( 3 + 5i )  +  ( 3 - 2i ) =   +  i

2 ·  ( 3 - 4i ) =   +  i

2i · ( 2 - i ) =   +  i

( 1 + 2i )  ·  ( 2 - i ) =   +  i

 ( 3 + 2i )²  =   +  i
 

( 2 + 3i )  ·  (   +  i  ) =  13 

   a)  Keine, da alle Lösungen reell sind

   b)  Die einzigen Lösungen sind  +1  und  -1 

   c)  Es gibt mehr als zwei Lösungen

   d)  Es gibt vier verschiedene Lösungen
 

 Wieviele  verschiedene  komplexe Zahlen gibt es  insgesamt  mit

          zⁿ  = 1   für   n = 1,2,3,4  ? 

Es gibt genau    verschiedene komplexe Zahlen

Wahr oder falsch?

Die komplexen Zahlen bilden einen angeordneten  Körper

Wahr:          Falsch: 

Bitte ergänzen: Der Vektorraum der komplexen Zahlen über dem Körper der reellen Zahlen hat die Dimension  
 

  a)  ( 1 ,  i )            b)   ( 1 + i ,  i )           c)  ( 1 , - i )

  d)   ( i  ,  i )           e)   ( 1 ,  i , -i )           f)   ( 2 + 3 i )
 

Weil man komplexe Zahlen nicht anordnen kann, ist es sinnlos, sich über Konvergenz und Grenzwerte von komplexen Zahlenfolgen Gedanken zu machen

     Wahr:          Falsch: 
 

  a) Nichts  (Jedenfalls nichts, was mit dem Thema dieses Fragebogens zu tun hat)

  b) Das ist die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl

  c) Das wäre die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl, wenn Sinus und Cosinus vertauscht wären

  d) Das wäre die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl, wenn nicht Klammern fehlen würden 

2  ·  ( 3 - 4 i )  =  6  +  (-8) i

2 i  ·  ( 2 - i )  =  4 i - 2 i²  =  2 + 4 i

     z²  = 1   ⇒   z =  1     oder    z =  - 1

     z³  = 1   ⇒   z =  1     oder    z =   cos (120^o) + sin (120^o) i    oder    z =  cos (240^o)+ sin (240^o) i

     z⁴  = 1   ⇒   z =  1     oder    z =  - 1     oder    z =  i      oder    z =  - i 
 

( 3 + 2 i )²  =  9 + 2 · 3 · 2 i + 4 i²  =   5  +  12 i

Trotzdem kann man über Konvergenz und Grenzwerte von komplexen Zahlenfolgen nachdenken, denn bei den Überlegungen, bei denen Anordnungen eine Rolle spielen ( ... für alle ε > 0 ... )  geht es um die Beträge komplexer Zahlen (also um reelle Zahlen), und reelle Zahlen kann man anordnen.
 

           Beachte:   1  und  - 1  sind komplexe Zahlen mit Imaginärteil 0 .

 a)   ( 1 ,  i )  ,    b)   ( 1 + i ,  i )  ,   c)   ( 1 , - i )   sind jeweils Basen   (Man mache sich die lineare Unabhängigkeit klar!)

 d)   ( i  ,  i )      keine Basis: Kein Vektor darf zweimal auftauchen
 e)   ( 1 ,  i , -i )   keine Basis: Drei Vektoren sind linear abhängig 
 f)   ( 2 + 3 i )     keine Basis: Es fehlt ein zu  2 + 3 i  linear unabhängiger Vektor.
 

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Jede komplexe Zahl  z  schreibt man üblicherweise  z = a + b i =   a · 1 +  b · i  ,  hierbei sind   a  und b  auf jeden Fall reelle Zahlen.   Was weiß man über  1 und  i  ?

Antwort: Es handelt sich bei  1  und   i  um linear unabhängige komplexe Zahlen,  denn

 a · 1 +  b · i  = 0   ist nur für die reellen Zahlen   a = 0  und  b = 0  richtig.

Jede komplexe Zahl kann als Linearkombination von zwei linear unabhängigen komplexen Zahlen mit reellen Koeffizienten dargestellt werden, dies bedeutet:

Der reelle Vektorraum der komplexen Zahlen hat die Dimension 2.
 

Damit ist Antwort  d)  richtig .
 

Hoffentlich hat niemand a) angekreuzt!
 

Die komplexe Zahl  i  müsste positiv ( also  i > 0 )  oder  negativ  (also  i < 0 ) sein, aber beides führt zu einem Widerspruch, Beweisidee:

   i > 0  ⇒   i · i  >  0· i = 0  ⇒  - 1 > 0  , Widerspruch

   i < 0  ⇒   i · i  >  0· i = 0  ⇒  - 1 > 0  , Widerspruch
 

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   ( 2 + 3 i )  ·  ( a  +   b i  )  =  2 a - 3 b  + ( 3 a + 2 b ) i  =  13

Man unterteilt in Real- und Imaginärteil und löst das zugehörige Gleichungssystem

   2 a - 3 b = 13 ,       3 a + 2 b = 0      ⇒     a = 2 ,   b =  - 3
 

2. Möglichkeit (eleganter):  13 ist das Quadrat des Betrages von ( 2 + 3 i ), also muss die gesuchte Zahl die zugehörige  konjugiert komplexe Zahl sein.