a) Die Potenzmenge von  A = {1,3,4} hat acht Elemente

  b) Wenn A eine Teilmenge von B ist, ist jede Teilmenge von A ein Element der Potenzmenge von B

  c) Wenn der Durchschnitt zweier Mengen leer ist, ist die Vereinigung dieser Mengen gleichzeitig die Potenzmenge des Durchschnitts

  d) Die leere Menge ist ein Element ihrer Potenzmenge
 

Wieviele Elemente muss eine Menge  B  haben, damit es genau  16  injektive Abbildungen von  A  nach  B  gibt?

Entweder die richtige Zahl bei a) eintragen oder b) anklicken:

  a)    B  muss    Elemente haben

  b)     B  kann es nicht geben

Wenn es zu endlichen Mengen  A  und  B  mindestens eine injektive und mindestens eine surjektive Abbildung von  A  nach  B  gibt, müssen  A  und  B  gleichmächtig sein  (also muss   | A | = | B |  gelten).

Wahr        Falsch  

Zwei Folgen können den gleichen Grenzwert haben, obwohl jedes Glied der einen Folge kleiner als jedes Glied der anderen Folge ist

Wahr        Falsch  

  a) Streng monoton wachsende Funktionen sind stets injektiv

  b) Streng monoton wachsende Funktionen sind stets surjektiv

  c) Stetige Funktionen können differenzierbar sein

  d) Stetige Funktionen müssen differenzierbar sein

Mit  IN  bzw.  Z  bzw.  Q  bzw.  IR  sei die Menge der natürlichen bzw. ganzen bzw. rationalen bzw. reellen Zahlen gemeint:

  a)   ( Z, - )  ist eine nichtkommutative Gruppe

  b)   ( Q, + )  und   ( IR , + )  sind isomorphe Gruppen

  c)   ( IN, + )  ist eine Untergruppe von  ( IR , + )

  d)   ( IR, # )  mit  x # y := x + y - 2  hat das neutrale Element 2

  a)   Die Abbildung  f  mit  f ( ( x , y ) ) = x + y  ist linear

  b)   Die Abbildung  g  mit  g ( ( x , y ) ) = x · y  ist linear

  c)   Es gibt keine injektive lineare Abbildung von  IR ²  nach  IR

 d)   Jede lineare Abbildung von  IR ²  nach  IR  ist surjektiv

Das Ergebnis ist: 
 

Es gibt affine Ebenen mit windschiefen Geraden

(Windschiefe Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und sind trotzdem nicht parallel)

Wahr        Falsch  

Richtig sind a), b) und d):

a) Die Potenzmenge einer  n  - elementigen Menge hat  2ⁿ  viele Elemente, wegen  A = {1,3,4}  hat ihre Potenzmenge  2³ = 8  Elemente.

b) Wenn A eine Teilmenge von B ist, ist jede Teilmenge von A ein Element der Potenzmenge von B:
  Jede Teilmenge von  A  ist auch Teilmenge von  B . Und jede Teilmenge von  B  ist ein Element ihrer Potenzmenge, also ist die Behauptung richtig.

c) Wenn der Durchschnitt zweier Mengen leer ist, ist die Vereinigung dieser Mengen gleichzeitig die Potenzmenge des Durchschnitts:
  Diese Behauptung ist völlig daneben: Die Potenzmenge der leeren Menge ist immer eine einelementige Menge (welche?), während die Vereinigungsmenge beliebig kompliziert sein kann.

d) Die leere Menge ist ein Element ihrer Potenzmenge:
  Dies ist richtig, denn die leere Menge ist Element jeder Potenzmenge

Richtig sind a) und c):

a) Streng monoton wachsende Funktionen sind immer injektiv, Beweisidee: Verschiedene Zahlen  a < b  haben stets verschiedene Bilder  f (a) < f (b ) .

b) Streng monoton wachsende Funktionen müssen nicht surjektiv sein, ein Gegenbeispiel liefert uns die Exponentialfunktion  e^x  als Funktion von  IR  nach  IR : Sie wächst streng monoton, aber nur positive Zahlen haben ein Urbild.

c) Stetige Funktionen können differenzierbar sein, beispielsweise ist die Identität stetig und differenzierbar.

d) Stetige Funktionen müssen nicht differenzierbar sein, beispielsweise ist die Betragsfunktion stetig und nicht differenzierbar.

Kreuz bei b): So eine Menge  B  kann es nicht geben.
 

Injektive Abbildungen von  A  nach  B  sind nur möglich, wenn  B  mindestens so viele Elemente besitzt wie  A . Für  | B | = m  und  | A | = 2  gibt es insgesamt  m (m-1) injektive Abbildungen. ( m  Möglichkeiten für das erste, m-1 Möglichkeiten für das zweite Element von  A) .

Die Gleichung  m(m-1) = 16   ist aber für keine natürliche Zahl  m  lösbar, also muss b) angekreuzt werden.

Die gesuchte Zahl ist 0:
 

Die Determinante von     kann mit Hilfe von Sarrus (Jägerzaunregel) berechnet werden:

1 · 3 · 7  +  2 · 4 · 3  +  3 · 2 · 5  −  3 · 3 · 3  −  1 · 4 · 5  −   2 · 2 · 7  =  0

( Oder man sieht, dass die Zeilen der Matrix linear abhängig sind: Zeile 3 ist die Summe der anderen Zeilen, also ist die Determinante 0.)

Wahr:
 

Die Folgen     −1, −1/2, −1/3, −1/4, ...   und   1, 1/2, 1/3, 1/4, ...   konvergieren beide gegen 0.

Jedes Glied der ersten Folge ist negativ und damit kleiner als jedes (positive) Glied der zweiten Folge.

Kreuze bei a) und c):
 

Wir überprüfen in a) und b) die Linearität:

 a)  f ( ( x , y )  +  ( u , v ) )  =  f ( ( x+u , y+v ) )  =  (x+u) + (y+v)  =  (x+y) + (u+v)  =  f ( (x,y) ) + f ( (u,v) )
      f ( α ( x , y) )  =  f ( ( α x ,α y) )  =  α x + α y  =  α (x+y)  =  α f ( (x,y) )
     gilt für alle Skalare und Vektoren, also ist  f  linear.

 b)  g ( 2 (1,1) )  =  g ( (2,2) ) =  2 · 2  =  4 ,  aber   2 g ( (1,1) )  =  2 · (1 · 1 ) = 2 ,  daher ist  g  nicht linear.

 c)  Es kann aus Dimensionsgründen keine injektive Abbildung geben: In unserem Fall liefert die Dimensionsformel für lineare Abbildungen
                2 = dim Kern + dim Bild
     Da die Dimension des Bildes maximal 1 sein kann, ist die Dimension des Kerns auf jeden Fall größer als 0.
     Der Kern besteht nicht nur aus dem Nullvektor; die lineare Abbildung kann nicht injektiv sein.

 d)  Falsch, beispielsweise ist die Abbildung, die jeden Vektor auf 0 abbildet, linear, aber nicht surjektiv.

Der gesuchte Buchstabe ist x:
 

Wir vervollständigen die Gruppentafel:

1.  Wegen  u * y = y  ist  u  das neutrale Element, damit ergeben sich die blauen Verknüpfungen.

2.  Da in jeder Zeile und Spalte jedes Element nur einmal vorkommen darf, ist  x * y = u  und  x * z = y

3.  Jetzt folgt analog (bzw. weil jede Gruppe mit vier Elementen kommutativ ist)  y * x = u

4.  Schließlich noch einmal Argument 2. ergibt die Lösung  y * z  =  x
 

Falsch:
 

Dies folgt direkt aus der Definition von parallel in affinen Ebenen:

Zwei Geraden heißen parallel, falls sie gleich sind oder ihr Durchschnitt leer ist.

Damit sind Geraden ohne gemeinsame Punkte per definitionem parallel.

Nur d) ist richtig:
 

a)   ( Z , − ) : Die Verknüpfung ist zwar nicht kommutativ, aber es ist  keine  Gruppe (nicht assoziativ).

b)   ( Q , + )  und  ( IR , + )  sind  nicht  isomorph; es gibt keine Bijektion zwischen der abzählbaren Menge  Q  und der überabzählbaren Menge  IR .

c)   ( IN , + )  ist   keine  Gruppe (fehlende Inverse) und deshalb keine Untergruppe (egal wovon).

d)   ( IR , # )  hat  2  als neutrales Element, denn es gilt  x # 2  =  x + 2 − 2  =  x  =  2 + x − 2  =  2 # x  für jedes  x .

Wahr:
 

Injektive Abbildungen von  A  nach  B  sind nur möglich, wenn  B  mindestens so viele Elemente besitzt wie  A .
(Sonst müssen zwei Elemente von  A  das gleiche Bild haben).

Surjektive Abbildungen von  A  nach  B  sind nur möglich, wenn  B  höchstens so viele Elemente besitzt wie  A .
(Sonst kann nicht jedes Element von  B  ein Urbild haben).

Also gilt für endliche Mengen  | A | = | B | .