Frage 1

Zum Einstieg: Gesucht ist die Summe der komplexen Zahlen  3 - 2i  und  2 + 4i
  Erst die richtige Zahl angeben: 

Realteil:       Imaginärteil: 
 Zur  Kontrolle   oder zur  nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 2

Jetzt ist das Produkt von  3 - 2i  und   2 + 4i  gefragt:
  Erst die richtige Zahl angeben: 

Realteil:       Imaginärteil: 
 Zur  Kontrolle   oder zur  nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 3
Gesucht sind Realteil und Imaginärteil von 

( 2 - i )2
  Erst die richtigen Zahl angeben:  Realteil:     Imaginäteil: 

Zur  Kontrolle   oder zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 4
Welche der folgenden Zahlen ist konjugiert komplex zu    z = a + b i :

a)  -a + b i

b)  a - b i

c)  b + a i

d)  b - a i
  Erst ankreuzen:     a):      b):      c):      d): 

Zur  Kontrolle   oder zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 5:
Sei   z2  die konjugiert komplexe Zahl zu  z1

Welche der folgenden Behauptungen sind richtig?

  a)   z1 + z2  ist reell
  b)   z1 · z2  ist reell
  c)   z1 - z2  ist konjugiert komplex zu  z2 - z1
  d)   z1-1  ist konjugiert komplex zu  z2-1  ,wenn  z1 von  0  verschieden ist.
  Erst ankreuzen:     a):      b):      c):      d): 

Zur  Kontrolle   oder zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 6
Wahr oder falsch?

i · (1 - i)  ist konjugiert komplex zu  1 - i
  Erst ankreuzen:     Wahr:      Falsch: 

Zur  Kontrolle   oder zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 7
Gesucht sind Realteil und Imaginärteil von    i-1
  Erst die richtige Zahl angeben:  Realteil:    Imaginärteil: 

Zur  Kontrolle   oder zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 8
Was gilt für z =  ( 1 - 2i) / ( 2 + i )?

  a)   Re z = 0

  b)   Im z = - 1

  c)   z = 1

  d)   |z| = 1

(Mit  Re z  ist der Realteil, mit   Im z  der Imaginärteil gemeint)
  Erst ankreuzen:     a):      b):      c):      d): 

Zur  Kontrolle   oder zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Frage 9
Welche der folgenden Behauptungen sind richtig?

  a):   i3 = i7

  b):   i-1 = -i

  c):   i > 0

  d):   i < 0

  e):   c) und d) sind falsch
  Erst ankreuzen:     a):      b):      c):      d):      e): 

Zur  Kontrolle   oder zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 

Frage 10
Welche der folgenden Behauptungen sind für komplexe Zahlen z und w richtig?

  Erst ankreuzen:     a):      b): 

Zur  Kontrolle   oder zur Auswertung

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 1:                                           Der Realteil ist 5 und der Imaginärteil ist 2:

Es ist    ( 3 - 2i ) + ( 2 + 4i )  =  ( 3 + 2 ) + ( -2 + 4 )i   =  5 + 2i
zurück zur Frage                                      zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 5:    Alles ist anzukreuzen:
 Wenn  z1 = a + bi  ist, ist  z2  = a - bi. Daher gilt

  a)   z1 + z2 = 2a,  reell
  b)   z1 · z2 = a2 + b2,  reell
  c)   z1 - z2 = 2bi  und  z2 - z1=  - 2bi , diese Zahlen sind konjugiert komplex.
  d)   "Die konjugiert komplexe Zahl zu z1-1 ist die multiplikativ inverse Zahl zur konjugiert komplexen Zahl von z1, also  z2-1 " . Wem dies zu unmathematisch ist, findet  hier einen kurzen Beweis.
zurück zur Frage            zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
Antwort zur Frage 2:                              Der Realteil ist  14 und der Imaginärteil ist  8:

Es ist    ( 3 - 2i ) · ( 2 + 4i )  =  6 + 12i - 4i - 8 · (-1)  =  14 + 8i
zurück zur Frage                                 zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 9          Kreuze bei a), b), e):
Wir benutzen   i4 = i2 · i2 = (-1)·(-1) = 1:

 zu a):   i7 = i4+3 = i4 ·i3 = 1 · i3 = i3

 zu b):   i-1 = i4 · i-1 = i3 = i2 · i = -i

 zu c):   Angenommen,  i > 0  ⇒  i2 > 0  ⇒  -1 > 0 , Widerspruch.

 zu d):   Angenommen,  i < 0  ⇒  -i > 0  ⇒  (-i )2 > 0  ⇒  -1 > 0 , Widerspruch.
zurück zur Frage             zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 4:      Nur b) ist richtig:
Konjugiert komplex zu z = a + b i  ist   a - b i  und nichts Anderes!
 
 

 

 
 

  zurück zur Frage              zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 8:      a), b), d) sind richtig:
Wir rechnen:

 Also ist der Realteil 0, der Imaginärteil -1 und der Betrag 1.
 

 

  zurück zur Frage             zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 7:   So sieht es aus: 

i-1 =  -i , denn  i · ( -i ) =  -i2 = - (-1) = 1 ,  also Realteil  0 und Imaginärteil -1.
 

 
    zurück zur Frage     zur nächsten Frage

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 10:             Kreuze bei a) und b):
 a) ist die hoffentlich bekannte sogenannte  Dreiecksungleichung, einen Beweis findet man  hier .

 b) folgt direkt aus a):

(Man subtrahiere auf beiden Seiten |w| und vertausche die Seiten)
zurück zur Frage         zur Auswertung

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Antwort zur Frage 6:       Wahr:
Rechnen wir:

 

 

  zurück zur Frage     zur nächsten Frage
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 

Antwort zur Frage 3:    Korrekt ist Realteil  3  und Imaginärteil  - 4:

( 2 - i )2   =  4 - 4i + i2  =  3 - 4i

Der Realteil ist  3, der Imaginärteil  - 4
 

 

 zurück zur Frage                                         zur nächsten Frage

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




 
 
Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
-----
Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 
zurück zur ersten Frage        zum Fragenkatalog

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


In Frage 5 d) wird behauptet:

 

Wir führen einfache Umformungen durch und nützen die Voraussetzung aus:

 
 

Für beliebige komplexe Zahlen gilt

Daher ist die Behauptung richtig.
 
 

zurück zur Kontrolle
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Hinweis: Beweis der Dreiecksungleichung:

zurück zur Kontrolle
 
 
 
 
 
 


H. J. Samaga, 11.07.00 / 18.05.01 / 11.07.01 / 22.05.05