Janko Latschev
Elementare dynamische Systeme, Sommersemester 2024
Dies ist eine erste Einführung in Fragestellungen und Begriffe der mathematischen Theorie der dynamischen Systeme, in der sowohl theoretische Untersuchungen als auch Experimente eine Rolle spielen werden. Vorausgesetzt werden Inhalte der Vorlesungen Mathematik 1-4 für das Lehramt der Sekundarstufe.
Bestehenskriterium ist die regelmäßige Bearbeitung der Projektaufgaben und eine aktive Teilnahme an den Diskussionen in den Lehrveranstaltungen.
Begleitende Literatur:
Der Kurs orientiert sich am Buch A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment von Robert L. Devaney (dieser Link funktioniert nur aus dem Uni-Netz).
Weitere relevante Quellen werden jeweils im Logbuch unten erwähnt.
Hier finden Sie die Projektaufgaben:
Projekt 1
Projekt 2
Projekt 3
Projekt 4
Projekt 5
Projekt 6
Diese sind in Moodle abzugeben.
Logbuch:
| 02.04. | Organisatorisches;
erste Beispiele: verzinstes Guthaben, Heron-Verfahren für Quadratwurzeln, Newton-Verfahren zur Suche nach Nullstellen von differenzierbaren Funktionen;
erste Begriffe: diskretes dynamisches System, Bahn, Typen von Bahnen: Fixpunkt/Ruhelage/stationärer Punkt, periodische Bahn, konvergente und divergente Bahnen
(vgl. Abschnitte 1-3 in Devaneys Buch)
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| 09.04. | Diskussion der Ergebnisse aus Projekt 1;
(approximative) Bestimmung von Fixpunkten und periodischen Punkten am Graphen, Iteration am Graphen als Hilfsmittel zum qualitativen Verständnis des Langzeitverhaltens von Bahnen; die in der Sitzung verwendete Geogebra-Implementation findet sich hier.
(vgl. Abschnitt 4 in Devaneys Buch)
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| 16.04. | Existenz von Fixpunkten für stetige Abbildungen eines abgeschlossenen Intervalls in sich selbst, Klassifikation von Fixpunkten in anziehend/abstoßend/neutral, Charakterisierung von Fixpunkten stetig differenzierbarer Funktionen mit Hilfe der Ableitung im Fixpunkt, Verallgemeinerung für periodische Punkte
(vgl. Abschnitt 5 in Devaneys Buch)
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| 23.04. | Beispiele zu anziehenden/abstoßenden Fixpunkten und periodischen Bahnen, Diskussion der quadratischen Familie fc(x)=x2+c für c zwischen 1 und -3, inklusive rechnerische Bestimmung der 2-periodischen Bahn; Definition Tangentenbifurkation, Beispiel, hinreichendes Kriterium (mit Beweis)
(vgl. Abschnitte 6 und 8 in Devaneys Buch)
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| 30.04. | Fortsetzung der Diskussion der quadratischen Familie fc(x)=x2+c, Definition einer periodenverdoppelnden Bifurkation, Beispiele dazu,
Verhalten von fc für c=-2 und für c<-2
(vgl. Abschnitte 6 und 7 in Devaneys Buch)
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| 07.05. | topologische Konjugation von dynamischen Systemen, Definition und Beispiele: quadratische Abbildungen, lineare Abbildungen auf R
(vgl. Skript-Kapitel in Moodle)
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| 14.05. | Symbolische Dynamik: Folgenraum und seine Eigenschaften, Shiftabbildung und ihre Eigenschaften, Konjugation der quadratischen Abbildungen fc für c<-2 zur Shiftabbildung
(vgl. Abschnitt 9 in Devaneys Buch und Skript-Kapitel in Moodle)
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| 28.05. | kurze Nachbesprechung von Projekt 3
die drei Bedingungen in Devaneys Definition von Chaos, Beispiele chaotischer dynamischer Systeme, Redundanz der Bedingungen
(vgl. Abschnitt 10 in Devaneys Buch und Artikel zu Devaneys Definition)
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| 11.06. | Wiederholung zu topologischer Konjugation, weitere Beispiele chaotischer dynamischer Systeme
(vgl. Abschnitt 10 in Devaneys Buch)
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| 18.06. | Satz von Sharkovsky: Formulierung, Beweis des Spezialfalls (minimale Periode 3 impliziert alle minimalen Perioden), Umkehrung und Beispiel dazu
(vgl. Abschnitt 11 in Devaneys Buch; ein vollständiger Beweis des Satzes findet sich zum Beispiel in Abschnitt 1.10 von Devaneys Buch "An introduction to chaotic dynamical systems")
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| 25.06. | Diskussion der Lösungen zum Projekt 5;
Newton-Verfahren: Herleitung, Konvergenzbeweis für Nullstellen endlicher Ordnung, Beispiele
(vgl. Abschnitt 13 in Devaneys Buch)
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| 02.07. | Iteration komplexer Funktionen: Beispiel lineare Funktionen, anziehende und abstoßende Fixpunkte, Q0(z)=z2 und Q-2(z)=z2-2 sind auf großen offenen Mengen konjugiert zueinander, Julia-Menge und gefüllte Julia-Menge eines Polynoms mit ersten Beispielen
(vgl. Abschnitte 15 und 16 in Devaneys Buch)
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| 09.07. | Verhalten der Bahnen von Punkten z∈C mit großem Betrag unter Qc(z)=z2+c für |c|>2, die Julia-Menge für Qc ist für |c|>2 eine Cantor-Menge,
Dichotomie: entweder Qcn(0) divergiert und die Julia-Menge von Qc ist eine Cantor-Menge, oder Qcn(0) ist beschränkt und die Julia-Menge von Qc ist zusammenhängend; die Mandelbrot-Menge und ihre Bedeutung.
Für die Visualisierung habe ich folgende beiden Webseiten verwendet:
Julia-Mengen in farblicher Darstellung
Julia-Mengen-Generator mit Darstellung der Mandelbrot-Menge (besonders geeignet, um die Beziehung zwischen den beiden Konzepten zu erforschen)
Hier ist noch eine weitere Seite, auf der Sie Bilder von Julia-Mengen für beliebige komplexe Polynome generieren können:
Julia-Mengen für Polynome beliebigen Grades
(vgl. Abschnitte 16 und 17 in Devaneys Buch, wo insbesondere auch dargestellt wird, wie die Bilder in den obigen Bild-Generatoren konkret entstehen)
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