Die korrekte Lösung erscheint nach Anklicken der Kontrolle auf dem Bildschirm mit weiteren Informationen. Für jedes Kreuz bzw. für jede Antwort gibt es Punkte, falsche Kreuze bzw. Antworten ergeben Minuspunkte. Wenn man an einer Auswertung interessiert ist, sollte man die erzielten Punkte nach jeder Frage notieren und zusammenzählen. Am Ende des Fragebogens kann man in einer Auswertung eine Gesamtnote für die Bearbeitung des Fragebogens erfahren.
Wenn es klar ist, welche Verknüpfung zu einer Menge gehört, wird diese nicht immer angegeben. Daher werden in diesem Fragebogen Gruppen in der Form G oder (G,*) geschrieben.
Stift und Papier bereit? Dann kann es losgehen, viel Erfolg und Spass
bei der Arbeit!
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| Bezüglich welcher Verknüpfung
bilden die ganzen Zahlen eine Gruppe?
a) Subtraktion b) Addition c) Multiplikation |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Eine Gruppe mit sechs Elementen
a) kann kommutativ sein b) muss kommutativ sein c) kann es nicht geben |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Noch einmal eine Gruppe mit sechs
Elementen: Sie
a) kann eine Untergruppe mit drei Elementen haben b) kann eine Untergruppe mit vier Elementen haben c) hat stets eine Untergruppe mit zwei Elementen |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Wahr oder falsch?
Zwei Gruppen könen homomorph sein, ohne isomorph zu sein |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Wahr oder falsch?
Zwei Gruppen könen isomorph sein, ohne homomorph zu sein |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Welche der folgenden Behauptungen
stimmen? (Es sei Z die Menge der ganzen Zahlen und für
eine feste natürliche Zahl n sei nZ
:= {z·n | z aus Z })
a) (Z,+) ist eine zyklische Gruppe b) (Z,+) und (2Z,+) sind isomorph c) (2Z,+) ist eine echte Untergruppe von (Z,+) d) Der Durchschnitt von (2Z,+) und (3Z,+) ist leer |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Nichtzyklische Gruppen haben bekanntlich(?)
auch zyklische Untergruppen. Wahr oder falsch:
Zyklische Gruppen können nichtzyklische Untergruppen haben |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Sei S3 die Permutationsgruppe
auf der Menge {1,2,3}. Welche der folgenden Behauptungen sind für
diese Gruppe richtig?
a) Sie hat 23 Elemente b) Sie ist zyklisch c) Sie ist nicht kommutativ d) Sie hat mehr als drei echte Untergruppen e) Sie ist isomorph zur Diedergruppe D3 |
| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Bei den letzten beiden Fragen geht es wieder
um ganze Zahlen. Für ganze Zahlen x und y sei definiert
x * y := x+y+1 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a) (Z,*) ist ein Gruppoid b) (Z,*) ist eine Halbgruppe c) (Z,*) ist eine Gruppe d) a) bis c) sind alle falsch
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| Dann mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
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Die Gruppen (Z,+) und (Z,*) aus Frage 9
sind isomorph
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| Mit der korrekten Lösung vergleichen: Kontrolle |
| Und wenn man noch einmal will : An den Anfang des Bogens |
| Ansonsten: Zum Fragebogen |
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Von der letzten Frage wissen wir, dass Isomorphie nichts anderes als Homomorphie plus Zusatzeigenschaft bijektiv bedeutet. Daher kann die Behauptung aus logischen Gründen nicht stimmen.
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Natürlich gibt es Gruppen mit sechs Elementen! Jede Gruppe der Ordnung 6 ist entweder isomorph zur kommutativen Gruppe (Z6, +6) oder zur nichtkommutativen symmetrischen Gruppe S3. |
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a): Gruppoid: * ist eine binäre Verknüpfung, da für ganze Zahlen x, y auch x * y = x + y + 1 aus Z ist. b): Halbgruppe: * ist assoziativ, da für ganze Zahlen x,
y, z gilt
c): Gruppe: -1 ist neutrales Element, denn für jede ganze
Zahlen x gilt x * (-1) = x + (-1) + 1 = x
und
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| Eine ganz einfache Frage, wenn man weiss, was homomorph (= strukturerhaltend) und isomorph (= strukturerhaltend + bijektiv) bedeutet. Da jede Gruppe G zur trivialen Gruppe {e} mit einem Element homomorph ist (man bilde jedes Element von G auf das einzige Element e ab, die Strukturerhaltung folgt nahezu automatisch), sind G und {e} homomorph, aber im Fall |G| > 1 nicht isomorph. | ||||
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| a): Da es genau 3! = 6 Bijektionen zwischen
zwei drei-elementigen Mengen gibt, ist a) FALSCH
b) und c): Da S3 nicht abelsch ist (Für Leute, die die Zykelschreibweise kennen: (12)(13) ist verschieden von (13)(12)) und zyklische Gruppen grundsätzlich abelsch sind (Beweis??), ist b) FALSCH und c) RICHTIG d): RICHTIG: Außer den trivialen gibt es noch folgende Untergruppen
(Wir verwenden erneut die Zykelschreibweise):
e): RICHTIG: Die Diedergruppe D3 besteht aus den insgesamt sechs Abbildungen (Drehungen und Spiegelungen), die ein gleichseitiges Dreieck auf sich abbilden. Jede Permutation aus S3 entspricht damit eineindeutig einer Abbildung aus D3, die Verknüpfung ist jeweils die Hintereinanderausführung. |
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Ein Satz besagt, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ebenfalls zyklisch ist. (Hörer(innen) meiner Vorlesung finden dies im Skript (Satz 3.11.8), sonst in gängigen Lehrbüchern)
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| Es liegt Isomorphie vor, wir geben eine strukturerhaltende
und bijektive Abbildung von Z nach Z an:
f(x) := x - 1 .
Über die Bijektivität soll hier kein Wort verloren werden, zur Strukturerhaltung (Kurzform): f ( x + y ) = x + y - 1 = x - 1 + y - 1 + 1 = f ( x ) * f ( y ) |
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| zu a: RICHTIG: (Z,+)
ist die bis auf Isomorphie einzige unendliche zyklische Gruppe.
zu b): RICHTIG: Die Bijektion f: Z --> 2Z mit f(z):= 2z ist strukturerhaltend. (Beweis??) zu c): RICHTIG: Die Zahl 1 gehört zu Z, aber nicht zu 2Z. (Der Nachweis der Gruppeneigenschaften von (2Z,+) sei als Übung empfohlen) zu d): FALSCH: 2Z und 3Z sind beides Untergruppen, und der Durchschnitt von Untergruppen ist nie leer (Stichwort neutrales Element)
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| Fangen wir mit der falschen Aussage an:
b) ist falsch, dies folgt aus dem Satz von Lagrange: Die Ordnung einer
Untergruppe (= Anzahl der Elemente) muss stets ein Teiler der Gruppenordnung
sein.
Nun zu den korrekten Behauptungen: Bis auf Isomorphie gibt es nur zwei
Gruppen mit sechs Elementen, nämlich Z6 und
S3.
Beide Gruppen haben Untergruppen der Ordnung drei und zwei. Bei Z6
sind dies { 0, 3 } bzw. { 0, 2, 4 }, die Untergruppen der symmetrischen
Gruppe S3 werden uns noch später begegnen.
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| Es waren + 38 (hervorragend!) Punkte möglich. Wir versuchen eine strenge Notengebung: | ||||||||||||
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