Frage 1
Zum Einstieg eine einfache Rechenaufgabe:
 
  Bitte die richtigen Zahlen in die entsprechenden Felder eintragen!
 
 

  2 · ( 2, 6, 1 ) - 3 · ( 1, 4, 0 )  =  (  ,   ,   )

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Frage 2

Was passiert bei der  Skalarmultiplikation?



  Bitte die korrekten Aussagen ankreuzen:

 a):     Zwei Vektoren werden auf ein Skalar abgebildet

 b):     Zwei Skalare werden auf einen Vektor abgebildet

 c):     Ein Skalar und ein Vektor werden auf einen Vektor abgebildet

 d):     Ein Skalar und ein Vektor werden auf ein Skalar abgebildet

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Frage 3
Welche der folgenden Regeln gehören  nicht  zur Definition eines Vektorraumes?  a  und  b  seien Skalare,  x  und  y  Vektoren:


 a)     a · ( b · x )  =  ( a · b ) · x

 b)      a · ( x · y )  =  ( a · x ) · y

 c)      a · x  =  x · a

 d)      ( a + b ) · x  =  a · x + b · x

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Frage 4
 Bei der Definition eines Vektorraumes tritt neben einer (abelschen) Gruppe ein Körper auf, zum Beispiel der Körper der reellen Zahlen; man spricht deshalb genauer auch von dem Vektorraum  über einem Körper.


  Wahr       oder Falsch?  


Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst.

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Frage 5:
Bestimmte Teilmengen eines Vektorraumes werden als  Untervektorraum  bezeichnet.
Welche der folgenden Bedingungen müssen überprüft werden, wenn man wissen will, ob  UV  ein Untervektorraum ist?


 a)      UV

 b)      Für jedes  uU  ist   1 · u = u

 c)      U  ist nicht leer

 d)      Mit  x, yU  ist auch   x + y  aus U

 e)      Mit  a  aus dem Körper und  x  aus  U  ist auch  a · x aus  U

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Frage 6
Es folgen zwei einfache Behauptungen über Untervektorräume. Was stimmt?


 a)      Zwei Untervektorräume desselben Vektorraumes können disjunkt sein.

 b)      Jeder Vektor  (x, y ,z) &isin IR 3   liegt in mindestens einem echten Untervektorraum

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Frage 7
Welche der folgenden Mengen (jeweils mit den üblichen Verknüpfungen) sind Untervektorräume des  IR 2 ?

 

 a)      A:= { (x,0) | x IR }

 b)      B:= { (x,x+1) | xIR }

 c)      C:= { a (1,0) + b (1,1) | a, bIR }

 d)      D:= { (x,y) | x, y rationale Zahlen }

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Frage 8
Wir wollen uns mit  linear abhängig  und  linear unabhängig  beschäftigen. Welche der folgenden Aussagen gelten für Skalare  ai  und Vektoren  vi ?


  a)      Wenn  v1, ... ,vn  linear unabhängig sind, folgt aus  a1v1 + ... + anvn = o  stets  a1 = ... = an = 0

  b)      Wenn aus  a1 = ... = an = 0  stets  a1v1 + ... + anvn = o  folgt, sind die Vektoren  v1 , ... ,vn  linear unabhängig

  c)      Der Nullvektor  o ist stets linear abhängig

  d)      Wenn sich der Nullvektor   als Linearkombination  a1v1 + ... + anvn  darstellen lässt, sind  v1, ... , vn  linear abhängig

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Frage 9
Werden wir etwas konkreter und beschäftigen wir uns mit dem Vektorraum  IR 2 :

Was gilt für die Vektoren  (1,1)  und  (2,3) ?


  a)      Diese Vektoren sind linear abhängig

  b)      Diese Vektoren sind linear unabhängig

  c)      Ob a) oder b) gilt, hängt von der gewählten Basis ab

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Frage 10
Im  IR 3  seien Vektoren  u = (1,0,0), v = (1,1,0)  und  w = (a,1,1)  gegeben. Welche der folgenden Behauptungen sind richtig?


  a)      u  und  w   sind für jede reelle Zahl  a  linear unabhängig

  b)      Es gibt mindestens eine reelle Zahl  a, für die  u,v,  linear abhängig sind

  c)      Es gibt keine reelle Zahl  a, für die  u,v,w  linear abhängig sind

  d)      Für  a = 0  bilden  u,v, w  eine Basis des Vektorraumes  IR 3

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Antwort zur Frage 1:

Richtig ist (1,0,2):



   2 · (2,6,1) - 3 · (1,4,0)  =  (4,12,2) - (3,12,0)  =   (1,0,2)

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Antwort zur Frage 5:


 Kreuze gehören zu c), d), e):

  Nach einem Satz, der zum Grundwissen gehören sollte, gilt:


 Eine Teilmenge  U  eines Vektorraums  V  über einem Körper  IK  ist genau dann ein Untervektorraum, wenn

  (1)   U  nicht leer ist
  (2)   mit  x  und  y  auch stets  x + y  zu  U  gehört
  (3)   mit  a ∈ IK  und  x U   auch stets  a · x  zu  U  gehört

Damit sind c), d), e) anzukreuzen. Die Bedingung a) ( UV ) ist in der Aufgabenstellung vorausgesetzt, b) ( 1 · u = u ) gilt in jedem Vektorraum.

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Antwort zur Frage 2:

 Richtig ist c):

  Unter der  Skalarmultiplikation  versteht man eine Abbildung  

IK × V  →  V


Jedem Paar aus Körperelement=Skalar und Vektor wird ein Vektor zugeordnet, ferner müssen einige Bedingungen erfüllt sein.


Diese Bedingungen (welche??) sollte man stets parat haben (auch aus dem Tiefschlaf gerissen), da es sich um eine beliebte Prüfungsfrage handelt!

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Antwort zur Frage 9:

 Nur b) ist richtig:
 
  Wir überprüfen a) und b):

a (1,1) + b (2,3) = (a+2b , a+3b) = (0,0)   ⇒   a + 2b = a + 3b = 0   ⇒    2b = 3b    ⇒   b = 0  ⇒   a = 0    ⇒   linear unabhängig

c) ist grober Unsinn. Wer hier ein Kreuz gemacht hat, sollte (noch einmal) viel Zeit für das Studium der linearen Algebra aufbringen!

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Antwort zur Frage 4:
  Wahr:

Die vier Bedingungen an die Skalarmultiplikation (siehe Frage 3) gelten auch für die multiplikative Verknüpfung in einem Körper, ferner bildet jeder Körper mit der additiven Verknüpfung eine abelsche Gruppe. Damit ist jeder Körper ein Vektorraum über sich selbst.

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Antwort zur Frage 8:
a) und c) sind richtig:

Zur Erinnerung (Kurzform):

   v1,...,v heißen linear unabhängig   ⇔   a1v1 +...+ anvn = o    ⇒   a1 = ... = an = 0

 a):  richtig, es handelt sich im Prinzip um die Definition

 b):  falsch, denn diese Aussage gilt für alle Vektoren

 c):  richtig wegen 1·o = o ( aus a·o = o  folgt nicht  a = 0 )

 d):  falsch, denn der Nullvektor lässt sich wegen 0·v1 + ... + 0·vn = o  immer als Linearkombination darstellen (egal, ob linear unabhängig oder nicht)
 


 

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Antwort zur Frage 7:
Kreuze bei a) und c):


zu a):  A ist nicht leer ( (0,0) ∈ A) und für reelle Zahlen a und Vektoren (x,0) und (y,0) gelten (x,0) + (y,0) = (x+y,0) ∈ A und a(x,0) = (ax,0) ∈ A.

zu b):  B ist kein Untervektorraum, die Abgeschlossenheit der Addition ist beispielsweise nicht gegeben: (1,2) ∈ B, aber (1,2) + (1,2) = (2,4) ∉ B.

zu c):  C ist die lineare Hülle L((1,0),(1,1)) und damit ein Untervektorraum.

zu d):  D ist kein Untervektorraum, die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation ist beispielsweise nicht gegeben: (1,1) ∈ D, aber für eine irrationale Zahl a ist a·(1,1) = (a,a) ∉ D.

 

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Antwort zur Frage 10:
Kreuze bei a), c) und d):


  Wir beginnen mit dem Nachweis von c) (Kurzform):

o = (0,0,0) = r(1,0,0) + s(1,1,0) + t(a,1,1) = (r+s+ta, s+t, t)   ⇒   t = 0   ⇒   s = 0   ⇒   r = 0   ⇒   u,v,w  linear unabhängig (für jedes a)

Da sich b) und c) gegenseitig ausschließen, ist b) falsch.

Da a) direkt aus c) folgt, ist a) richtig.

d) folgt ebenfalls aus c): Da u,v,w linear unabhängig sind, bilden sie für jedes a eine Basis, also auch für a= 0.
 


 

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Antwort zur Frage 6:
Kreuz bei b):


a) ist falsch: Der Nullvektor gehört zu jedem Untervektorraum, daher kann der Durchschnitt nie leer sein.

b) ist richtig: {a·(x,y,z) |  a reelle Zahl } ist ein echter Untervektorraum des IR3 (welcher Dimension?)


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Antwort zur Frage 3:    Kreuze bei b) und c):

Knapp ausgedrückt, besteht ein Vektorraum (V,+,·) aus einer Gruppe (V,+) zusammen mit einer skalaren Multiplikation   IK × V  →  V, wobei IK ein Körper ist. Diese skalare Multiplikation muss vier Bedingungen erfüllen, damit ein Vektorraum über IK vorliegt:

 (1)   a(x+y) = ax + ay  für alle a ∈ IK und alle x,y ∈ V
 (2)   (a+b)x = ax + bx für alle a,b ∈ IK und alle x ∈ V
 (3)   (ab)x = a(bx)  für  alle a,b ∈ IK und alle x ∈ V
 (4)    1·x = x  für alle x ∈ V

Der Vergleich mit der Frage zeigt, dass a) und d) zwei dieser Forderungen sind, während b) und c) frei erfunden sind.
 


 

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Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
-----
Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 

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© H. J. Samaga, 13.07.00 / 15.05.01 / 15.08.05