a)    Jede Reihe kann auch als Folge aufgefasst werden.

     b)    Eine Reihe konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert  s , wenn die Folge ihrer Partialsummen den Grenzwert  s  besitzt.

     c)    Wenn eine Folge gegen  g  konvergiert, dann konvergiert die zugehörige Reihe gegen  n·g .

     d)    a), b) und c) sind alle falsch.

Wahr       oder   Falsch   ?

Eine Reihe ist konvergent, wenn die zugehörige Folge eine Nullfolge ist

Wahr       oder   Falsch   ?

Eine Reihe ist divergent, wenn die zugehörige Folge keine Nullfolge ist

(rn):   1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... (sn):   1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ± ... (tn):   1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...

Bitte die entsprechenden Eigenschaften ankreuzen:

	(rn)	(sn)	(tn)
alternierend
geometrisch
harmonisch
konvergent

     a)    Die Reihe muss alternieren

     b)-   Die Reihe muss die harmonische Reihe sein

     c)    Die zugehörige Folge muss eine Nullfolge sein

     d)    Die zugehörige Folge muss monoton sein

     e)    Die Beträge der zugehörigen Folge müssen monoton fallen

Hier die falschen Behauptungen ankreuzen:    a)      b)      c)      d)  

Wahr       oder   Falsch   ?

Es gibt Reihen, bei denen das Quotientenkriterium versagt

     a)    Die Konvergenz von  1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...   kann mit dem Quotientenkriterium nachgewiesen werden.

     b)    Bei konvergenten Reihen ist der Grenzwert der Quotientenfolge   ( a_n+1 / a_n )  (wenn vorhanden) gleichzeitig Grenzwert der Reihe.

     c)    Die Divergenz von  1 + 2! + 3! + 4! + ...   kann mit dem Quotientenkriterium nachgewiesen werden.

     d)    a), b) und c) sind alle falsch.

Welche der folgenden Reihen sind divergent?

     a)    ( r_n ) :   2 + 1 + 2/3 + 2/4 + 2/5 + 2/6 + ...

     b)    ( s_n ) :   sin(1)  +  sin(2) / 2²  +  sin(3) / 3³  +  sin(4) / 4⁴  +  ...

     c)    ( t_n ) :   1/5 + 2/6 + 3/7 + 4/8 + 5/9 + 6/10 + ...

Wahr       oder   Falsch   ?

Durch geschicktes Umordnen der Reihenfolge der Glieder der alternierenden harmonischen Reihe kann man erreichen, dass die so gebildete neue Reihe gegen 2 konvergiert.

Zu jeder Folge  ( a_n )  gehört die unendliche Reihe  ( s_n )  mit  s_n := a₁ + a₂ + ... + a_n , man nennt  s_n  die n-te Partialsumme dieser Reihe.

a):  Jede Reihe ist nach obiger Definition die Folge ihrer Partialsummen, also richtig.

b):  So und nicht anders ist die Konvergenz von Reihen definiert.

c):  Falsch, Gegenbeispiel: Die Folge 1, 1, 1, ... konvergiert gegen 1, die zugehörige Reihe 1, 2, 3, 4, ... ist divergent.

Das Leibnizkriterium ist ausschließlich bei alternierenden Reihen anwendbar, es lautet:

Eine alternierende Reihe  ( s_n )  mit  s_n = a₁ + ... + a_n  ist konvergent, wenn  ( |a_n| )  eine monoton fallende Nullfolge ist. (Alternierend bedeutet, dass die Vorzeichen der Glieder  a_n  ständig wechseln)

Damit sind a), c) und e) richtig, b) und d) falsch.

Nicht  jede  Nullfolge führt zu einer konvergenten Reihe!

Das bekannteste Gegenbeispiel geht von der Nullfolge  (1/n)  aus.

Die zugehörige Reihe ist die divergente harmonische Reihe  1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....

Der Nachweis der Divergenz dieser Reihe ist übrigens ein beliebtes Prüfungsthema und in vielen Lehrbüchern oder auch im Skript zu finden.

a)  Divergent, Nachweis mit dem Minorantenkriterium, denn die harmonische Reihe ist eine divergente Minorante.

b)  Konvergent, Nachweis mit dem Majorantenkriterium:
     Wegen  | sin(n) / n ⁿ |  <  1 / n ⁿ   für jede Zahl  n  ist die Reihe  1 + 1 / 2 ² + 1 / 3 ³ + ...  eine konvergente Majorante.

c)  Divergent, denn die zugehörige Folge ist keine Nullfolge.

	(rn)	(sn)	(tn)
alternierend		×
geometrisch			×
harmonisch	×	×
konvergent		×	×

Zur Erklärung ist nicht viel zu sagen:  (r_n)  ist die divergente harmonische Reihe,  (s_n)  die konvergente alternierende harmonische Reihe,  (t_n)  eine geometrische Reihe, die wegen  | q | = | ½ | < 1  konvergent ist.

a)  Für die Quotienten  | a_n+1 / a_n |  dieser Reihe gilt

   | a_n+1 / a_n |  =  [1 / (n+1)!] / [1 / n!]  =  1 / (n+1)  <  1/3  <  1   für alle  n > 3   ⇒   Konvergenz
 

b)  Ein Gegenbeispiel ist die nicht konvergente Reihe  1 + 1 + 1 + 1 + ...   mit konstanter Quotientenfolge.
 

c)  Für alle Quotienten  | a_n+1 / a_n |  dieser Reihe gilt  

   | a_n+1 / a_n |  =  (n+1)! / n!  =  n+1  >  1    ⇒   Divergenz

Beispielsweise lässt sich mit dem Quotientenkriterium weder die Divergenz der harmonischen Reihe noch die Konvergenz der Reihe  1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ....   nachweisen.

Grob gesprochen gilt: Wenn unendlich viele der Quotienten  | a_n+1 / a_n |  "von unten" gegen 1 streben, ist ein Konvergenz- oder Divergenznachweis mit dem Quotientenkriterium nicht möglich. (Warum nicht? - Wer das Kriterium verstanden hat, kennt die Antwort auf diese Frage!)

Der  Riemannsche Umordnungssatz  besagt:

Jede  vorgegebene Zahl kann als Grenzwert einer bedingt konvergenten Reihe durch Umordnung der Glieder erreicht werden.

Bedingt  konvergent bedeutet, dass die Reihe der  Absolutbeträge  der zugehörigen Folge  nicht  konvergent ist – und dieser Fall liegt hier vor.

Nochmal zur Erinnerung: Die  falschen  Behauptungen waren anzukreuzen!
 

a)  Falsch: Es gibt konvergente Reihen, für die die zu untersuchende Quotientenfolge keinen Grenzwert hat, ein Beispiel hierfür liefert die Reihe  a₁ + a₂ + ...  mit  a_n = ( 2 + (-1)ⁿ⁺¹) / 2ⁿ .

b)  Falsch: Die harmonische Reihe ist ein Gegenbeispiel.

c)  Richtig: Hier steht ein Teil des Quotientenkriteriums

d)  Falsch: Zähler und Nenner des Quotientenkriteriums wurden vertauscht.

Dies ist die direkte Konsequenz aus dem (hoffentlich) bekannten Satz

Wenn eine Reihe konvergent ist, muss die zugehörige Folge eine Nullfolge sein.