Janko Latschev
Vorlesung Differentialgeometrie, Sommersemester 2024
Dies ist eine Einführung in die Welt der Differentialgeometrie: wir betrachten fundamentale Fragestellungen, sich daraus ergebende Begriffe und Formalismen, sowie einige grundlegende Resultate. Im Mittelpunkt des Interesses stehen Mannigfaltigkeiten als fundamentales Konzept eines Raumes, angereichert mit zusätzlichen Strukturen, die Geometrie ermöglichen (z.B. einer Riemannschen Metrik).
Vorausgesetzt werden die Kenntnisse aus Analysis und Höherer Analysis. Topologiekenntnisse sind hilfreich, aber keine Vorbedingung.
Die Prüfungen zu dieser Vorlesung sind mündlich. Prüfungstermine gibt es in den Kalenderwochen 31 (ab 29.07.) oder 41 (ab 07.10.).
Eine Zusammenfassung der Prüfungsthemen mit weiteren Hinweisen finden Sie hier.
Hier finden Sie die Übungsblätter:
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6 (freiwillig)
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Begleitende Literatur:
| J. Robbin und D. Salamon | Introduction to Differential Geometry | Springer Verlag |
| C.H. Taubes | Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature | Oxford University Press |
| M. Spivak | A comprehensive introduction to differential geometry, vol. 1 | Publish or Perish |
| I. Agricola, T. Friedrich | Vektoranalysis: Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik | Springer Verlag (Link funktioniert nur aus dem Campus-Netz) |
| F. Warner | Foundations of differentiable manifolds and Lie groups | Springer Verlag |
| I. Madsen, J.Tornehave | From calculus to cohomology | Cambridge University Press |
| B. O'Neill | Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity | Academic Press |
Logbuch der Vorlesungsinhalte:
| 04.04. | Organisatorisches; Wiederholung glatte Untermannigfaltigkeiten des Rn, Definition topologische Mannigfaltigkeit, Beispiel zur Motivation der Hausdorff-Eigenschaft, kurze Erklärung zur Bedeutung der abzählbaren Basis
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| 08.04. | Definition Karte, glatter Atlas, glatte Struktur, Beispiele auf Sk, weitere Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten, insbesondere RPn, glatte Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, Diffeomorphismen, Beispiele
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| 11.04. | glatte Gruppenwirkungen: Definition und Beispiele; verschiedene Beschreibungen von Tangentialvektoren an eine Mannigfaltigkeit in einem Punkt: über Tangentialvektoren in Karten, über Äquivalenzklassen von Kurven, als Derivationen in diesem Punkt
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| 15.04. | Abschluss der Diskussion zur Äquivalenz der Beschreibungen von Tangentialvektoren, Differential einer glatten Abbildung, Kettenregel, Ausdruck in lokalen Koordinaten; Submersionen, Immersionen, Einbettungen und Beispiele dazu, reguläre und kritische Punkte und Werte, Satz vom regulären Wert für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, Satz von Sard (Aussage)
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| 18.04. | Vektorbündel: Definition, erste Beispiele, Kozykelbedingung für Übergangsabbildungen zwischen lokalen Trivialisierungen, Konstruktion durch lokales Verkleben
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| 20.04. | Vektorbündel über Sn, Tangentialbündel: Konstruktion durch Verkleben; Bündelmorphismen und -isomorphismen, Schnitte in Bündeln, Vektorfelder und ihre lokale Darstellung, kurze Diskussion zu Konstruktionen mit Bündeln, Beispiel: Kotangentialbündel
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| 25.04. | Vektorfelder als Derivationen von C∞(M), Kommutator von Derivationen als Lieklammer, Integralkurven für Vektorfelder, Vollständigkeit für Vektorfelder
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| 29.04. | Einschub zu gewöhnlichen Differentialgleichungen: allgemeine Form, Umformulierung einer Gleichung k-ten Grades als System ersten Grades, Lokaler Existenzsatz (Picard-Lindelöf), stetige (bzw. glatte) Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen, Definition von maximalen Lösungen, Satz von der maximalen Lösung; einfache Lösungsmethoden (Trennung der Variablen, Variation der Konstanten) mit Beispielen
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| 02.05. | lineare Differentialgleichungssysteme, Beispiele für qualitatives Verhalten der Lösungen im R2, Vektorfelder und Flüsse, Lieableitung eines Vektorfeldes in Richtung eines anderen Vektorfeldes, Vergleich mit der Lieklammer
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| 06.05. | Folgerung: Flüsse kommutieren genau dann, wenn Vektorfelder kommutieren; Liegruppen: Definition und Beispiele, linksinvariante Vektorfelder und Liealgebra einer Liegruppe, Berechnung der Klammer für gl(n,R)
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| 13.05. | Exponentialabbildung, Differential eines Liegruppen-Homomorphismus ist ein Liealgebra-Homomorphismus; Kotangentialbündel und kanonische Koordinaten, kanonische 1-Form, allgemeiner: Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten; Integration und Formulierung des Satzes von Stokes
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| 16.05. | Satz von Frobenius: Motivation und Formulierung, Beispiele und Gegenbeispiele; glatte Mannigfaltigkeiten mit Rand: Definition, induzierte Orientierung auf dem Rand
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| 27.05. | Motivation zu kovarianten Ableitungen auf Mannigfaltigkeiten und Vektorbündeln, Definition kovariante Ableitung, erste Beispiele, Lokalität im ersten Argument, parallele Schnitte, Beschreibung in lokalen Koordinaten, Definition Tensorfeld, erste Beispiele, Krümmung und Torsion einer kovarianten Ableitung, kovariante Ableitung von Tensorfeldern
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| 30.05. | Vektorfelder entlang einer glatten Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten, die von einer kovarianten Ableitung auf TM induzierte kovariante Ableitung auf Vektorfeldern entlang f : N → M, Vektorfelder entlang Kurven und deren kovariante Ableitung, Paralleltransport entlang Kurven, Interpretation einer kovarianten Ableitung als Familie von horizontalen Unterräumen in T(TM)
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| 10.06. | Beweis der Beziehung zwischen Paralleltransport und Krümmung, Bemerkungen zum Zusammengang zwischen der Abhängigkeit des Paralleltransports vom Weg und der Krümmung, Holonomie; Wiederholung Skalarprodukte, Definition pseudo-Riemannsche Metrik, Beispiele, Existenz von Riemannschen Metriken
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| 13.06. | Isometrien und Isometriegruppen mit Beispielen, Hauptsatz der pseudo-Riemannschen Geometrie (Existenz und Eindeutigkeit des Levi-Civita-Zusammenhangs), Levi-Civita-Zusammenhang in lokalen Koordinaten; Geodätische: Definition als Kurven mit parallelem Tangentialvektor, erste Beispiele
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| 17.06. | Länge von Kurven, Abstandsbegriff in zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten; Differentialgleichung für Geodätische in lokalen Koordinaten, lokale Existenz, Exponentialabbildung in einem Punkt, Beispiele
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| 20.06. | geodätische Normalkoordinaten, Definition Injektivitätsradius mit Beispielen, Gauß-Lemma, kurze Geodätische sind kürzeste Verbindungen zwischen ihren Endpunkten, kürzeste Verbindungen sind Geodätische
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| 24.06. | geodätische Vollständigkeit, Satz von Hopf und Rinow, Diskussion zum Schnittort mit Beispielen
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| 27.06. | algebraische Eigenschaften des Krümmungstensors in pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten, Definition der Schnittkrümmung, Wohldefiniertheit der Schnittkrümmung, Beispiele zur Berechnung: Rn, Sn; Diskussion zu Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung
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| 01.07. | Gaußkrümmung für Flächen im R3, Theorema egregium mit Beweis, Einordnung: zweite Fundamentalform, Hauptkrümmungen und mittlere Krümmung für Hyperflächen; Energiefunktional für Kurven und Beziehung zur Länge, Tangentialraum an den Raum der glatten Kurven
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| 04.07. | erste und zweite Variationsformel für die Energie, Geodätische als kritische Punkte der Energie; Anwendung: Satz von Synge; Jacobifelder: Definition und erste Beispiele
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| 08.07. | konjugierte Punkte, Nichtexistenz im Fall nichtpositiver Schnittkrümmung, alternative Charakterisierung, Satz von Cartan und Hadamard (Formulierung und Beispiele), Definition der Ricci-Krümmung, Satz von Bonnet und Myers mit Beweis, Diskussion von Bedeutung und Beispielen
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| --- | ergänzende Betrachtungen zur Geometrie auf Liegruppen, insbesondere zum Vergleich der gruppentheoretischen mit der Riemannschen Exponentialabbildung
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| 11.07. | Satz von Gauß-Bonnet für Flächen: Formulierung, Definition der Euler-Charakteristik über Triangulierungen, Definition der geodätischen Krümmung einer Kurve, lokale Version des Satzes für n-Ecke in einer orientierten Fläche mit Riemannscher Metrik (mit Beweis), Beweis des Satzes aus dem lokalen Fall
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