstellungen und zu Ihren bis dahin entwickelten Lösungsstrategien stellen können.
Dies kann nur funktionieren, wenn Sie sich selbst vorher bereits ausführlich mit den Aufgaben beschäftigt haben.

Übungsblätter (mit Abgabetermin für Lösungen)

Die Übungsblätter werden in der Regel spätestens am Sonntag hier veröffentlicht. Die Abgabe der Lösungen erfolgt jeweils eine Woche später montags zu Beginn der Vorlesung.
Auch wenn es nicht jedes Mal explizit vermerkt ist, müssen alle Antworten nachvollziehbar begründet werden.

Blatt 1  (24.10.)     Blatt 2  (31.10.)     Blatt 3  (07.11.)     Blatt 4  (14.11.)     Blatt 5  (21.11.)     Blatt 6  (28.11.)     Blatt 7  (05.12.)     Blatt 8  (12.12.)     Blatt 9  (17.12.)    
Blatt 10  (09.1.)     Blatt 11  (16.1.)     Blatt 12  (23.1.)     Blatt 13  (30.1.)    

Literatur zur Vorlesung:

Die folgenden beiden Bücher sind zwar für Mathematikstudierende geschrieben, thematisieren aber grundlegende Schwierigkeiten beim Übergang von der Schule an die Universität und sind daher auch für Sie sehr gut geeignet. Einige der Inhalte von Houstons Buch werden wir auch in dieser Vorlesung behandeln. Griesers Buch zeigt allgemein auf, wie man Lösungsstrategien für mathematische Probleme entwickeln kann, und beschreibt die wichtigsten dieser Strategien anhand von zahlreichen Beispielaufgaben, deren Lösungen schrittweise entwickelt werden.

Kevin Houston   Wie man mathematisch denkt. Eine Einführung in die mathematische Arbeitsweise für Studienanfänger.
Daniel Grieser   Mathematisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik. Online verfügbar aus dem Uni-Netzwerk und von außerhalb.

Ich werde kein Skript zu dieser Vorlesung anfertigen, allerdings gibt es aus früheren Jahren Skripte von Kolleg(inn)en, die (mit recht unterschiedlichem Stil) alle wichtigen Themen behandeln:

PD Dr. S. Koch   Skriptum zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik im WS 2013/14
Prof. Dr. H.-J. Samaga   Unterlagen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik im WS2010/11

Das Skript von PD Dr. H. Kiechle aus dem WS 2015/16 steht Ihnen über die STiNE-Seite dieser Veranstaltung zur Verfügung.


Logbuch:

17.10.   Organisatorisches, Ziele des Teilstudiengangs und der Veranstaltung, allgemeine Hinweise
19.10.   Einführung in die naive Mengenlehre (Skript Koch: Teile von Kapitel 2 (S. 53-77); Skript Kiechle: Beginn von Kapitel 1 (S. 5-8)): Cantors Mengenbegriff, Beispiele, Teilmengen, leere Menge, Operationen auf Mengen: Vereinigung, Durchschnitt, Differenz, Diagramm-Darstellungen, kartesisches Produkt
24.10.   Grundzüge der mathematischen Sprache und Aussagenlogik (Skript Koch: Teile von Kapitel 1 (S. 10-36); Skript Kiechle: S. 9-12): Rollen von Definitionen und Aussagen, Aussageformen und Quantoren, Verknüpfungen von Aussagen, Wahrheitstabellen
26.10.   Mehr zur Mengenlehre (Skript Koch: Abschnitte 2.2 und 2.3, S.61-70 + Tabelle auf S.71; Skript Kiechle: Kapitel 1, S. 5-13): Beziehung zwischen Aussagenlogik und Mengenlehre, Potenzmengen, einfache Eigenschaften und Beispiele
31.10.   Abbildungen (Skript Koch: Abschnitte 4.1 und 4.3.2, S.112-125 und S.132-135; Skript Kiechle: Abschnitt 3., S.23-29): motivierende Beispiele, Definition, induzierte Abbildungen zwischen den Potenzmengen (Bild, Urbild), Eigenschaften: injektiv, surjektiv, bijektiv
02.11.   Abbildungen (Skript Koch: Abschnitt 4.4, S.141-146; Skript Kiechle: Abschnitt 3, S.29-32 oben): weitere Beispiele, Verknüpfung von Abbildungen
07.11.   Abbildungen (Skript Koch: Teile von Abschnitt 4.3.2, S.135-138; Skript Kiechle: Abschnitt 3, S.31-32 oben): Umkehrabbildungen von bijektiven Abbildungen, Beziehung zur Urbildabbildung, Eigenschaften von Verknüpfungen, Wiederholung verschiedener Beschreibungen von Abbildungen
09.11.   Kurztest; Abbildungen (Skript Koch: Teile von Abschnitt 4.1 und 4.2, S.117-119 und S.128-129): Graph einer Abbildung, Charakterisierung von Teilmengen von X×Y, die Graph einer Abbildung f:X → Y sind, Übersetzung der Eigenschaften von Abbildungen in Eigenschaften des Graphen
14.11.   Graph der Umkehrabbildung; Natürliche Zahlen (Skript Kiechle: Anfang von Abschnitt 4, S.39-45): Einführung, Peano-Axiome
16.11.   Natürliche Zahlen (Skript Kiechle: Teile von Abschnitt 4, S.44-48): Definition der Addition natürlicher Zahlen und Herleitung ihrer Eigenschaften, Definition der Ordnung natürlicher Zahlen
21.11.   Natürliche Zahlen (Skript Koch: Abschnitt 1.7.3, S49-52; Skript Kiechle: Teile von Abschnitt 4, S. 42/43, 47/48, 51/52): nichtleere Teilmengen besitzen kleinstes Element, Definition und Eigenschaften der Multiplikation; Beweismethode der vollständigen Induktion mit Beispielen
23.11.   Natürliche Zahlen: Zählprobleme, Binomialkoeffizienten (Bedeutung und Formel zur Berechnung), allgemeiner binomischer Lehrsatz
28.11.   Natürliche Zahlen: (Skript Kiechle: S.47-49 und S.70-72) allgemeines Prinzip der vollständigen Induktion, Fibonacci-Zahlen (Rekursion und explizite Formel; Teilbarkeit: Definition eines Teiler, elementare Eigenschaften der Teilbarkeitsbeziehung, natürliche Zahlen haben Primfaktoren, Sieb der Eratosthenes, Fundamentalsatz der Arithmetik
30.11.   Natürliche Zahlen: (Skript Kiechle: S.53-55, S.70-72) Division mit Rest, Lemma von Euklid, Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, Unendlichkeit der Menge der Primzahlen, Stellenwertsysteme
05.12.   Natürliche Zahlen: (Skript Kiechle: S.49 und S.56-58) Umrechnungen zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen, Rechnen in Stellenwertsystemen; Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: grundsätzliches Vorgehen, Definition Halbgruppen, Beispiele
07.12.   Kurztest; Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle: S.49-50., S.58 und S.61) weitere Beispiele für Halbgruppen, inverse Elemente, Definition einer Gruppe, Beispiele
12.12.   Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle, S.74-77) Äquivalenzrelationen: Motivation und Definition, Beispiele
14.12.   Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle, S.74-77, S.78) Äquivalenzrelationen: Beweis der Beziehung von Äquivalenzrelationen zu disjunkten Zerlegungen, Brüche und positive Bruchzahlen als deren Äquivalenzklassen, Rechenregeln für (positive) Bruchzahlen, Begriff der Wohldefiniertheit
19.12.   Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle, S.85-88 und S.81-84) Beweis der Rechenregeln für positive Bruchzahlen, Ordnung auf den (positiven) Bruchzahlen, Einbettung der natürlichen Zahlen in die (positiven) Bruchzahlen, Konstruktion der ganzen Zahlen, Eigenschaften
21.12.   Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle, S.66-70 und S.79) die ganzen Zahlen als Ring, weitere Beispiele für Ringe, Ordnung auf den ganzen Zahlen, Teilbarkeit in den ganzen Zahlen, größter gemeinsamer Teiler
09.01.   Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle, S.79-81) der euklidische Algorithmus zur Berechnung des ggT, Beispiele, Darstellung von ggT(x,y) als ax+by, Folgerungen, z.B. für Invertierbarkeit in Zn
11.01.   Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle, S.85-88) Konstruktion der rationalen Zahlen aus den positiven Bruchzahlen P oder aus den ganzen Zahlen Z und Vergleich der Konstruktionen, Eigenschaften von Q
16.01.   Von den natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen: (Skript Kiechle, S.14-18) Definition Körper, elementares Rechnen in Körpern, Zn ist Körper genau dann, wenn n eine Primzahl ist, angeordnete Körper
18.01.   Kurztest; abschließende Diskussion zu angeordneten Körpern, Q(√ 5 ), dafür auch: (Nicht)Existenz rationaler Quadratwurzeln; Die reellen Zahlen: (Skript Kiechle, S.20-22) Motivation
23.01.   Die reellen Zahlen: (Skript Kiechle, S.20-22) √ 3  als Beispiel für eine "Lücke" in Q, das Schnittaxiom, Intervalle, untere und obere Schranken für Teilmengen, Existenz von Supremum und Infimum für beschränkte Mengen
25.01.   Die reellen Zahlen: (Skript Kiechle, S.20-22, S.33-34) Definition Supremum/Infimum, Beispiele, Existenz der Quadratwurzel; Definition gleichmächtige Mengen, Beispiele, Eigenschaften der Beziehung "Gleichmächtigkeit"
30.01.   Die reellen Zahlen: (Skript Kiechle, S.33-37) abzählbare Mengen, NxN ist abzählbar, die Mengen P und Q sind abzählbar, R ist überabzählbar
30.01.   Die reellen Zahlen: (Skript Kiechle, S.37-38) abschließende Bemerkungen zu Mächtigkeiten;
Rückblick auf die Inhalte der Vorlesung und Ausblick auf die weiteren Fachvorlesungen

 
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