Reihen

Achtung: Die Erfolgskontrolle wird nicht automatisch durchgeführt, also bitte selbst prüfen, ob die Antworten richtig sind!

Die korrekte Lösung erscheint nach Anklicken der Kontrolle auf dem Bildschirm mit weiteren Informationen. Für jedes Kreuz bzw. für jede Antwort gibt es Punkte, falsche Kreuze bzw. Antworten ergeben Minuspunkte. Wenn man an einer Auswertung interessiert ist, sollte man die erzielten Punkte nach jeder Frage notieren und zusammenzählen. Am Ende des Fragebogens kann man in einer Auswertung eine Gesamtnote für die Bearbeitung des Fragebogens erfahren.

Bei den hier behandelten Reihen handelt es sich stets um reelle Reihen.

Stift und Papier bereit? Dann kann es losgehen, viel Erfolg und Spass bei der Arbeit!

START

Frage 1
Zur Eingewöhnung einige allgemeine Anmerkungen zu Reihen. Welche der folgenden Behauptungen sind korrekt? a) Jede Reihe kann auch als Folge aufgefasst werden. b) Eine Reihe konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert s, wenn die Folge ihrer Partialsummen den Grenzwert s besitzt. c) Wenn eine Folge gegen g konvergiert, dann konvergiert die zugehörige Reihe gegen n·g. d) a), b) und c) sind alle falsch.
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 2
Wahr oder falsch? Eine Reihe ist konvergent, wenn die zugehörige Folge eine Nullfolge ist
Erst ankreuzen: Wahr: Falsch:
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 3
Wahr oder falsch? Eine Reihe ist divergent, wenn die zugehörige Folge keine Nullfolge ist
Erst ankreuzen: Wahr: Falsch:
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 4

Wir wollen uns mit folgenden Reihen beschäftigen:

(r_n):   1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...
(s_n):   1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ± ...
(t_n):   1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...

Bitte die entsprechenden Eigenschaften ankreuzen:

	(r_n)	(s_n)	(t_n)
alternierend
geometrisch
harmonisch
konvergent

Ankreuzen und mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 5:
Was muss für eine Reihe gelten, damit sie nach dem Leibnizkriterium konvergiert? a) Die Reihe muss alternieren b) Die Reihe muss die harmonische Reihe sein c) Die zugehörige Folge muss eine Nullfolge sein d) Die zugehörige Folge muss monoton sein e) Die Beträge der zugehörigen Folge müssen monoton fallen
Erst ankreuzen: a): b): c): d): e):
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 6
Welche der folgenden Behauptungen zum Quotientenkriterium sind *falsch*?
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 7
Wahr oder falsch? Es gibt Reihen, bei denen das Quotientenkriterium versagt
Erst ankreuzen: Wahr: Falsch:
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 8
Und noch einmal das Quotientenkriterium: Bitte die richtigen Behauptungen ankreuzen: a) Die Konvergenz von 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... kann mit dem Quotientenkriterium nachgewiesen werden b) Bei konvergenten Reihen ist der Grenzwert der Quotientenfolge (a_n+₁ / a_n ) (wenn vorhanden) gleichzeitig Grenzwert der Reihe c) Die Divergenz von 1 + 2! + 3! + 4! + ... kann mit dem Quotientenkriterium nachgewiesen werden d) a), b) und c) sind alle falsch
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 9
In dieser Frage sollte man auch an Kriterien denken, die in diesem Fragebogen bisher keine Rolle spielten. Welche der folgenden Reihen sind divergent? a) (r_n): 2 + 1 + 2/3 + 2/4 + 2/5 + 2/6 + ... b) (s_n): sin(1) + sin(2) / 2² + sin(3) / 3³ + sin(4) / 4 ⁴ + ... c) (t_n): 1/5 + 2/6 + 3/7 + 4/8 + 5/9 + 6/10 + ...
Erst ankreuzen: a): b): c):
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

Frage 10
Die alternierende harmonische Reihe konvergiert (sollte bekannt sein), und zwar gegen ln 2 (schön, wenn dies auch bekannt ist). Wahr oder falsch? Durch geschicktes Umordnen der Reihenfolge der Glieder der alternierenden harmonischen Reihe kann man erreichen, dass die so gebildete Reihe gegen 2 konvergiert.
Erst ankreuzen: Wahr: Falsch:
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle
Und wenn man noch einmal will : An den Anfang des Bogens
Ansonsten: Zum Fragebogen

Antwort zur Frage 1: Anzukreuzen sind a) und b):

Wenn (a_n) eine beliebige Folge ist, heißt (s_n) mit s_n:= a₁ + a₂ + ... + a_nunendliche Reihe, s_n ist die n-te Partialsumme dieser Reihe.

a): Jede Reihe ist nach obiger Definition die Folge ihrer Partialsummen, also richtig.
b): So und nicht anders ist die Konvergenz von Reihen definiert.
c): Falsch, Gegenbeispiel: Die Folge 1, 1, 1, ... konvergiert gegen 1, die zugehörige Reihe 1, 2, 3, 4, ... ist divergent.

**Punkte für ein Kreuz bei:**
a)	b)	c)	d)
+1	+2	-1	-1

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Antwort zur Frage 5: Kreuze gehören zu a), c), e):

Das Leibnizkriterium ist nur bei alternierenden Reihen anwendbar und es besagt:

Eine alternierende Reihe ( s_n) mit s_n = a₁+...+ a_n ist konvergent, wenn ( |a_n| ) eine monoton fallende Nullfolge ist. (Alternierend bedeutet, dass die Vorzeichen der Glieder a_n ständig wechseln)

Damit sind a), c) und e) richtig, b) und d) falsch.

**Punkte für ein Kreuz bei**
a)	b)	c)	d)	e)
+2	-2	+1	-1	+3

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Antwort zur Frage 2: Anzukreuzen ist Falsch:

Nicht jede Nullfolge führt zu einer konvergenten Reihe!

Das bekannteste Gegenbeispiel geht von der Nullfolge (1/n) aus. Die zugehörige Reihe ist die divergente harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....

Der Nachweis der Divergenz dieser Reihe ist übrigens ein beliebtes Prüfungsthema und in vielen Lehrbüchern
oder auch im Skript zu finden.

**Mögliche Punkte:**
Wahr angekreuzt	-1
Falsch angekreuzt	+2

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Antwort zur Frage 9 Richtig sind a) und c):

a) Divergent, Nachweis mit dem Minorantenkriterium, denn die harmonische Reihe ist eine divergente Minorante.

b) Konvergent, Nachweis mit dem Majorantenkriterium:
Wegen | sin(i) / iⁱ | < 1 / iⁱ ist die konvergente Reihe 1 + 1/2²+ ... eine Majorante.

c) Divergent, denn die zugehörige Folge ist keine Nullfolge.

**Punkte für ein Kreuz bei**
a)	b)	c)
+2	-1	+2

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Antwort zur Frage 4: So ist es richtig:

	(r_n)	(s_n)	(t_n)
alternierend		×
geometrisch			×
harmonisch	×	×
konvergent		×	×

Zur Erklärung ist nicht viel zu sagen: (r_n) ist die divergente harmonische Reihe, (s_n) die konvergente alternierende harmonische Reihe, (t_n) eine geometrische Reihe mit q = 1/2 , wegen | q | < 1 konvergent.

**Mögliche Punkte für**
jedes richtige Kreuz	+2
jedes falsche Kreuz	-1

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Antwort zur Frage 8: Kreuze bei a) und c):

a) Für die Quotienten | a_n+₁ / a_n| dieser Reihe gilt

| a_n+₁ / a_n| = [1/(n+1)!] / [1/n!] = 1/(n+1) < 1/3 < 1 für alle n > 3 ==> Konvergenz

b) Ein Gegenbeispiel ist die Reihe 1 + 1 + 1 + 1 + ... : Die Quotientenfolge ist die konstante Nullfolge,
aber die Reihe ist nicht konvergent,

c) Für die Quotienten | a_n+₁ / a_n| dieser Reihe gilt

| a_n+₁ / a_n| = (n+1)! / n! = n+1 > 1 für alle n ==> Divergenz

**Punkte für ein Kreuz bei**
a)	b)	c)	d)
+2	-2	+1	-1

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Antwort zur Frage 7: Kreuz bei Wahr:

Beispielsweise lässt sich die Divergenz der harmonischen Reihe nicht mit dem Quotientenkriterium nachweisen, ebenso nicht die Konvergenz der Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + .... .

Grob gesprochen gilt: Wenn unendlich viele der Quotienten | a_n+₁ / a_n | "von unten" gegen 1 streben, ist ein Konvergenz- oder Divergenznachweis mit dem Quotientenkriterium nicht möglich. (Warum nicht? - Wer das Kriterium verstanden hat, kann diese Frage leicht beantworten!)

**Punkte für ein Kreuz bei**
Wahr	Falsch
+3	-1

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Antwort zur Frage 10: Unglaublich, aber wahr:

Der Riemannsche Umordnungssatz besagt:

Jede vorgegebene Zahl kann als Grenzwert einer bedingt konvergenten Reihe durch Umordnung der Glieder erreicht werden.

Bedingt konvergent bedeutet, dass die Reihe der Absolutbeträge der zugehörigen Folge nicht konvergent ist - und dieser Fall liegt hier vor.

**Mögliche Punkte:**
Richtige Antwort	+2
Falsche Antwort	-1

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Antwort zur Frage 6: Kreuze bei a), b) und d):

Nochmal zur Erinnerung: Die falschen Behauptungen waren anzukreuzen!

a) Falsch: Es gibt konvergente Reihen, für die die hier untersuchte Quotientenfolge keinen Grenzwert hat (man betrachte beispielsweise die Reihe zur Folge a_n= ( 2 + (-1)ⁿ⁺¹) / 2ⁿ ).

b) Falsch: Die harmonische Reihe ist ein Gegenbeispiel.

c) Richtig: Hier steht ein Teil des Quotientenkriteriums

d) Falsch: Zähler und Nenner wurden vertauscht.

**Punkte für ein Kreuz bei**
a)	b)	c)	d)
+3	+2	-2	+2

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Antwort zur Frage 3: Kreuz bei Wahr:

Dies ist die direkte Konsequenz aus dem (hoffentlich) bekannten Satz

Wenn eine Reihe konvergent ist, muss die zugehörige Folge eine Nullfolge sein.

**Mögliche Punkte:**
Kreuz bei Wahr	+2
Kreuz bei Falsch	-1

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Es waren 44 (hervorragend!) Punkte möglich. Wir versuchen eine strenge Notengebung:

**Auswertung :**
SEHR GUT	40 - 44 PUNKTE
GUT	33 - 39 PUNKTE
BEFRIEDIGEND	27 - 32 PUNKTE
AUSREICHEND	20 - 26 PUNKTE
MANGELHAFT	9 - 19 PUNKTE
UNGENÜGEND	weniger als 9 PUNKTE

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H. J. Samaga, 26.06.2000