Bücher zu diesem Gegenstand gibt es viele. Hier seien als Referenz nur
der Aufsatz von H. Kraft [Kr], das Buch von Brieskorn und Knörrer [BK]
sowie die einschlägigen Kapitel in [Wo] und [K1] sowie [K2] genannt,
wo viele weitere Angaben zu finden sind.
Klassische Objekte, die leider immer weniger Platz im Schulstoff zu behalten scheinen, sind die Kegelschnitte, also die Kurven im mit den folgenden Normalformen:
wobei hier a und b von Null verschiedene reelle Zahlen sind. Dies sind also Kurven, die als Nullstellenmenge quadratischer Polynome beschrieben sind. Wird hier nur ein kleiner Schritt weiter gemacht, so tauchen die elliptischen Kurven auf, die allerdings gleich als Nullstellenmengen im Komplexen betrachtet werden. Auch hier gibt es Normalformen, und zwar heißt
eine affine, elliptische Kurve, falls und die paarweise verschieden sind. Es ist dies also eine durch ein Polynom 3. Grades in gegebene Kurve. Dabei müssen Bedingungen erfüllt sein, die sichern, daß die Kurve in einem geometrisch zu verstehenden Sinne überall glatt ist. Zu diesen komplexen Punktmengen gehören bisweilen recht aussagekräftige reelle Bilder. Z.B. diskutiert Kraft [Kr] die Kurve mit der Gleichung
und dem Bild
Das Bild erweckt den Anschein, als ob die Kurve aus zwei
unzusammenhängenden Stücken besteht. Das ist aber nur im Reellen
der Fall.
Die eben diskutierte Kurve wird noch durch einen unendlichen Punkt
vervollständigt, also
und heißt nun elliptische Kurve. Dieser Name kommt nicht etwa von
ihrer geometrischen Gestalt im Reellen, sondern daher, daß Funktionen,
die im Komplexen in natürlicher Weise auf E definierbar sind,
sogenannte elliptische Funktionen, eine entscheidende Rolle spielen
bei der Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen.
Es ist von ganzem großen Interesse für die Mathematik, hier -
wie übrigens auch bei den anfangs benannten Quadriken - nach
rationalen sowie
ganzen Punkten zu suchen, also nach Paaren
bzw.
mit
. Von hier ist es nur ein kleiner Schritt, nach Lösungen in
zu fragen, also nach Zahlen
mit
mod m.
Die überragende inner- und außermathematische Bedeutung der
elliptischen Kurven liegt nun darin, daß auf der Menge
der Punkte einer elliptischen Kurve mit Koordinaten in einem Körper
oder
) eine kommutative Gruppenstruktur eingeführt werden kann. Das geht,
abgesehen von dem trivialen Fall der Geraden, nur für elliptische Kurven.
Die die Gruppenstruktur vermittelnde Verknüpfung läßt sich
geometrisch verstehen: Für zwei verschiedene Punkte
wird als Summe
der Punkt genommen, der sich ergibt, indem eine Gerade g durch
P und Q gelegt wird und der dritte Schnittpunkt R dieser
Geraden g mit E an der x-Achse gespiegelt wird
(s. Skizze). Das läuft darauf hinaus, daß der Punkt 0 im
Unendlichen das neutrale Element der Gruppe ist.
Eine nicht zu schwere Rechnung zeigt, daß für
und
der Punkt
die Koordinaten hat
und
Dabei ist für
sowie
der Punkt
zu verwenden. Der inverse Punkt
wird dann notwendig durch die Koordinaten
beschrieben, und die maximal drei Punkte mit
sind zu sich selbst invers, also von der Ordnung 2. Die Gruppenaxiome sind
nicht schwer nachzurechnen mit Ausnahme des Assoziativgesetzes, dessen Beweis
einen schönen geometrischen Satz benutzt, nämlich den Satz von
Bézout über die Anzahl der Schnittpunkte zweier algebraischer
Kurven.