1.5 Beschreibende Statistik: Datensatz, Ordnungsstatistik, Mittelwert,
Median, Quantile, Streuung.
2. W-Modelle: Merkmalraum, Ereignisse, Sigma-Algebra, erzeugte
Sigma-Algebra, Borel-Mengen in R und Rn,
Zufallsvariable, durch ZV beschreibbare Ereignisse, W-Maß, W-Raum, Bernoulli-,
Laplace-, Einpunkt-Verteilung, Eigenschaften von W-Maßen, Stetigkeit von
unten/oben, Maße, (elementare) bedingte Wahrscheinlichkeiten, totale W.,
BAYES-Formel, stoch. unabhängige Ereignisse.
3. Darstellung von W-Maßen: Zähldichten, Poisson-Verteilung,
Empirische Verteilung (s. auch 5.1E), Träger, Riemann-Dichten, Rechteck-,
Exponential-, Normal-Verteilung, Gamma-, Beta-Verteilung, R-Dichte +
Gleichverteilung in Rn,
Fortsetzungs- und
Eindeutigkeits-Satz, Ring, Semi-Ring, (Prä-)Maß, Durchschnitt-stabil,
sigma-endlich, Lebesgue-Maß
Verteilungsfunktion (VF), insbes. für
Normal-Verteilung, empirische VF, gemischte Verteilungen, Eigenschaften von
Verteilungsfunktionen, Korrespondenz-Satz.
4. Mehrstufige W-Modelle, Koppelung: Übergangs-Dichten (diskret und
stetig), unabhängige Koppelung: Produktformel, n-faches
Laplace-/Bernoulli-Modell, n-dimensionale Standard-Normalverteilung,
Markov-Koppelung, Ziehen ohne Zurücklegen, Folgen von Koppelungsmodellen, Satz
von IONESCU-Tulcea,
Markov-Ketten (s. 7.2): Übergangs-Matrix,
Übergangs-Graph, Pfad, Rechenregeln.
5. Zufallsvariable (ZV), Bildmodelle: Zufallsvariable, Urbild,
Messbarkeit, Satz: 'Erzeuger genügt', Prinzip der guten Mengen(!), Beispiele
messbarer Mengen (mit Beweisansätzen), erweitert reellwertig, Bildmaß,
Verteilung einer ZV,
hypergeometrische Verteilung, Binomial-Verteilung,
Poisson-/Normal-Approximation, geometrische u. negative Binomial-Verteilung,
Transformationen stetiger W-Modelle, lineare Trafo,
Randverteilung,
Projektion, gemeinsame Verteilung, Produkt-σ-Algebra, stoch. unabhängige ZV
+ Eigenschaften, Faltung mit Beispielen.
6. Kenngrößen: Median, Quantile, Erwartungswert, diskret, stetig und
gemischt: Beispiele + Eigenschaften.
Streuung, Varianz, Kovarianz:
Eigenschaften und Beispiele, mehrdimensionale Normalverteilung.
6.4E+F Das Maß-Integral: 3-stufige Definition, Elementarfunktion,
(quasi-)integrierbar, Eigenschaften, monotone Konvergenz, Lemma von Fatou (mit
Varianten), majorisierte Konvergenz, 'fast sicher', Dichte bzgl. eines Maßes,
Integral über ein Maß mit Dichte (Eigenschaft (*)), Zählmaß, Zählmaß-Integral =
Summe, Trafo-Formel (Integration über Bildmaß), Darstellungen von EX bzw.
Eg(X).
6.8E+F Allgemeine Koppelung: Übergangs-W-Maß, Satz von Fubini, stoch.
unabh. ZV (allg.), bedingte Verteilung, bedingte Erwartungswerte, zufällige
Summe.
6.9E Konvergenz und Grenzwertsätze: punktweise Konvergenz, fast sicher, stochastisch, im p-ten Mittel, nach Verteilung, Chebychev-Markov-Ungleichung, schwaches und starkes Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz.