Wieviele Elemente gehören zur Menge  M₂ × M₃ ?

Bitte hier die richtigen Zahl angeben:  

Es geht um  Binomialkoeffizienten.

Was trifft zu?

  Hier ankreuzen:     a):      b):      c):      d): 

Die Menge der irrationalen Zahlen ist abzählbar

Wahr        Falsch  

Welche der folgenden Behauptungen über beschränkte Folgen treffen zu?

     a)   Sie sind immer konvergent

     b)   Sie haben stets mindestens einen Häufungspunkt

     c)   Sie können nicht streng monoton sein

Kann eine Folge mehr Häufungspunkte als Teilfolgen haben?

Bitte die richtige Antwort ankreuzen :

     a)   Nein, dies kann man leicht beweisen

     b)   Nein, aber der Beweis ist ziemlich kompliziert

     c)   Diese Frage ist noch ungelöst (Stand: März 2006)

     d)   Ja
 

Es gibt Folgen mit überabzählbar vielen verschiedenen Teilfolgen

Wahr        Falsch  

Die Funktion  f  sei gegeben durch  f (x) = x + 2  für  x < 0  und  f (x) = x  für x ≥ 0 .

Ferner sei  g (x) = f ( f (x))  (Verkettung von Funktionen)

Was stimmt?

     a)   f  ist surjektiv

     b)   g (-2) = g (0)

     c)   Es gibt reelle Zahlen, die unter  g  drei verschiedene Urbilder haben

     d)   g o  f  =  f o  g 

Wir beschäftigen uns mit der Gruppe der von Null verschiedenen komplexen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfumg.

Was stimmt?

     a)   Diese Gruppe ist kommutativ

     b)   Das inverse Element von  i  ist   - i

     c)   Das inverse Element von  1 + i  ist   1 - i

     d)   Es gibt keine Zahl  z  mit  z ² = - 4

Nun zum Vektorraum  IR³ und den Vektoren  e₁ = (1,0,0 )  und  e₂ = (0,1,0 ).

Was stimmt?  Diese Vektoren kann man

     a)   nicht

     b)   auf genau eine Weise

     c)   auf überabzählbar viele Weisen

     d)   mit jedem Vektor

zu einer Basis ergänzen.

Zum Abschluss soll noch folgende Determinante bestimmt werden:

  =  

Die Anzahl der Elemente des kartesischen Produkts  M₂ × M₃  ist gleich dem Produkt der Elementeanzahl von  M₂  und  M₃ , also

        | M₂ × M₃ |   =   | M₂ |  ·  | M₃ | = 2 ²  · 3 ²  =  36

a) ist richtig:

Zu jedem Häufungspunkt einer Folge gehört mindestens eine Teilfolge mit diesem Häufungspunkt als Grenzwert.

Da keine Folge zwei Grenzwerte haben kann, müssen zu verschiedenen Häufungspunkten auch verschiedene Teilfolgen gehören.

Damit ist auf einfache Weise bewiesen, dass keine Folge mehr Häufungspunkte als Teilfolgen haben kann.

Richtig sind a), b), d):

Wir erinnern uns (hoffentlich) an die Definition: 

a) Richtig:  k = n - 1  in die Definition einsetzen und (richtig) kürzen!

b) Richtig, denn der Binomialkoeffizient ist immer eine natürliche Zahl - auch wenn man dies nicht direkt aus der Definition erkennt (Stichwort und Hinweis: Pascalsches Dreieck)

c) Falsch, siehe b)

d) Richtig: Kann mit der binomischen Formel   ( a + b )²   =   ...   bewiesen werden, man muss für  a  und  b  jeweils 1 einsetzen.

Kreuz bei c):

Da  e₁= (1,0,0)  und  e₂= (0,1,0 )  linear unabhängig sind, kann man sie nach dem Basisergänzungssatz zu einer Basis ergänzen, also ist a) falsch.

Jeder Vektor  ( x, y, r ) , wobei  r  eine beliebige von Null verschiedene reelle Zahl ist, kann zur Ergänzung benutzt werden, also ist b) falsch und c) richtig.

d) ist falsch: Die drei Vektoren  e₁, e₂  und  e₁ + e₂  bilden keine Basis.

b) ist richtig:

a) Falsch, die Folge   1, -1, 1 -1, 1, -1, ...  ist beschränkt, aber nicht konvergent.

b) Richtig, das passende Stichwort lautet  Satz von Bolzano - Weierstrass .

c) Falsch, die Folge   1, 1/2, 1/3, 1/4, ...  ist beschränkt und streng monoton.

Kreuze bei a) und b):

a) Richtig, kann man elementar nachrechnen:

      ( a + b i ) ( c + d i ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i = ( ca - db ) + ( cb + da ) i = ( c + d i ) ( a + b i )

b) Richtig, denn  i ( -i ) =  - i ² =  - (-1) = 1 ,  dies ist das neutrale Element der Multiplikation

c) Falsch, denn  ( 1+ i ) (1 - i )  =  1 - i ²  =  2   und nicht  1 .

d) Falsch, denn für  z =  2 i  gilt   z ² =  - 4

Kreuze überall:

a) Die Abbildung ist surjektiv, da jede reelle Zahl mindestens ein Urbild hat:
     Ist  r  negativ, so ist die negative Zahl  r - 2  ein Urbild:  f ( r - 2 ) =  r - 2 + 2 = r 
     Ist  r  nicht negativ, so ist  r  ein Urbild:  f ( r ) =  r 

b) Einfaches Einsetzen ergibt  g (- 2) = f ( f (- 2 )) = f ( 0 ) = f ( f ( 0 )) = g ( 0 )

c) Nachrechnen ergibt g (- 3) = g (- 1) = g ( 1 ) = 1

d)  g o f  =  ( f o  f ) o f  =  f o ( f o  f )  =  f o g   (Verkettung ist grundsätzlich assoziativ!)

Wahr:

Die Cantorfolge (Abzählung der rationalen Zahlen) hat jede reelle Zahl als Häufungspunkt (und davon gibt es überabzählbar viele).

Weil jeder Häufungspunkt Grenzwert einer Teilfolge ist (siehe auch Frage 5), gibt es überabzählbar viele Teilfolgen.

Falsch:

Bekanntlich (hoffentlich!) ist die Menge der rationalen Zahlen  Q  abzählbar und die Menge der reellen Zahlen  IR  überabzählbar.

Wäre  IR  ohne  Q  abzählbar, müsste  IR  als Vereinigung zweier abzählbarer Mengen ebenfalls abzählbar sein, ein Widerspruch.