Janko Latschev
Elementare dynamische Systeme, Sommersemester 2024
Dies ist eine erste Einführung in Fragestellungen und Begriffe der mathematischen Theorie der dynamischen Systeme, in der sowohl theoretische Untersuchungen als auch Experimente eine Rolle spielen werden. Vorausgesetzt werden Inhalte der Vorlesungen Mathematik 1-4 für das Lehramt der Sekundarstufe.
Bestehenskriterium ist die regelmäßige Bearbeitung der Projektaufgaben und eine aktive Teilnahme an den Diskussionen in den Lehrveranstaltungen.
Begleitende Literatur:
Der Kurs orientiert sich am Buch A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment von Robert L. Devaney (dieser Link funktioniert nur aus dem Uni-Netz).
Weitere relevante Quellen werden jeweils im Logbuch unten erwähnt.
Hier finden Sie die Projektaufgaben:
Projekt 1
Projekt 2
Projekt 3
Diese sind in Moodle abzugeben.
Logbuch:
| 02.04. | Organisatorisches;
erste Beispiele: verzinstes Guthaben, Heron-Verfahren für Quadratwurzeln, Newton-Verfahren zur Suche nach Nullstellen von differenzierbaren Funktionen;
erste Begriffe: diskretes dynamisches System, Bahn, Typen von Bahnen: Fixpunkt/Ruhelage/stationärer Punkt, periodische Bahn, konvergente und divergente Bahnen
(vgl. Abschnitte 1-3 in Devaneys Buch)
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| 09.04. | Diskussion der Ergebnisse aus Projekt 1;
(approximative) Bestimmung von Fixpunkten und periodischen Punkten am Graphen, Iteration am Graphen als Hilfsmittel zum qualitativen Verständnis des Langzeitverhaltens von Bahnen; die in der Sitzung verwendete Geogebra-Implementation findet sich hier.
(vgl. Abschnitt 4 in Devaneys Buch)
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| 16.04. | Existenz von Fixpunkten für stetige Abbildungen eines abgeschlossenen Intervalls in sich selbst, Klassifikation von Fixpunkten in anziehend/abstoßend/neutral, Charakterisierung von Fixpunkten stetig differenzierbarer Funktionen mit Hilfe der Ableitung im Fixpunkt, Verallgemeinerung für periodische Punkte
(vgl. Abschnitt 5 in Devaneys Buch)
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| 23.04. | Beispiele zu anziehenden/abstoßenden Fixpunkten und periodischen Bahnen, Diskussion der quadratischen Familie fc(x)=x2+c für c zwischen 1 und -3, inklusive rechnerische Bestimmung der 2-periodischen Bahn; Definition Tangentenbifurkation, Beispiel, hinreichendes Kriterium (mit Beweis)
(vgl. Abschnitte 6 und 8 in Devaneys Buch)
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| 30.04. | Fortsetzung der Diskussion der quadratischen Familie fc(x)=x2+c, Definition einer periodenverdoppelnden Bifurkation, Beispiele dazu,
Verhalten von fc für c=-2 und für c<-2
(vgl. Abschnitte 6 und 7 in Devaneys Buch)
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