Stoffpläne
für die Lehrveranstaltungen der ersten Semester

Die folgenden Stoffpläne enthalten jene Inhalte aus den Bereichen Analysis, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Numerische Mathematik und Mathematische Stochastik, die für das weitere Studium aller Studierender der Studiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Technomathematik und Lehramt Oberstufen unverzichtbar sind.

Ziele der Beschäftigung mit diesen Inhalten sind gleichermaßen

• das Verständnis wichtiger Konzepte wie
• die sichere Handhabung grundlegender Techniken.

Gewicht gelegt werden sollte

• auf die Motivation neuer Fragestellungen,
• auf Veranschaulichung und Konkretisierung ebenso wie
• auf den Prozess des Abstrahierens,
• auf innermathematische Zusammenhänge,
• auf (möglichst auf die beteiligten Studiengänge abgestimmte) Anwendungsbezüge sowie
• auf Beispiele mathematischer Modellbildung.

Die konzeptionelle Aufbereitung sowie die Hinzunahme optionaler Inhalte liegen in der Verantwortung des jeweiligen Veranstalters, soweit das Erlernen der Stoffplan-Inhalte und die genannten Ziele und Gewichtungen nicht gefährdet werden.

Analysis

Gegenstand der Analysis ist die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Veränderlichen. Zentral ist dabei der Begriff des Grenzwerts in seinen verschiedenen Ausprägungen.

1. Semester

• Natürliche Zahlen, Induktionsprinzip.
• Reelle Zahlen: Eigenschaften (insbes. Vollständigkeit), komplexe Zahlen.
• Folgen und Reihen reeller und komplexer Zahlen: Konvergenz, Konvergenzkriterien, Satz von Bolzano-Weierstraß.
• Reelle Funktionen: Stetigkeit, Folgenstetigkeit, Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum, Grenzwerte von Funktionen, monotone Funktionen und Umkehrfunktionen.
• Elementare Funktionen: Exponentialfunktion, Logarithmus, trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen.
• Differentialrechnung im : Linearisierung, Differentiationskalkül, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Extrema, monotone und konvexe Funktionen.
• Integralrechnung im : Riemann-Integral, Integrierbarkeit (gleichmäßig) stetiger Funktionen, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrationskalkül, Mittelwertsätze.

2. Semester

• Integralrechnung im (Fortsetzung): Satz von Taylor, uneigentliche Integrale.
• Funktionenfolgen und -reihen: gleichmäßige Konvergenz, Weierstraßsches Majorantenkriterium, Potenzreihen, Fourier-Reihen (Orthogonalität, Konvergenz im Mittel).
• Metrische/normierte Räume, insbesondere : offene, abgeschlossene, kompakte Mengen, Konvergenz von Folgen, Banachscher Fixpunktsatz, Stetigkeit bei Funktionen .
• Differentialrechnung im : partielle Ableitungen, totale Ableitung (Jacobi-Matrix), Gradient, Mittelwertsätze, Taylor-Entwicklung, Hesse-Matrix, Kurven im .
• Satz über implizite Funktionen, lokale Umkehrbarkeit von Funktionen , Extrema mit Nebenbedingungen.
• Gewöhnliche Differentialgleichungen: Richtungsfeld, Variablentrennung, lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung, insbesondere Schwingungsdifferentialgleichung.

3. und 4. Semester

• Integralrechnung im (Lebesgue-Integral), Volumenberechnung, Satz von Fubini, Transformationsformel, Konvergenzsätze.
• Untermannigfaltigkeiten des , insbesondere Flächen im und Berechnung von deren Inhalt, Vektoranalysis, Sätze von Stokes im und Gauß im .

Anmerkungen:

Die angegebene Reihenfolge berücksichtigt nicht nur systematische und didaktische Gesichtspunkte, sondern auch die bestehenden inhaltlichen Verknüpfungen mit den parallel laufenden Veranstaltungen über Lineare Algebra und Analytische Geometrie sowie Numerische Mathematik. Abweichungen von dieser Reihenfolge sollten deshalb mit den Veranstaltern dieser Kurse abgestimmt werden.

Nicht alle Punkte müssen rigoros behandelt werden (Beispiel: Fourier-Reihen).

Als Vorlesungstext geeignete Lehrbücher sind u.a.:
- K. Königsberger: Analysis 1,2, Springer;
- O. Forster: Analysis 1, 2, 3, Vieweg;
- K. Endl, W. Luh: Analysis I, II, Akademische Verlagsgesellschaft;
- H. Heuser: Lehrbuch der Analysis 1, 2, Teubner.

Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Die Lineare Algebra und Analytische Geometrie ist ein grundlegendes mathematisches Werkzeug zur Behandlung von Problemen der Geometrie und zur Lösung von Systemen linearer Gleichungen. Eine zentrale Rolle spielen lineare Abbildungen und ihre Darstellung durch Matrizen.

1. Semester

• Anschauungsraum (Translationen, Länge und Richtung von Vektoren, Winkel, Geraden und Ebenen, Parallelität, Vektor- und Spatprodukt).
• Körper, Vektorräume: Linearkombination, Erzeugnis, lineare Abhängigkeit, Basis, Dimension, Unterräume.
• Skalarprodukt: Orthogonalität, euklidische Norm, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Orthogonalisierung
• Lineare Abbildungen und Matrizen: Matrizenkalkül, Darstellungsmatrix, Basiswechsel, invertierbare Matrizen (allgemeine lineare Gruppe).
• Lineare Gleichungssysteme: Rang einer Matrix, Lösbarkeitskriterien, Struktur der Lösungsmenge (affine Räume), Gauß-Algorithmus.

2. Semester

• Determinanten, Volumina von Parallelotopen, Orientierung.
• Eigenwerte und -vektoren von Matrizen, charakteristisches Polynom.
• Normalformen von Matrizen: Diagonalisierung, Trigonalisierung, Jordansche Normalform.
• Lineare Abbildungen von Skalarprodukträumen (orthogonale, normale, hermitesche Matrizen), Beispiele: Drehungen, Spiegelungen (zugehörige Gruppen), Hauptachsentransformation, Kurven und Flächen zweiter Ordnung.

Anmerk-Algorithmus.

2. Semester

• Determinanten, Volumina von Parallelotopen, Orientierung.
• Eigenwerte und -vektoren von Matrizen, charakteristisches Polynom.
• Normalformen von Matrizen: Diagonalisierung, Trigonalisierung, Jordansche Normalform.
• Lineare Abbildungen von Skalarprodukträumen (orthogonale, normale, hermitesche Matrizen), Beispiele: Drehungen, Spiegelungen (zugehörige Gruppen), Hauptachsentransformation, Kurven und Flächen zweiter Ordnung.

Anmerkungen:

Die angegebene Reihenfolge berücksichtigt nicht nur systematische und didaktische Gesichtspunkte, sondern auch die bestehenden inhaltlichen Verknüpfungen mit den parallel laufenden Veranstaltungen über Analysis und Numerische Mathematik. Abweichungen von dieser Reihenfolge sollten deshalb mit den Veranstaltern dieser Kurse abgestimmt werden.

Nicht alle Punkte müssen rigoros behandelt werden (Beispiel: Jordansche Normalform).

Durchgehend sollte die Verbindung der Linearen Algebra zur Analytischen Geometrie deutlich werden (Motivation, Veranschaulichung).

Weitere wünschenswerte Inhalte sind Dualräume und Quotientenräume.

Als Vorlesungstext geeignete Lehrbücher sind u.a.:
- G. Fischer: Lineare Algebra (sowie ergänzend: Analytische Geometrie),
Vieweg;
- B. Artmann: Lineare Algebra, Birkhäuser;
- H.-J. Kowalsky, G. O. Michler: Lineare Algebra, de Gruyter;
- M. Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer.

Numerische Mathematik

Die Lehrveranstaltung ,,Numerische Mathematik`` befasst sich mit grundlegenden numerischen Problemen, die eng an die Inhalte von ,,Analysis I,II`` sowie von ,,Lineare Algebra und Analytische Geometrie I,II`` angelehnt sind. Gegenstand der Veranstaltung sind numerische Algorithmen, die mit Hilfe einer höheren Programmiersprache auf einem Computer implementiert werden.

2. Semester

• Zahlendarstellung auf dem Rechner: Gleitpunktdarstellung, Rundungsfehler, Maschinenzahlen, Maschinengenauigkeit, Auslöschung.
• Polynom- und Splineinterpolation: Interpolationsaufgabe, Lösbarkeit, Darstellung des Interpolationspolynoms (Lagrange, Newton), Interpolationsfehler, Tschebyscheff-Knoten, kubische Splines.
• Numerische Integration: Newton-Cotes-Formeln (Trapezregel, Simpsonregel), zusammengesetzte Formeln, Fehlerabschätzung, Gauß-Formeln und orthogonale Polynome.
• Lineare Gleichungssysteme: Gauß'sches Eliminationsverfahren, LR-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung, Pivotstrategien.

3. Semester

• Lineare Optimierung: Modellaufgaben, Formulierung einer Standardaufgabe, Basislösungen, Simplexverfahren.
• Ausgleichsprobleme: Polynomausgleich (u.a. lineare Regression) und überbestimmte lineare Gleichungssysteme, Normalgleichungen, Orthogonalisierungsmethoden (QR-Zerlegung).
• Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme, Iterationsverfahren: Einführung von Iterationsverfahren über Linearisierung (Newton-Verfahren), lokale Konvergenz, Kontraktionsprinzipien als theoretisches Mittel zur Konvergenzanalyse, quadratische Konvergenz, Iterationsverfahren bei linearen Gleichungssystemen (Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren) und ihre Konvergenzanalyse über das Spektrum.
• Eigenwertaufgaben: v. Mises-Verfahren, inverse Iteration, QR-Verfahren in den algorithmischen Ansätzen.

Die Semesterunterteilung (und zum Teil auch die Reihenfolge der Punkte) bezieht sich auf den zweisemestrigen Kurs für die Diplom-Studiengänge Mathematik und Technomathematik; für die Studiengänge Wirtschaftsmathematik und Lehramt Oberstufen wird jeweils im Sommersemester ein einsemestriger Kurs mit im wesentlichen gleichen Inhalten angeboten.

Grundkenntnisse einer höheren Programmiersprache werden vorausgesetzt (oder ausnahmsweise nach vorheriger Ankündigung in der Veranstaltung mitbehandelt); für den einsemestrigen Kurs ist der vorherige Besuch eines Programmierkurses in jedem Fall obligatorisch.

Optional sind noch die folgenden Themen denkbar: Dualität bei Optimierungsaufgaben, Bézier-Kurven, Fast Fourier Transformation (FFT) und trigonometrische Interpolation, -Approximation von Funktionen und orthogonale Polynome, Singulärwertzerlegung, SOR-Verfahren, Verfahren der konjugierten Gradienten.

Als Vorlesungstext geeignete Lehrbücher sind u.a.:
- G. Opfer: Numerische Mathematik für Anfänger, Vieweg;
- J. Werner: Numerische Mathematik 1, 2, Vieweg;
- P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, de Gruyter.

Mathematische Stochastik

• Der Wahrscheinlichkeitsraum: Allgemeines Modell, Rechenregeln für Maßräume, diskrete W-Räume und Zufallsvariable, erste Beispiele statistischer Schlußweise.
• Mehrstufige diskrete Modelle: Koppelung, Produktmodelle, erste Beispiele für Markov-Ketten, stochastisch unabhängige diskrete Zufallsvariable, elementare bedingte Wahrscheinlichkeit.
• Grundlegende Modelle diskreter Zufallsexperimente: Bernoulli(p) Verteilung, Bernoullisches schwaches Gesetz der großen Zahlen, Binomialverteilung, Konfidenzintervall und Test für p, Satz von de Moivre-Laplace, Poisson Experimente und Maximum Likelihood Schätzung, Multinomialverteilung, hypergeometrische Verteilung, geometrische Verteilung, diskrete Erwartungswerte und Streuung.
• Zufallsexperimente über und : Borel - Algebra, Verteilungsfunktion, Konstruktion von W-Maßen über , W-Maße mit Riemann-Dichten, Erwartungswert, Streuung, Kovarianz, mehrdimensionale Normalverteilung, Erzeugung von Zufallszahlen.
• Koppelung allgemeiner Zufallsexperimente: Messbare Funktionen und Maßintegral, Erwartungswerte, bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit, Satz von Fubini, Transformationssatz für Lebesgue-Dichten, schwaches Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz.

Anmerkungen:

Als Vorlesungstext geeignete Lehrbücher sind u.a.:
- K. Behnen und G. Neuhaus:Grundkurs Stochastik, Teubner;
- K. Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer;
- D. Plachky, L. Baringhaus, N. Schmitz: Stochastik I, D.Plachky: Stochastik
II, Akademische Verlagsgesellschaft.

3.3.2003