Partielle Differentialgleichungen II
(Vorlesung im SoSe 2019)

Dozenten: Thomas Schmidt (Vorlesung, Übung).

Vorlesungtermine (erste Vorlesung am 02. April):

• Di, 8-10, H5 und Do, 12-14, H3

Übungsgruppen (erste Übung am 10. April):

• Mi, 10-12, Raum 142, NN

Relevanz und Hörerschaft: Es handelt sich um eine Vorlesung des Wahl(pflicht)bereichs in allen Master-Studiengängen der Mathematik (M.Sc. Mathematics, M.Sc. Mathematical Physics, M.Sc. Technomathemtik, M.Sc. Wirtschaftsmathematik). Interessierte Hörer aus anderen Studiengängen sind selbstverständlich willkommen.

Vorkenntnisse: Die Vorlesung baut auf den Grundvorlesungen zur Analysis und linearen Algebra auf. Grundkenntnisse zur Lebesgue-Integration (z.B. aus der höheren Analysis oder der mathematischen Stochastik) werden ebenfalls vorausgesetzt. Etwas Erfahrung mit entweder PDGen oder Analysis im Allgemeinen wird empfohlen, muss aber nicht unbedingt alle Themen der Vorgängervorlesung zu PDGen abdecken.

Leistungspunkte: Die Vorlesung und die zugehörigen Übungen bilden ein Modul im Wert von 12 ECTS.

Vorlesungsinhalte: Tendenziell ist an die Behandlung folgender Themenkreise gedacht:

• Maximumprinzipien für elliptische Differentialoperatoren (Maximumprinzipien und -abschätzungen, Hopfsches Randpunktlemma, Varianten für nicht-lineare Gleichungen),
• schwache Differenzierbarkeit (Definition und Charakterisierung schwacher Ableitungen, Beispiele, Rechenregeln),
• Sobolev-Räume (Definition, funktionalanalytische Eigenschaften, Satz von Meyers-Serrin, Sobolev-Einbettungen, Poincaré-Ungleichungen, Satz von Rellich),
• L²-Lösungstheorie linearer elliptischer PDG-Systeme (abstrakte Beschreibung von Randwertproblemen, Koerzivität, Lemma von Lax-Milgram, L²-Existenztheorie),
• Regularitätstheorie für lineare elliptische PDGen und PDG-Systeme (ausgewählte Themen, je nach zeitlicher Möglichkeit).

Literatur: Bekannte Bücher (von unterschiedlichem Niveau und Umfang) sind:

• R.A. Adams, J.J.F. Fournier, Sobolev Spaces, Elsevier, 2003,
• D.R. Adams, L.I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, 1996,
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998,
• L.C. Evans, R.F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, 2015,
• D. Gilbarg, N.E. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001,
• E. Giusti, Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific, 2003,
• J. Jost, Partial Differential Equations, Springer, 2013,
• G. Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, American Mathematical Society, 2009,
• V. Maz'ya, Sobolev Spaces, Springer, 2011,
• J. Rauch, Partial Differential Equations, Springer, 1991,
• F. Sauvigny, Partial Differential Equations (2 Bände), Springer, 2012,
• E.M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970,
• M.E. Taylor, Partial Differential Equations (3 Bände), Springer, 1996,
• W.P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions, Springer, 1989.