a)       Wenn in einer vorgebenen Verknüpfungstafel in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommt, muss es sich um die Verknüpfungstafel einer Gruppe handeln.

   b)       Wenn eine endliche Gruppe gegeben ist, muss in der zugehörigen Verknüpfungstafel in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommen.

   c)       Die Verknüpfungstafel einer kommutativen Gruppe muss symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) aufgebaut sein.
 

Jede Gruppe enthält mindestens zwei verschiedene Elemente (neutral und invers)

  Wahr:                 Falsch: 

a * b := a + b (modulo 4),    Beispiel  3 * 3 = 2 ,  denn  3 + 3 = 6 = 1· 4 + 2

Für welche Teilmengen  M  von  G  liegt eine Gruppe  (M,*)  vor?

   a)      M = G
   b)      M = {0,2}
   c)      M = {1}
   d)      M = {1,2,3}
   e)      M = {0}

a * b := a · b (modulo 5),    Beispiel  2* 4 = 3 ,  denn  2 · 4 = 8 = 1· 5 + 3

Für welche Teilmengen  M  von  G  liegt eine Gruppe  (M,*)  vor?

   a)      M = {2,4}
   b)      M = {1}
   c)      M = {1,4}
   d)      M = {1,3}
 

  Beispiel:  3*4 = 4 ,  denn  2 · 3 · 4 = 24 = 4 · 5 + 4:
 
 

  a)   Es liegt eine Gruppe vor

  b)  Es liegt keine Gruppe vor
 

Diese Gruppe besitzt   Untergruppen  (Nicht die trivialen Untergruppen vergessen!)

 f ₁ ( x ) :=  x ,       f ₂ ( x ) :=  1 / x ,       f ₃ ( x ) :=  1 - x ,       f ₅ ( x ) :=  x  /  (x - 1) ,       f ₆ ( x ) :=  (x - 1 ) / x

Wenn man zu diesen Funktionen die richtige Funktion  f ₄  hinzufügt, erhält man bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe mit sechs Elementen.
(Beispiel:    ( f ₃  ° f ₂) ( x )    =   f ₃ (f ₂ ( x ) ) =   f ₃ ( 1 / x )   =   1 -  1 /x  =  ( x - 1 ) / x  =  f ₆ ( x )  )

Welches ist die richtige  Funktion  f ₄ ?

   a)      f ₄ ( x ) :=  1 + x  ,  weil sonst zu  f ₃  das inverse Element fehlt.
 
   b)      f ₄ ( x ) :=  1 / ( 1 - x ) ,  weil sonst zu  f ₃  das inverse Element fehlt.
 
   c)      f ₄ ( x ) :=  0  , weil sonst das neutrale Element fehlt.
 
   d)      f ₄ ( x ) :=   1 / ( 1 - x ) ,  weil  die Verknüpfung sonst nicht abgeschlossen ist.
 
   e)      f ₄ ( x ) :=  1 / ( 1 - x ) ,  weil sonst zu f ₆  das inverse Element fehlt.

a)   kommutativ

b)   nicht kommutativ 

Zur Erinnerung:   f ₁ ( x ) = x ,   f ₂ ( x ) =   1 / x ,   f ₃( x ) =  1 - x  ,   f ₄ ( x ) =   1 / ( 1 - x ) ,   f ₅ ( x ) =  x  /  (x - 1)  ,    f ₆ ( x ) =  (x - 1 )/ x
 

  b) ist richtig, dies folgt aus der eindeutigen Lösbarkeit, die in jeder Gruppe gilt:
Zu beliebigen Elementen  a  und  b  einer Gruppe gibt es immer genau ein Element   x  und  ein Element y  mit    a*x = b   und  y*a = b

 c) ist richtig: Kommutativität bedeutet  a*b = b*a für alle Verknüpfungen.
 

a)  M = G : Hier liegt die sogenannte zyklische Gruppe der Ordnung 4 vor.

b)  M ={0,2} :  Ebenfalls eine Gruppe, beachte  2 * 2 = 0 .

e)  M = {0} :  Wer das nicht als Gruppe erkennt .... - da hilft nur noch fleißig lernen! 

Man beachte, dass  y  das neutrale Element ist.
 

Bei  ({0},+)  handelt es sich um eine Gruppe mit  einem  Element, das gleichzeitig neutral und zu sich selbst invers ist.

 Es gibt außer den trivialen Untergruppen  ({3},*)  und  ({1,2,3,4},*)  genau eine weitere Untergruppe, nämlich  ({2,3},*). 

 Sobald eines der Elemente  1  oder  4  in einer Untergruppe liegt, handelt es sich um die ganze Gruppe.
 (Für Fachleute:  1 oder  4  sind erzeugende Elemente der Gruppe)

( f ₃ °  f ₂ ) ( x )   =   f ₃ (  f ₂ ( x ) )  =   f ₃ ( 1 / x )  =   1 -  1 / x  =  ( x - 1 ) / x  =  f ₆ ( x ) 

( f ₂  °  f ₃ ) ( x )   =   f ₂ ( f ₃ ( x ) )  =   f ₂ ( 1 - x )  =   1 /  (1 - x )  =   f ₄ ( x )
 

 
Eine Ergänzung ist  nicht  möglich:
 

Beispielsweise können in der ersten Zeile weder  x  (kommt in dieser Spalte schon vor) noch  y  (kommt in dieser Zeile schon vor)   eingefügt werden.
 

Es handelt sich um eine (zyklische) Gruppe mit  3  als neutralem Element.

b)  M ={1} :  Es liegt natürlich eine Gruppe vor.

c)  M = {1,4} :  Ebenfalls eine Gruppe, beachte  4 * 4 = 1 .

d)  M = {1,3} :  Keine Gruppe, da wegen  3 * 3 = 4  nicht abgeschlossen.

 Zu einer Gruppe  ( {f ₁, f ₂, f ₃, f ₄, f ₅, f ₆ } , ° )  fehlt die Funktion  f₄ ( x ) :=  1 / ( 1 - x ) , denn sonst

 —   ist die Verknüpfung  nicht abgeschlossen.  ( Es fehlt zum Beispiel  f ₂  ° f ₃)  :  Damit ist  d)  richtig
 —   fehlt zu  f ₆  das inverse Element:  ( Es ist  f ₆  °  f ₄  =  f ₁ ,  und dies ist das neutrale Element : Damit ist e) ist richtig

a)  ist falsch,  zu   f ₃  fehlt nicht das inverse Element (   f ₃  ist selbstinvers).
b)  ist falsch,  die Begründung stimmt nicht (siehe a)).
c)  ist falsch,  bei der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ist nicht die Nullfunktion, sondern die Identität neutral.