Janko Latschev
Vorlesung Differentialgeometrie, Sommersemester 2024
Dies ist eine Einführung in die Welt der Differentialgeometrie: wir betrachten fundamentale Fragestellungen, sich daraus ergebende Begriffe und Formalismen, sowie einige grundlegende Resultate. Im Mittelpunkt des Interesses stehen Mannigfaltigkeiten als fundamentales Konzept eines Raumes, angereichert mit zusätzlichen Strukturen, die Geometrie ermöglichen (z.B. einer Riemannschen Metrik).
Vorausgesetzt werden die Kenntnisse aus Analysis und Höherer Analysis. Topologiekenntnisse sind hilfreich, aber keine Vorbedingung.
Hier finden Sie die Übungsblätter:
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Begleitende Literatur:
| J. Robbin und D. Salamon | Introduction to Differential Geometry | Springer Verlag |
| C.H. Taubes | Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature | Oxford University Press |
| M. Spivak | A comprehensive introduction to differential geometry, vol. 1 | Publish or Perish |
| I. Agricola, T. Friedrich | Vektoranalysis: Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik | Springer Verlag (Link funktioniert nur aus dem Campus-Netz) |
| F. Warner | Foundations of differentiable manifolds and Lie groups | Springer Verlag |
| I. Madsen, J.Tornehave | From calculus to cohomology | Cambridge University Press |
| B. O'Neill | Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity | Academic Press |
Logbuch der Vorlesungsinhalte:
| 04.04. | Organisatorisches; Wiederholung glatte Untermannigfaltigkeiten des Rn, Definition topologische Mannigfaltigkeit, Beispiel zur Motivation der Hausdorff-Eigenschaft, kurze Erklärung zur Bedeutung der abzählbaren Basis
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| 08.04. | Definition Karte, glatter Atlas, glatte Struktur, Beispiele auf Sk, weitere Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten, insbesondere RPn, glatte Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, Diffeomorphismen, Beispiele
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| 11.04. | glatte Gruppenwirkungen: Definition und Beispiele; verschiedene Beschreibungen von Tangentialvektoren an eine Mannigfaltigkeit in einem Punkt: über Tangentialvektoren in Karten, über Äquivalenzklassen von Kurven, als Derivationen in diesem Punkt
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| 15.04. | Abschluss der Diskussion zur Äquivalenz der Beschreibungen von Tangentialvektoren, Differential einer glatten Abbildung, Kettenregel, Ausdruck in lokalen Koordinaten; Submersionen, Immersionen, Einbettungen und Beispiele dazu, reguläre und kritische Punkte und Werte, Satz vom regulären Wert für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, Satz von Sard (Aussage)
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| 18.04. | Vektorbündel: Definition, erste Beispiele, Kozykelbedingung für Übergangsabbildungen zwischen lokalen Trivialisierungen, Konstruktion durch lokales Verkleben
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| 20.04. | Vektorbündel über Sn, Tangentialbündel: Konstruktion durch Verkleben; Bündelmorphismen und -isomorphismen, Schnitte in Bündeln, Vektorfelder und ihre lokale Darstellung, kurze Diskussion zu Konstruktionen mit Bündeln, Beispiel: Kotangentialbündel
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