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Vorlesung "Analysis 1", Wintersemester 2011/12
Vorlesungsinhalte
| 19.10. |
Eigenschaften der reellen Zahlen: Addition, Multiplikation, Anordnung, einfache Eigenschaften davon, Betrag, Ungleichungen zwischen den verschiedenen Mitteln bei n-Tupeln positiver Zahlen |
| 21.10. |
Wurzeln natürlicher Zahlen sind natürliche Zahlen oder nicht rational, Dedekindsches Schnittaxiom, Existenz von Wurzeln reeller Zahlen als Folgerung daraus, Existenz von Supremum und Infimum beschränkter Mengen, Anwendung: Definition reeller Potenzen positiver Zahlen |
| 26.10. |
Schlußbemerkungen zu den reellen Zahlen, Äquivalenz von Schnittaxiom und Existenz des Supremums. Komplexe Zahlen: Rechenregeln, i, konjugierte Zahl, Absolutbetrag mit Eigenschaften |
| 28.10. |
Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen, Koordinatenräume R^n und C^n, Skalarprodukt und Norm mit Eigenschaften. Metrische Räume: Definition und erste Beispiele |
| 02.11. |
Metrik auf Produkten von metrischen Räumen, offene Bälle, innere Punkte einer Teilmenge, das Innere von Q und R\Q in R ist leer, Definition einer offenen Menge, offene Bälle sind offen |
| 04.11. |
die Topologie eines metrischen Raumes (mit Eigenschaften), offene Teilmengen von Teilräumen sind Schnitte offener Mengen mit dem Teilraum, Beispiele, abgeschlossene Hülle, elementare Eigenschaften und Charakterisierung, abgeschlossene Mengen und ihre Eigenschaften. Definition der Konvergenz in metrischen Räumen, Eindeutigkeit des Grenzwertes
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| 09.11. |
beschränkte Teilmengen, konvergente Folgen als Beispiel, Teilfolgen, Teilfolgen konvergenter Folgen konvergieren gegen denselben Grenzwert, Konvergenz in Produkten, Beispiele für Grenzwerte, Rechenregeln für Grenzwerte |
| 11.11. |
bestimmte Divergenz für Folgen reeller Zahlen, Satz von Bolzano und Weierstraß (beschränkte Folgen in R haben konvergente Teilfolgen), monotone beschränkte Folgen in R konvergieren, Definitionen von liminf und limsup, Realisierung als Grenzwerte von Teilfolgen |
| 16.11. |
reelle Folgen konvergieren genau dann wenn liminf=limsup. Die Eulersche Zahl als Grenzwert, Irrationalität von e. Eigenschaften metrischer Räume: Zusammenhang |
| 18.11. |
zusammenhängende Teilmengen von R, Beispiele von zusammenhängenden Mengen in R^2, Vollständigkeit: Cauchy-Bedingung, R ist vollständig, Produkte vollständiger Räume sind vollständig, abgeschlossene Teilmengen sind vollständig in der induzierten Metrik |
| 23.11. |
Satz von Cantor für vollständige Räume, Beispiele und Gegenbeispiele, Intervallschachtelungen, Intervalle in R sind nicht abzählbar, dichte Mengen, Satz von Baire |
| 25.11. |
Banach'scher Fixpunksatz, Beispiele. Kompakte metrische Räume, kompakte Teilmengen sind beschränkt und abgeschlossen, Produkte kompakter Räume sind kompakt, abgeschlossene und beschränkte Teilmengen in R sind kompakt, kompakte Räume sind vollständig |
| 30.11. |
Satz von Cantor für kompakte Räume, Konstruktion der Cantor-Menge als Beispiel, offene Überdeckungen, Satz von Borel und Lebesgue (Kompaktheit ist äquivalent zur Möglichkeit, aus jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung auszuwählen) |
| 02.12. |
Reihen als Folgen von Partialsummen, Cauchy-Kriterium, Glieder konvergenter Reihen bilden Nullfolgen, Summen konvergenter Reihen sind konvergent, absolute Konvergenz. Konvergenzkriterien: Majorantenkriterium, Wurzelkriterium, Abel-Dirichlet-Kriterium, Beispiele dazu |
| 07.12. |
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen, d'Alemberts Quotientenkriterium. Bedingte und unbedingte Konvergenz, absolute Reihen sind stark unbedingt konvergent, Riemanns Umordnungssatz |
| 09.12. |
Äquivalenz von absoluter und unbedingter Konvergenz, Cauchy-Produkt
von Reihen, Konvergenz des Cauchy-Produkts, die Exponentialfunktion |
| 14.12. |
Eigenschaften der Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus, komplexe Potenzen positiver reeller Zahlen. Stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen, Beispiele, Epsilon-Delta-Charakterisierung der Stetigkeit, Häufungspunkte einer Teilmenge |
| 16.12. |
Grenzwert einer Abbildung in einem Häufungspunkt des Definitionsbereichs, Beispiele, Grenzwerte im Unendlichen, einseitige Grenzwerte. Charakterisierung stetiger Abbildungen über Urbilder offener Mengen, Verknüpfung stetiger Abbildungen ist stetig, stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt, Satz von Weierstraß (stetige Funktion auf kompaktem Raum nimmt Minimum und Maximum an), Satz von Heine (Stetigkeit auf kompakten Räumen impliziert gleichmäßige Stetigkeit), stetige Bilder zusammenhängender Räume sind zusammenhängend |
| 21.12. |
Zwischenwertsatz von Darboux, Homöomorphismen. Folgen stetiger Abbildungen, punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz impliziert Stetigkeit der Grenzabbildung, Satz von Dini (monotone und beschränkte Konvergenz ist gleichmäßig), die Räume B(X,Y) und C(X,Y)
und ihre Eigenschaften |
| 23.12. |
Funktionenreihen, die Riemannsche Zeta-Funktion, unendliche Produkte, Produktdarstellung der Zeta-Funktion |
| 11.01. |
Potenzreihen, Konvergenzkriterium, Konvergenzkreis, Konvergenzradius und seine Berechnung, Beispiele. Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus, elementare Eigenschaften, die Zahl Pi |
| 13.01. |
Eigenschaften von Sinus und Kosinus als Funktionen auf R, Parametrisierung von S^1 mit Hilfe der Exponentialfunktion, Polarkoordinaten in R^2, Einheitswurzeln, Fundamentalsatz der Algebra, Tangens und Kotangens, Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen |
| 18.01. |
Differentialrechnung in einer Variablen: Kurven in R^n und C^n, Differenzierbarkeit, geometrische Interpretation im reellen Fall, differenzierbare Funktionen sind stetig, Rechenregeln für Ableitungen, Kettenregel |
| 20.01. |
Ableitung der Umkehrfunktion, Ableitung von Potenzreihen, Beispiele, mehrfache Differenzierbarkeit, analytische Funktionen, Hauptunterschied zwischen reeller und komplexer Analysis |
| 25.01. |
Ableitung in lokalen Extrempunkten differenzierbarer Funktionen verschwindet, Satz von Rolle, allgemeiner Mittelwertsatz, klassischer Mittelwertsatz, Wachstumsverhalten und Vorzeichen der ersten Ableitung, Mittelwertsatz für Kurven, Regel von L'Hospital, Beispiele |
| 27.01. |
Differentiation von Funktionenfolgen: Beispiele von gleichmäßig konvergierenden Folgen und Reihen von differenzierbaren Funktionen, in denen die Ableitungen nicht konvergieren bzw. die Grenzfunktion nirgends differenzierbar ist, hinreichende Bedingungen für die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion |
| 01.02. |
Differentiation von Funktionenreihen, Beispiel, Taylor-Entwicklung mit Restgliedern in Cauchy- und Lagrange-Form, Taylor-Reihen, Beispiele |
| 03.02. |
Der Approximationssatz von Stone-Weierstraß: allgemeine Version, klassische Version, komplexe Version, Version für periodische Funktionen |
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