Vorbemerkungen über elliptische Kurven

Bücher zu diesem Gegenstand gibt es viele. Hier seien als Referenz nur der Aufsatz von H. Kraft [Kr], das Buch von Brieskorn und Knörrer [BK] sowie die einschlägigen Kapitel in [Wo] und [K1] sowie [K2] genannt, wo viele weitere Angaben zu finden sind.

Klassische Objekte, die leider immer weniger Platz im Schulstoff zu behalten scheinen, sind die Kegelschnitte, also die Kurven im tex2html_wrap_inline676 mit den folgenden Normalformen:

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wobei hier a und b von Null verschiedene reelle Zahlen sind. Dies sind also Kurven, die als Nullstellenmenge quadratischer Polynome tex2html_wrap_inline684 beschrieben sind. Wird hier nur ein kleiner Schritt weiter gemacht, so tauchen die elliptischen Kurven auf, die allerdings gleich als Nullstellenmengen im Komplexen betrachtet werden. Auch hier gibt es Normalformen, und zwar heißt

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eine affine, elliptische Kurve, falls tex2html_wrap_inline688 und die tex2html_wrap_inline690 paarweise verschieden sind. Es ist dies also eine durch ein Polynom 3. Grades in tex2html_wrap_inline692 gegebene Kurve. Dabei müssen Bedingungen erfüllt sein, die sichern, daß die Kurve in einem geometrisch zu verstehenden Sinne überall glatt ist. Zu diesen komplexen Punktmengen gehören bisweilen recht aussagekräftige reelle Bilder. Z.B. diskutiert Kraft [Kr] die Kurve mit der Gleichung

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und dem Bild

Das Bild erweckt den Anschein, als ob die Kurve aus zwei unzusammenhängenden Stücken besteht. Das ist aber nur im Reellen der Fall.

Die eben diskutierte Kurve wird noch durch einen unendlichen Punkt tex2html_wrap_inline696 vervollständigt, also tex2html_wrap_inline698 und heißt nun elliptische Kurve. Dieser Name kommt nicht etwa von ihrer geometrischen Gestalt im Reellen, sondern daher, daß Funktionen, die im Komplexen in natürlicher Weise auf E definierbar sind, sogenannte elliptische Funktionen, eine entscheidende Rolle spielen bei der Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen.

Es ist von ganzem großen Interesse für die Mathematik, hier - wie übrigens auch bei den anfangs benannten Quadriken - nach rationalen sowie
ganzen Punkten zu suchen, also nach Paaren tex2html_wrap_inline702 bzw. tex2html_wrap_inline704 mit tex2html_wrap_inline706 . Von hier ist es nur ein kleiner Schritt, nach Lösungen in tex2html_wrap_inline708 zu fragen, also nach Zahlen tex2html_wrap_inline710 mit tex2html_wrap_inline712 mod m.

Die überragende inner- und außermathematische Bedeutung der elliptischen Kurven liegt nun darin, daß auf der Menge tex2html_wrap_inline716 der Punkte einer elliptischen Kurve mit Koordinaten in einem Körper tex2html_wrap_inline718 oder tex2html_wrap_inline720 ) eine kommutative Gruppenstruktur eingeführt werden kann. Das geht, abgesehen von dem trivialen Fall der Geraden, nur für elliptische Kurven. Die die Gruppenstruktur vermittelnde Verknüpfung läßt sich geometrisch verstehen: Für zwei verschiedene Punkte tex2html_wrap_inline722 wird als Summe tex2html_wrap_inline724 der Punkt genommen, der sich ergibt, indem eine Gerade g durch P und Q gelegt wird und der dritte Schnittpunkt R dieser Geraden g mit E an der x-Achse gespiegelt wird (s. Skizze). Das läuft darauf hinaus, daß der Punkt 0 im Unendlichen das neutrale Element der Gruppe ist.
Eine nicht zu schwere Rechnung zeigt, daß für tex2html_wrap_inline742 und tex2html_wrap_inline744 der Punkt tex2html_wrap_inline746 die Koordinaten hat

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und

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Dabei ist für tex2html_wrap_inline752 sowie tex2html_wrap_inline754 der Punkt tex2html_wrap_inline756 zu verwenden. Der inverse Punkt tex2html_wrap_inline758 wird dann notwendig durch die Koordinaten tex2html_wrap_inline760 beschrieben, und die maximal drei Punkte mit tex2html_wrap_inline762 sind zu sich selbst invers, also von der Ordnung 2. Die Gruppenaxiome sind nicht schwer nachzurechnen mit Ausnahme des Assoziativgesetzes, dessen Beweis einen schönen geometrischen Satz benutzt, nämlich den Satz von Bézout über die Anzahl der Schnittpunkte zweier algebraischer Kurven.