gegeben. Man kreuze die jeweils gültigen Eigenschaften an:
 

Auf { a,b,c } gibt es mehr Ordnungs- als Äquivalenzrelationen
 

  a)   Jede Relation erfüllt genau eine dieser beiden Bedingungen
  b)   Jede Relation kann höchstens eine der beiden Bedingungen erfüllen
  c)   Jede Relation erfüllt mindestens eine der beiden Bedingungen
  d)   Bei a), b) oder c) darf kein Kreuz gemacht werden

Warum ist die auf  Z ×Z  definierte Relation

reflexiv?

  a)   Weil  a = a  für jede ganze Zahl gilt
  b)   Weil für jede ganze Zahl (a,a) zur Relation gehört
  c)   Weil alle Zahlenpaare (a,b) zu sich selbst in Relation stehen
  d)   Diese Relation ist nicht reflexiv

Wir untersuchen die auf  Z ×Z  definierte Relation

Bitte die richtigen Eigenschaften ankreuzen: Die Relation ist

  a)   reflexiv
  b)   symmetrisch
  c)   transitiv
  d)   antisymmetrisch

Auf  IR  sei folgende Relation  R  erklärt:

Was gilt?

  a)   R   ist eine Äquivalenzrelation
  b)   R   ist eine Ordnungsrelation
  c)   R   ist weder das Eine noch das Andere

Beispielsweise ist 3~7, denn 3+3·7 = 6·4
Welche der folgenden Behauptungen zur Symmetrie stimmen?

  a)    R  ist symmetrisch, weil a +3b = 3b +a  ist
  b)    R  ist symmetrisch, weil b +3a ein Vielfaches von 4 ist, wenn a +3b ein Vielfaches von 4 ist
  c)    R  ist nicht symmetrisch

ist eine Äquivalenzrelation. (Der Nachweis von reflexiv und transitiv ist einfach und sei als Übung empfohlen!)
Aus wievielen Klassen besteht die zugehörige Partition? (Entweder die richtige endliche Zahl oder  u  für unendlich eintragen)

Dies ist richtig:  3a + b = 3a + 9b - 8b = 3·( a + 3b) - 8b = 3·n · 4 - 8b = ( 3n - 2b) · 4 . Damit ist b) richtig.

zu a):  Die Behauptung  a +3b = 3b + a  ist zweifelsfrei richtig, hilft aber nicht weiter.

zu c):   ist falsch. 

Die Gleichheitsrelation  R₁= {(a,a), (b,b),(c,c)} ist Ordnungs- und Äquivalenzrelation. Aus jeder der Äquivalenzrelationen R₃, R₄, R₅ kann man je zwei Ordnungsrelationen erhalten:

R₃ = {(a,a), (b,b),(c,c), (a,b), (b,a)} enthält die Ordnungsrelationen R₃₁ = {(a,a), (b,b),(c,c), (a,b)} und  R₃₂ = {(a,a), (b,b),(c,c), (b,a)} , usw.

Damit kennen wir bereits sieben Ordnungsrelationen (es existieren noch weitere), es gibt aber nur fünf Äquivalenzrelationen.

Die Mengen der negativen reellen Zahlen IR ^-, die Menge der positiven Zahlen  IR ⁺  und die Menge {0} = O bilden eine Partition von  IR. Zu jeder Partition gehört eine Äquivalenzrelationen (und umgekehrt). Die in dieser Frage angegebene Relation ist genau die Äquivalenzrelation, die zu dieser Partition passt.

b) und c) sind falsch, wir geben noch ein Gegenbeispiel zur Antisymmetrie: (1,2) ~ (2,1) und (2,1) ~ (1,2).

b) symmetrisch ist erfüllt: (r,s) ~ (t,u)  ⇒  r + s = t + u  ⇒  t + u = r + s  ⇒  (t,u) ~ (r,s)

c) transitiv ist erfüllt: (r,s) ~ (t,u)  ⇒  r + s = t+u ,  (t,u) ~ (v,w)  ⇒  t + u = v + w .   Weiter folgt r + s = v + w und damit (r,s) ~ (v,w).

d) antisymmetrisch ist nicht erfüllt, ein Gegenbeispiel: (1,4) ~ (3,2), aber auch (3,2) ~ (1,4).

Die gesuchten Klassen sind daher

{ 0, 4, 8, 12, ... } ,        { 1, 5, 9, 13, ... },       { 2, 6, 10, 14, ... } ,         { 3, 7, 11, 15, ... }.

zurück zur Frage            zur Auswertung

Nach der Definition dieser Relation [ ( a,b ) ~ ( c,d )  &hArr  a = c ] ist sie reflexiv, denn für jedes Zahlenpaar ( a,b ) gilt  a = a , also ist ( a,b )~ ( a,b ).
Zu den einzelnen Behauptungen:
a): richtig: Dies ist in Kurzform der Grund, weshalb jedes Zahlenpaar zu sich selbst in Relation steht (hoffentlich nicht aus anderem Grund angekreuzt)
b): falsch in mindestens zweifacher Hinsicht: Zur Relation gehören Zahlenpaare, außerdem müssen auch  Paare mit verschiedenen Zahlen untersucht werden.
c): richtig: Hier steht die vollständige Begründung
d): falsch (ohne Kommentar)

R₃ ={(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)},
R₄ ={(a,a), (b,b), (c,c), (a,c), (c,a)},
R₅ ={(a,a), (b,b), (c,c), (b,c), (c,b)}