In diesem Fragebogen ist   IR  der Körper der reellen Zahlen, ein beliebiger Körper wird  IK  geschrieben.
 
 
 

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Frage 1
Bis auf weiteres seien  v1, .., vn Vektoren eines beliebigen Vektorraums V über einem beliebigen Körper  IK. Wir interessieren uns für die  lineare Hülle   L = L( v1, ... , vn ). 

 L  besteht aus 

   a)  einer Menge von Skalaren (= Körperelemente) 
   b)  einer Menge von Vektoren 
   c)  einer Teilmenge von  IK × V 
   d)  dem n - fachen kartesischen Produkt  V ×  ... × V
  Erst ankreuzen:     a):      b):      c):      d): 
 Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 


Frage 2
Welche der folgenden Behauptungen für lineare Hüllen sind stets in jedem Vektorraum richtig? 

   a)  L( v1 , v2 )  =   L( v2 , v1 ) 
   b)  L( v1 , v2 , v1 + v2 )  =  L( v1 , v2 ) 
   c)  L( v1 , v2 , v1 + v2 )  =  L( v1 + v2 ) 
   d)  Der Nullvektor  o  liegt in jeder linearen Hülle. 

 
  Erst ankreuzen:     a):      b):      c):      d): 
 Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 3
Noch einmal zu   L1  =  L( v1 , v2  , v1 + v2 )  und     L2  =   L( v1 + v2 ) . 

In der letzten Frage wurde festgestellt, dass nicht immer L1  =  L2  gelten muss!   Aber 

   a)  L2  ist immer eine Teilmenge von  L1
   b)  L2  ist immer eine echte Teilmenge von  L1
   c)  Der Durchschnitt von L1  und   L2  ist nie leer. 
   d)  In unendlichdimensionalen Vektorräumen ist stets L1  =  L2

Bitte die richtigen Behauptungen ankreuzen!
  Erst ankreuzen:        a):      b):      c):      d): 
 Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 4
Wahr  oder falsch?
 

Jede lineare Hülle ist ein Untervektorraum 
 
  Erst ankreuzen:     Wahr:      Falsch: 
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 5:
Der Fall  L1  =  L( v1 , v2  , v1 + v2 )  =   L2  =   L( v1 + v2 ) ist noch nicht abschließend geklärt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? 

   a)  L1  =  L2      ==>     v1  und  v2 sind linear abhängig 
   b)  In eindimensionalen Vektorräumen  V  gilt stets  L1  =   L2
   c)  v1  und  v2   linear abhängig    ==>    L1  =  L2 
   d)  Keine der Aussagen  a) bis c) ist richtig 
 
  Erst ankreuzen:    a):      b):      c):      d): 
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 6
In dieser Frage beschäftigen wir uns mit mit dem reellen Vektorraum  IR 3. 

Welche der folgenden Vektoren liegen in der linearen Hülle   L ( (1,1,0) , (0,1,1) ) ? 

  a)  (1,2,3) 
  b)  (1,3,2) 
  c)  (2,3,1) 
  d)  (-2,1,3) 
  e)  Keiner der Vektoren aus a) bis d) 

 
  Erst ankreuzen:     a):      b):     c):      d):      e): 
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 7
Zurück zu beliebigen Vektorräumen! 
 

Wahr  oder falsch?
 

Wenn in einem Vektorraum    V =  L( v1, ... , vn ) gilt,  ist  ( v1, ... , vn )  eine Basis von V  . 
 
 

 
  Erst ankreuzen:     Wahr:      Falsch: 
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 8
...  und noch einmal 

Wahr  oder falsch?

Für beliebige Vektoren  a,b,c,d  gilt immer 

L ( a,b,c,d )  ist die Vereinigung von L ( a,b )  und L ( c,d ) 

 
  Erst ankreuzen:     Wahr:      Falsch: 
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 9 
Im Vektorraum  IR 2  gelte für paarweise verschiedene Vektoren  a,b,c,d 

     L ( a,b )  =  L ( c,d ) . 

Welche der folgenden Behauptungen sind richtig? 

  a):    a,b,c,d   müssen linear abhängig sein 
  b):    a  und  b   müssen  linear unabhängig sein 
  c):    a  muss  weder von c  noch  von  d  linear abhängig  sein 
  d):    Es gilt stets  L ( a,c )  =  L ( b,d ) 
 
  Erst ankreuzen:     a):      b):      c):     d): 
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 10
 Die letzte Frage beschäftigt sich mit dem reellen Vektorraum aller Abbildungen  ( Abb( IR , IR ),+,· ) . 

(Zur Erinnerung:  Die Addition in diesem Vektorraum ist definiert durch  ( f + g )( x )  =  f ( x ) + g ( x ) ,
             die skalare Multiplikation  durch  (a ·  f  )( x )  =   a · f ( x )  ) 

Gesucht ist die Dimension  von  L( f, g, h ) , wobei es sich bei  f,  g  und  h  um die Abbildungen 
     f ( x ) = x ,     g ( x ) = x3 -  x    und     h ( x ) =  ex     handelt. 

 
  Erst die richtige Zahl  eintragen: 
Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle
Und wenn man noch einmal will : An den Anfang des Bogens
Ansonsten: Zum Fragenkatalog

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 1:                                      b) ist richtig:
 Die  lineare Hülle   L = L( v1, ... , vn )   besteht laut Definition aus allen möglichen Linearkombinationen a1 v1 + ... + anvn ,  wobei es sich bei   ai   um Körperelemente handelt. 
Diese Linearkombinationen sind natürlich wieder Vektoren. 

       Die lineare Hülle ist also eine Teilmenge von  V . 
 

 
Punkte für ein Kreuz bei 
a) b) c) d)
-1 +2 -1 -1

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Antwort zur Frage 5:                    Nur a) stimmt:
   a)  Kurze Beweiskizze: L1 = L2   ==>  v2  in L2   ==>  v2 = a(v1+ v2)    ==> 
       av1+ (a-1)v2 =  o    ==>    v1  und  v2   linear abhängig 

   b)  Falsch: In beliebigen reellen Vektorräumen, die nicht nur aus dem Nullvektor bestehen (also von Dimension größer 0) gibt es zwei verschiedene Vektoren   v  und  -v . Für diese Vektoren gilt 
 L1  =  L( v , -v  , v - v )  = L( v )  und  L2 = L( v - v ) = L( o ),  diese Vektorräume sind verschieden.
(Auch bei unendlichdimensionalen Vektorräumen, man erinnere sich an Frage 3 d) ) 

   c) Wurde in b) mit behandelt, denn  v  und -v  sind linear abhängig. 
 

 
Punkte für ein Kreuz bei 
a) b) c) d)
+2 -1 -1 -2

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Antwort zur Frage 2:                   Nur c) ist falsch:
  a)  Weil die additive Gruppe in einem Vektorraum immer kommutativ ist, kommt es bei  Linearkombinationen nicht auf die Reihenfolge der Summanden an, also     L( v1 , v2 )  =  L( v2 , v1 ). 

  b)  Wegen  a1 v1 + a2 v2 + a3 ( v1 + v2 )  =   ( a1 + a3 ) v1 + ( a2 + a3 ) v2      ist   L( v1 , v2  , v1 + v2 )   in      L( v1 , v2 )  enthalten,  wegen a1 v1 + a2 v2   =  a1 v1 + a2 v2 + 0 · ( v1 + v2 )  gilt auch die Umkehrung. 

  c)   L( v1 , v2 , v1 + v2 )  =  L( v1 + v2 )  ist falsch, mehr sei an dieser Stelle noch nicht verraten! 

  d)   Der Nullvektor  o  liegt in der Tat in jeder linearen Hülle, für die leere Menge gilt dies per Definition, sonst  setze man  ai  =  0  für jedes  i .
Punkte für ein Kreuz bei 
a) b) c) d)
+1 +2 -1 +2
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Antwort zur Frage 9               Kreuze bei  a)  und c):
  a):  Im  IR 2  kann es keine Menge von vier Vektoren geben, die linear unabhängig sind!
        Wer hier kein Kreuz gemacht hat, hat eigentlich 10 Minuspunkte verdient!

  b):    a  und  b   müssen  nicht linear unabhängig sein:  a = (1,0) ,  b  = (2,0)  ,  c = (3,0) ,  d = (4,0) 

  c):    Sieht man am Beispiel   a = (1,0) ,  b  = (1,1)  ,  c = (0,1) ,  d = (1,1) 

  d):    Wird durch das Beispiel in c) widerlegt.
 
Punkte für ein Kreuz bei 
a) b) c) d)
+1 -1 +3 -1
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Antwort zur Frage 4:      Wahr:
Jede lineare Hülle ist ein Untervektorraum! 

Dies ist einfach zu beweisen (wie zeigt man, dass eine Teilmenge eines Vektorraums selbst ein Vektorraum ist?) und steht in jedem Lehrbuch über lineare Algebra - wenn es nicht eine Übungsaufgabe ist 

Wer mein Skript hat, kann auch dort nachsehen (Seite 159)
 
Punkte für ein Kreuz bei 
Wahr Falsch
+2 -2
  zurück zur Frage    zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 8:                Ebenfalls falsch: 
Wir geben ein Gegenbeispiel im Vektorraum IR 2  an: 

Sei  a = (1,0) ,  b  = (2,0)  ,  c = (0,1) ,  d = (0,2) 

Es ist  L ( a,b,c,d ) = IR 2

  (1,1)   liegt weder in  L ( a,b )  noch in   L ( c,d ) 

 Bemerkung: Die Vereinigung von Untervektorräumen ist  nur in Ausnahmefällen selbst ein Vektorraum.
Punkte für ein Kreuz bei 
wahr falsch
-2 +3
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Antwort zur Frage 7:             Kreuz bei  falsch:
Falsch:  In L( v1, ... , vn ) können Vektoren  v1, ... , vn   linear abhängig sein, dies kam in den vergangenen Fragen auch mehrfach vor. Basisvektoren sind aber nach Definition stets linear unabhängig. 

V =  L( v1, ... , vn ) bedeutet nur, dass  die Vektoren   v1, ... , vn   ein Erzeugendensystem des Vektorraums bilden.
 
Punkte für ein Kreuz bei 
wahr falsch
-2 +2
 zurück zur Frage    zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 10:               Die richtige Dimension ist  3 :
Wir zeigen die lineare Unabhängigkeit der Funktionen  f, g, h ,  dann ist die gesuchte Dimension 3: 

Zu zeigen ist:  a ·  f  +  b · g  +  c · h   ist nur dann die Nullfunktion, wenn   a = b = c = 0  ist.
Nullfunktion bedeutet: Für alle reellen Zahlen  x  ist   ( a ·  f  +  b · g  +  c · h ) ( x )  = 0
Wir setzen (in diese Nullfunktion) verschiedene Werte für  x  ein:
 
x = 0 :    0  = ( a · f  +  b · g  +  c · h ) ( 0 )  =  a · 0  +  b · (03 -  0)  +  c ·  e0  =  c
x = 1 :    0  = ( a · f  +  b · g  +  c · h ) ( 1 )  =  a · 1  +  b · (13 -  1)  +  0 ·  e1  =  a
x = 2 :    0  = ( a · f  +  b · g  +  c · h ) ( 2 )  =  0 · 2  +  b · (23 -  2)  +  0 ·  e2  = 6 b 

Damit ist die lineare Unabhängigkeit der drei Funktionen  aus ( Abb( IR , IR ),+,· )   gezeigt. 
Dimension 
richtig falsch
+3 -1
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Antwort zur Frage 6:               b), c) und d) sind richtig:
In  L ( (1,1,0) , (0,1,1) ) liegen alle Vektoren der Gestalt    a (1,1,0) + b (0,1,1) =  ( a , a+b , b ) . 

Wir stellen fest: Die mittlere Komponente muss die Summe der beiden anderen Komponenten sein. 

Dies ist nur im Fall  a)   (1,2,3)  falsch. 
 
Punkte für ein Kreuz bei 
a) b) c) d) e)
-1 +1 +1 +2 -2
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Antwort zur Frage 3:     Die Behauptungen a) und c) sind richtig:
   a)  L2 ist immer eine Teilmenge von  L1 , denn jedes Element   a ( v1 + v2 )  aus  L2
        gehört wegen a ( v1 + v2 )  =  0  v1 + 0 v2 + a ( v1 + v2 )  auch zu  L1 . 

   b)  ist falsch, beispielsweise für  v1 = v2    stimmen  L1 und  L2  überein. 

  c)  Wurde schon in der letzten Frage behandelt! (Siehe Frage 2, d) ) 

  d)  Leider falsch, ein Gegenbeispiel wird noch folgen ...
Punkte für ein Kreuz bei 
a) b) c) d)
+2 -1 +1 -1
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Es waren   + 30   (hervorragend!)  Punkte möglich. Wir versuchen eine gerechte Notengebung:
Auswertung :
 SEHR GUT     27 - 30   PUNKTE
 GUT     23 - 26   PUNKTE
 BEFRIEDIGEND     18 - 22   PUNKTE 
 AUSREICHEND     14 - 17   PUNKTE
 MANGELHAFT      6  - 13   PUNKTE
 UNGENÜGEND   weniger als 6 PUNKTE
 
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H. J. Samaga, 12.12.2000