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Zu welcher linearen Abbildung gehört die Matrix
a): zu f : IR2 -->IR3 , f((x,y)) = (2x+y, x, 2y) b): zu g : IR3 -->IR2 , g((x,y,z)) = (2x+y, x+2z) |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
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| Welche der folgenden Abbildungen
sind linear?
a): IR --> IR , f(x) = ex b): IR -->IR2 , g(x) = (2x,0 ) c): IR2 -->IR , h((x,y)) = x+y d): IR2 -->IR2
, k((x,y)) = (x+y,1)
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| In der ersten Frage wurde gezeigt,
dass h : IR2 -->IR , h((x,y))
= x+y , linear ist.
Gesucht ist die Dimension von Kern h :
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Für eine lineare Abbildung
f
:
V
--> V sei Fix f := { v aus
V | f
( v ) =
v }
Welche der folgenden Behauptungen über Fix f sind richtig? a): Fix f ist ein Untervektorraum von V b): Wenn f die identische Abbildung ist, folgt Kern f = V c): Der Durchschnitt von Kern f und Fix f ist { oV } d): Mit x ist auch 2 x ein Element von Fix f e): Fix f ist ein Untervektorraum von
Bild f
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Sei f : IR5
-->IR3 eine surjektive lineare Abbildung.
Was weiß man über dim Kern f ? a): Die Dimension des Kerns ist abhängig von der speziellen Abbildung b): Die Dimension des Kerns ist unabhängig von
der speziellen Abbildung und es ist
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Bekanntlich gehört zu jeder linearen
Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen
eine Matrix A .
Aus wievielen Zeilen und Spalten besteht A im Falle f : IR3 -->IR4 ? a): A besitzt |
| Erst die richtigen Zahlen eintragen, dann zur Kontrolle |
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Zu welcher linearen Abbildung gehört die Matrix
a): zu f : IR2 -->IR3 , f((x,y)) = (2x+y, x, 2y) b): zu g : IR3 -->IR2 , g((x,y,z)) = (2x+y, x+2z) |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Zur Erholung eine einfache
Frage
Wahr oder falsch?
Untervektorräume werden unter linearen Abbildungen wieder auf Untervektorräume abgebildet
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
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Zurück zu den Matrizen! Wie lautet die zweite Spalte der Matrix A , die zur linearen Abbildung f : IR2 -->IR2 , f((x,y)) = (x+y, 2x-y) gehört? a): Die zweite Spalte lautet: 1 2 b): Die zweite Spalte lautet: 1 -1 c): a) und b) sind beide falsch
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Aus der Geometrie kennen wir Abbildungen
der Anschauungsebene IR2 (also Abbildungen IR2
-->IR2 ).
Welche der folgenden Abbildungen sind linear? a): Verschiebung (Translation) um den Vektor (1, 1) b): Spiegelung an der Geraden y = 1 c): Spiegelung an der Geraden y = -x d): Drehung um (0,0) mit Drehwinkel 45° (mathematisch positiv) e): Drehung um (1,2) mit Drehwinkel 720°
(mathematisch positiv)
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Zum guten Schluss noch einige Behauptungen
über lineare Abbildungen f : IR2
--> IR2 .
Welche der folgenden Behauptungen sind wahr? a): dim Kern f ist nie größer als dim Bild f b): Je größer dim Kern f ist, um so kleiner ist dim Bild f c): f besitzt wenigstens einen Fixpunkt d): f 2 (also f verknüpft mit sich selbst) ist ebenfalls eine lineare Abbildung |
| Mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Und wenn man noch einmal will : An den Anfang des Bogens |
| Ansonsten: Zum Fragebogen |
| Die Abbildungen a) und d) sind nicht linear, da f(0)
= e0 = 1 und k((0,0))
= (0,1) nicht der Nullvektor von IR bzw. IR2
ist (Bei linearen Abbildungen gilt immer "Null auf Null")
Die Abbildungen b) g(x) = (2x,0 ) und c) h((x,y)) = x+y sind linear, wir weisen hier nur c) nach, b) möge man selbst versuchen: h(a·(x,y)) = h((ax,ay))
= ax+ay = a(x+y) = a·h((x,y))
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Wir berechnen den Kern: 0 = h((x,y)) = x+y <==>
y = -x <==> Kern h
= { (x,-x) | x reell } =
L ((1,-1))
Da die Lineare Hülle von einem Vektor erzeugt wird, ist die gesuchte Dimension 1.
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| Bei jeder linearen Abbildung muss der
Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet werden. Da dies bei a) und b)
nicht der Fall ist, sind diese Abbildungen nicht linear.
c) ist die lineare Abbildung (x,y) --> (-y,-x) d) ist die lineare Abbildung (x,y) --> (-y,x) e) ist lediglich eine komplizierte Darstellung der identischen Abbildung und damit linear. (Warum c) und d) linear sind, möge man selbst nachprüfen!)
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Nach dem Dimensionssatz gilt (da f surjektiv, folgt dim Bild f = dim IR3 = 3): 5 = dim Kern f + 3, also
dim Kern f = 2.
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Wir bestimmen die gesuchte Matrix zu der linearen Abbildung f : IR2 -->IR2 :
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| Da Bild f ein
Untervektorraum ist, stimmt die Aussage.
Etwas genauer: Sei f :
V --> W und
U ein Untervektorraum von V . Dann ist f |U
auch linear und Bild
f |U(U) ist ein
Untervektorraum von W.
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| Sei f : IR2
--> IR2 eine lineare Abbildung.
a): dim Kern f ist nie größer als dim Bild f ist falsch, für die Nullabbildung gilt z.B. dim Kern f = 2 und dim Bild f = 0. b): Je größer dim Kern f ist, um so kleiner ist dim Bild f ist richtig, folgt direkt aus dem Dimensionssatz. c): f besitzt wenigstens einen Fixpunkt ist richtig, denn der Nullvektor ist immer ein Fixpunkt. d): f 2
ist eine lineare Abbildung ist richtig, kurze Beweisskizze:
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| A aus
Mat(3×2) bedeutet für die zugehörige Abbildung
f : R2 -->IR3 , genauer
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| Für f = id gelten
Fix f = V und Kern f = { oV
}
, daher ist b) im allgemeinen nicht richtig.
Alle anderen Aussagen stimmen: Zu a): Wegen oV = f (oV
)
ist Fix f nicht leer. Für x,
y aus Fix f und a aus
IR gelten
Zu c): x aus Kern f bedeutet f
(x) = oV ,
x aus Fix f bedeutet f (x)
= x .
Zu d): Richtig, da nach a) Fix f ein Untervektorraum ist. (Oder direkt nachprüfen) Zu e): Richtig, denn Fix f ist ein Vektorraum und wegen V = W eine Teilmenge von Bild f .
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| Es waren maximal + 44 (hervorragend!) Punkte möglich. Wir versuchen eine Notengebung: | ||||||||||||
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