Vorlesung Diophantische Approximation
Termine:
Vorlesung: Dienstags 10:15-11:45 Uhr, Geom H6
Übung: Dienstags 12:00-12:45 Uhr, Geom 430
Sprechstunde: nach Vereinbarung, Geom 335
Übungen:
Die Übungsblätter werden Dienstags hier veröffentlicht
und sind in der folgenden Woche abzugeben.
Kommentare/ Inhalte:
Siehe die ausführliche Beschreibung der
Vorlesungsinhalte.
Siehe auch die
Stine-Seite der Veranstaltung.
Einen guten Überblick liefern auch die englischsprachigen Wikipediaseiten zur Diophantischen
Approximation sowie zur Transzendenztheorie.
Die klassische diophantische Approximation, die im ersten Teil der
Veranstaltung behandelt wird, ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie und beschäftigt sich mit der Frage, wie gut sich reelle Zahlen durch rationale
Zahlen approximieren lassen.
Im zweiten Teil der Veranstaltung werden wir uns mit der Transzendenztheorie beschäftigen. Hier interessiert man sich dafür, ob eine gegebene
reelle Zahl algebraisch ist, also eine Nullstelle eines Polynoms mit
rationalen
Koeffizienten in einer Variablen. Wir werden verschiedene Techniken aus
der Transzendenztheorie kennenlernen und z.B. beweisen dass die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π nicht algebraisch sind. Aus der
zweiten
Aussage folgt u.a. die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises.
Diese Veranstaltung lässt sich besonders vorteilhaft mit der Vorlesung
Einführung in die algebraische Zahlentheorie bei Herrn Kleinert kombinieren.
Lernziele:
(i) Klassische Approximationsresultate: Satz von Dirichlet, Satz von Kronecker, Kettenbruchentwicklung reeller Zahlen, Satz von Liouville, Satz
von Thue.
(ii) Transzendenzresultate: Satz von Hermite (e nicht algebraisch), Satz
von Lindemann-Weierstraß (⇒ u.a. π nicht algebraisch),
Linearformen
in Logarithmen (evtl.)
(iii) Anwendungen: Thue-Gleichungen, Pellsche Gleichungen
Diese Veranstaltung kann als Vorbereitung auf eine Abschlussarbeit in der
Zahlentheorie dienen.
In diesem Fall empfiehlt sich auch ein Besuch der Vorlesung
Einführung in die algebraische Zahlentheorie bei Herrn Kleinert
sowie des Seminars
Arithmetische Geometrie und Zahlentheorie bei Herrn Kühn.
Vorkenntnisse:
Diese Veranstaltung richtet sich an Masterstudierende sowie Bachelorstudierende ab
dem 5. Semester, die Algebra 1 gehört haben. Zahlentheoretische
Vorkenntnisse sind nicht erforderlich.
Literatur:
Alan Baker. Transcendental number theory. Cambridge Mathematical Library.
Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 1990.
Jan Hendrik Evertse. Diophantine
approximation, Vorlesungsskript, Universiteit Leiden, 2012.
Serge Lang. Introduction to Diophantine approximations. Springer-Verlag,
New
York, second edition, 1995.
Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation, volume 785 of Lecture
Notes
in Mathematics. Springer, Berlin, 1980.
Jörn Steuding. Diophantine analysis. Chapman & Hall/CRC, Boca
Raton, FL, 2005.
Jürgen Wolfart.
Diophantische Approximation,
Vorlesungsskript, Unviersität Frankfurt, 2013.
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