Funktionalanalysis - Sommersemester 2021 - Vorlesungsvideos

Ingo Runkel

• Kapitel 15.1:
  • [mp4]: Definition einer Norm, Isometrie, Separabilität
    Anmerkungen:
    • 1:02'15": Hier schreibe ich $$e_i$$, aber es sollte $$e^i$$ heißen.
    • 1:03'00": Hier sage ich $$\overline{\mathrm{lin}A} = c$$, aber es ist $$c_0$$ nicht $$c$$. Dann braucht man noch ein Extra-Argument um von $$c_0$$ auf $$c$$ zu kommen, das ist jetzt in den Notizen zu Kapitel 15.1 hinzugefügt.
  
  
• Kapitel 15.2:
  • Teil 1[mp4]: Stetige lineare Abbildung, Äquivalenz von Normen
    Anmerkungen:
    • 16'40": In der nicht-stetigen Richtung schreibe ich wieder $$id : X_1 \to X_0$$, aber es muss $$id : X_0 \to X_1$$ heißen.
    • 41'00": Hier benutze ich die Dreiecksungleichung und sage "$$=$$", es sollte aber "$$\le$$" heißen.
    • 48'20": Hier sage ich "Lemma 4", aber es sollte "Lemma 5" sein.
    
    
  • Teil 2[mp4]: Kompaktheit des Einheitsballs, Operatornorm und Eigenschaften
  
  
• Kapitel 15.3:
  • Teil 1[mp4]: Banachraum und Vervollständigung
  • Teil 2[mp4]: Beispiele und Vollständigkeit von L(X,Y)
  
  
• Kapitel 15.4:
  • Teil 1[mp4]: Quotientenraum als normierter Raum
    Anmerkungen:
    • 23'42": Hier sage ich $$n \to \infty$$, aber es sollte heißen $$k \to \infty$$.
    
    
  • Teil 2[mp4]: Eigenschaften von Quotientenabbildungen, direkte Summe
  
  
• Kapitel 15.5:
  • Teil 1[mp4]: Definition der L^p-Räume, Hölder- and Minkowski-Ungleichung
    Anmerkungen:
    • 29'20": Hier behaupte ich, der Logarithmus ist konvex. Aber hier (und später) sollte es heißen "konkav".
    
    
  • Teil 2[mp4]: L^p ist ein Banachraum
  • Teil 3[mp4]: Funktionale auf L^p, stetige Funktionen sind dicht in L^p
    Anmerkungen:
    • 11'35": Hier steht im Skript $$\frac1p+\frac1p = 1$$, aber es sollte heißen $$\frac1p+\frac1q = 1$$, sowohl im Punkt vor Satz 15.5.9 als auch im Satz selber.
  
  
• Kapitel 16.1:
  • Teil 1[mp4]: Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
  • Teil 2[mp4]: Trennungssatz für konvexe Mengen
  
  
• Kapitel 16.2:
  • Teil 1[mp4]: Dualraum, Vervollständigung via Bidualraum, transponierte Abbildung
  • Teil 2[mp4]: Dualraum von l^p, reflexive Räume
  • Teil 3[mp4]: Separabilität und Dualraum, Annihilatoren
  
  
• Kapitel 16.3:
  • Teil 1[mp4]: Metrische Räume: Satz von Baire, punktweise gleichmäßige Beschränktheit
  • Teil 2[mp4]: Gleichmäßige Beschränktheit für Operatoren, Folgerungen
  
  
• Kapitel 16.4:
  • [mp4]: Satz von der offenen Abbildung, Satz vom inversen Operator
    Anmerkungen:
    • 36'45": Hier sage ich $$\bigcup_{b \in W} (W-a)$$, aber es sollte heißen $$\bigcup_{b \in W} (W-b)$$.


• Kapitel 16.5:
  • Teil 1[mp4]: Graph einer Abbildung, abgeschlossene Abbildung
  • Teil 2[mp4]: Eigenschaften von abgeschlossenen Abbildungen, Satz von abgeschlossenen Graphen
  
  
• Kapitel 16.6:
  • Teil 1[mp4]: Definition von Gâteaux- und Fréchet-Ableitung, Beispiele
  • Teil 2[mp4]: Eigenschaften von Gâteaux- und Fréchet-Ableitung, Beispiel: Ableitung der L2-Norm
  • Teil 3[mp4]: Beispiel aus der Variationsrechnung: Bogenlänge
  
  
• Kapitel 17.1:
  • Teil 1[mp4]: Schwache und schwach-* Konvergenz
  • Teil 2[mp4]: Beschränktheit und schwache Konvergenz
  • Teil 3[mp4]: Ausblick: Schwache und schwach-* Topologie
  
  
• Kapitel 17.2:
  • Teil 1[mp4]: Gleichmäßige Konvexität, Approximationssatz
    Anmerkungen:
    • 21'25": Hier schreibe ich $$|x_n-y_n|$$, aber es sollte heißen $$|x_n+y_n|$$.
    
    
  • Teil 2[mp4]: Gleichmäßig konvexe Banachräume sind reflexiv
    Anmerkungen:
    • 19'20": In Korollar 7 wird die kanonische Isometrie $$X \to X''$$ mit $$i$$ bezeichnet. Wir hatten sie aber in Kapitel 16.2 mit $$j_X$$ oder kurz $$j$$ bezeichnet. Das ist im Skript und in den Notizen geändert.
    
    
  
  
• Kapitel 17.3:
  • Teil 1[mp4]: L^p ist gleichmäßig konvex
  • Teil 2[mp4]: Dualraum von L^p
  
  
• Kapitel 18.1:
  • Teil 1[mp4]: Definition Hilbertraum, Parallelogrammgleichung
  • Teil 2[mp4]: Anti-Isomorphismus zum Dualraum
  
  
• Kapitel 18.2:
  • Teil 1[mp4]: Orthogonale Projektionen
  • Teil 2[mp4]: Summierbare Familien, Orthogonal- und Orthonormalsysteme
    Anmerkungen:
    • 31'40": In der Aussage von Satz 18.2.9 (i) (Besselsche Ungleichung) sollte es heißen $$\sum_{i \in I} |\langle x,x_i\rangle|^2$$ und nicht $$\sum_{i \in I} |\langle x,x_i\rangle|$$.
    
    
  • Teil 3[mp4]: Kriterien für ON-Basen, Mächtigkeit der ON-Basis bestimmt den Hilbertraum
  
  
• Kapitel 18.3:
  • Teil 1[mp4]: Adjungierter Operator, unitär, selbstadjungiert, normal
  • Teil 2[mp4]: Beispiele
  • Teil 3[mp4]: Orthogonale Projektionen
  
  
• Kapitel 18.4:
  • Teil 1[mp4]: Fouriertransformation als stetige Abbildung von L^1 nach C_0, Testfunktionen
  • Teil 2[mp4]: Schwartz-Raum, Fouriertransformation als isometrischer Isomorphismus des Schwartz-Raums
  • Teil 3[mp4]: Beweis isometrischer Isomorphismus
  • Teil 3[mp4]: Stetige Fortsetzung der Fouriertransformation auf L^2
  
  
• Kapitel 19.1:
  • Teil 1[mp4]: Definition Resolventenmenge und -abbildung, Spektrum. Eigenschaften
  • Teil 2[mp4]: Punkt-, stetiges und Restspektrum. Beispiele
  
  
• Kapitel 19.2:
  • Teil 1[mp4]: Definition und erste Eigenschaften von kompakten Operatoren
  • Teil 2[mp4]: Satz von Arzelà-Ascoli, Integraloperatoren
  
  
• Kapitel 19.3:
  • Teil 1[mp4]: Satz von Schauder, Satz von Riesz
  • Teil 2[mp4]: Definition Fredholm-Operator und Index, der Index ist stetig
  • Teil 3[mp4]: Fredholm Alternative, Spektrum kompakter Operatoren
  
  
• Ausblick:
  • [mp4]: Ausblick auf einige weiterführende Themen.