Frage 1:

Zum Einstieg bitte ankreuzen, welche der folgenden Behauptungen wahr sind:

 

   a)       In jeder Gruppe gibt es Elemente, für die das Kommutativgesetz gilt

   b)       In manchen Gruppen gibt es Elemente, für die das Assoziativgesetz nicht gilt

   c)       Es gibt Gruppen mit exakt 25 Elementen

   d)       Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Subtraktion eine nichtkommutative Gruppe

   e)       Die Menge der geraden ganzen Zahlen bildet mit der Addition eine kommutative Gruppe
 

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Frage 2:

Bitte ankreuzen, welche der folgenden Gebilde  keine  Gruppen sind:

 

   a)       Alle positiven reellen Zahlen (inklusive 0) bezüglich der Addition

   b)       Alle positiven reellen Zahlen (exklusive 0) bezüglich der Multiplikation

   c)       Alle rationalen Zahlen bezüglich der Subtraktion

   d)       Alle ungeraden ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation

   e)       Alle komplexen Zahlen bezüglich der Addition

 

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Frage 3:
Jetzt beschäftigen wir uns mit endlichen Strukturen 

Wahr        oder   falsch   ?

 

Die folgende Verknüpfungstafel ist eine Gruppentafel
 


 
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Frage 4:
Wahr         oder   falsch  ?
 

Die folgende Verknüpfungstafel ist eine Gruppentafel 
 
 

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Frage 5:
 Die Verknüpfungstafel von der letzten Frage gehört nicht zu einer Gruppe. Sehen wir sie uns noch einmal an:

     
 

Warum kann dies keine Gruppe sein? Bitte alle richtigen Argumente ankreuzen:

   a)      Die Verknüpfung ist nicht abgeschlossen

   b)      Die Verknüpfung ist nicht kommutativ

   c)      Die Verknüpfung ist nicht assoziativ

   d)      Es existiert kein neutrales Element
 

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Frage 6:
Wenn in einer Verknüpfungstafel jedes Element in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vorkommt, dann

   a)      Kann es sich um eine Gruppe handeln

   b)      Muss es sich um eine Gruppe handeln

   c)      Kann es sich nicht um eine Gruppe handeln

   d)      Muss es sich nicht um eine Gruppe handeln

 

Bitte die richtigen Behauptungen ankreuzen!
 

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Frage 7:
Man ergänze - wenn möglich - die unvollständigen Verknüpfungstafeln so, dass eine Gruppe entsteht:

 
* | x y z
| —— —— ——
x | y x
y |
z |
   
* | x y z
| —— —— ——
x | y x
y |
z |
  kann zu einer Gruppe ergänzt werden   kann zu einer Gruppe ergänzt werden
  kann nicht zu einer Gruppe ergänzt werden   kann nicht zu einer Gruppe ergänzt werden

Bitte die  richtigen Behauptungen ankreuzen! 

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Frage 8:
Man ergänze die folgende Verknüpfungstafel zu einer Gruppentafel (dies ist möglich!) und entscheide, zu welcher Gruppe sie isomorph ist:
 
* | u x y z
—— | —— —— —— ——
u | y
x |
y |
z | y

 
  a)      Sie ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe

  b)      Sie ist isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung 4
 

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Frage 9:
Was wissen wir über Gruppen der Ordnung 5,6,7 und 8?  Bitte die richtigen Behauptungen ankreuzen:

   a)       Bis auf Isomorphie gibt es nur eine Gruppe der Ordnung 5

   b)       Jede Gruppe der Ordnung 6 ist kommutativ

   c)       Es gibt mindestens vier Gruppen der Ordnung 8, die nicht isomorph sind

   d)       Jede Gruppe der Ordnung 7 ist zyklisch

   e)       Von drei Gruppen der Ordnung 6 sind mindestens zwei isomorph.
 

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Frage 10:
 Gleich ist es geschafft!

 

Die Gruppe  ({1,2,3,4},·5)   (Beispiel 2 ·5 4 = 3 wegen 2 · 4 = 1 ·5 +  3) ist isomorph zur

a)   zyklischen Gruppe  ({0,1,2,3}, +4)

b)   Kleinschen Vierergruppe
 

 

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Antwort zur Frage 1 
  a) Richtig  ( In jeder Gruppe gibt es Elemente, für die das Kommutativgesetz gilt)   Für das neutrale Element immer erfüllt.

  b)  Falsch  (In manchen Gruppen gibt es Elemente, für die das Assoziativgesetz nicht gilt)   Die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für alle Elemente gehört zu den Gruppenaxiomen.

  c)  Richtig  (Es gibt Gruppen mit exakt 25 Elementen)   Zu  jeder  Zahl  n  gibt es die Gruppe  ({0,1,...,n-1},+n) , also auch für  n = 25.

  d)  Falsch  (Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Subtraktion eine nichtkommutative Gruppe)   Die Subtraktion ist nicht assoziativ (beispielsweise ist 1 - ( 1 - 1 ) ≠ ( 1 - 1 ) - 1 ).

  e)  Richtig  (Die Menge der geraden ganzen Zahlen bildet mit der Addition eine kommutative Gruppe)   Wer es nicht glaubt, möge die Axiome selbst überprüfen!

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Antwort zur Frage 5:

 
 

 

ist keine Gruppentafel, denn die Verknüpfung ist weder assoziativ ( Gegenbeispiel  a*(b*c) = a*b = a,  (a*b)*c = a*c = c ), noch existiert ein neutrales Element (keine Zeile stimmt mit der Kopfzeile a b c überein).

Damit waren  c)  und  d)  anzukreuzen und nicht  a)  ( die Verknüpfung ist abgeschlossen ) und nicht  b)  ( die Verknüpfung ist kommutativ).
 

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Antwort zur Frage 2 
 a) Alle positive reelle Zahlen (inklusive 0) bezüglich der Addition: Keine Gruppe, es fehlen inverse Elemente 

 b) Alle positive reelle Zahlen (exklusive 0) bezüglich der Multiplikation: Gruppe mit neutralem Element 1, zu jeder positiven reellen Zahl  r  ist auch das inverse Element  1/ positiv.

 c) Alle rationale Zahlen bezüglich der Subtraktion: Keine Gruppe, da nicht assoziativ (siehe auch Frage 1).

 d) Alle ungerade ganze Zahlen bezüglich der Multiplikation: Keine Gruppe, es fehlen inverse Elemente.

 e) Alle komplexe Zahlen bezüglich der Addition: Gruppe mit neutralem Element 0, zu jeder komplexen Zahl  z  ist -z  invers.
 

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Antwort zur Frage 8 
Gegeben waren die Verknüpfungen  u*y = y  und  z*z =y .

Aus  u*y = y  kann man erkennen, dass u neutral ist. Damit kann keine Isomorphie zur Kleinschen Vierergruppe vorliegen, denn bei ihr steht in der Hauptdiagonalen stets das neutrale Element, hier ist aber z*z = y verlangt. Es liegt daher Isomorphie zur zyklischen Gruppe der Ordnung 4 vor. Insgesamt erhält man
 

* | u x y z
—&mdash | —&mdash —&mdash —&mdash —&mdash
u | y z
x | x y z u
y | y z u x
z | z u x y

 

( Da u neutral ist, liegen die erste Zeile und Spalte der Verknüpfungstafel fest. Die letzte Zeile (und Spalte) kann nur durch   z*x=u    (x*z=u) und   z*y=x    (y*z=x) ergänzt werden, usw)
 

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Antwort zur Frage 10

a)  ist richtig:

 

Weil

 

2 ·5 2   =  4

nicht das neutrale Element  1  ergibt, kann keine Isomorphie zur Kleinschen Vierergruppe vorliegen ( siehe auch Frage 8 ). Da es nur zwei Möglichkeiten der Isomorphie für Gruppen der Ordnung 4 gibt, muss a) gelten.
 

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Antwort zur Frage 3: 

Dies ist eine Gruppentafel mit neutralem Element   b.

 

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Antwort zur Frage 7: 
*| xy z
------| ------------ ------
x| yx ?
y| ?? ?
z| ?? ?

Kann nicht zu einer Gruppe ergänzt werden, denn wegen der angefangenen ersten Zeile muss gelten  x*z = z. Damit muss x neutral sein, was im Widerspruch zu x*y = x steht.

 
 
* | x y z
------ | ------ ------ ------
x | y ? x
y | ? ? ?
z | ? ? ?
Kann zu einer Gruppe ergänzt werden: Aus den gegebenen Verknüpfungen folgt zwingend x*y = z, ferner muss  z  neutral sein. Damit sind die letzte Zeile und Spalte klar. Die mittlere Zeile ergibt sich jetzt von selbst (welcher Buchstabe fehlt noch in welcher Spalte?)
* | x y z
------ | ------ ------ ------
x | y z x
y | z x y
z | x y z
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Antwort zur Frage 6:
Wenn in einer Verknüpfungstafel jedes Element in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vorkommt, dann

 

  a) Kann es sich um eine Gruppe handeln: Richtig, haben wir in Frage 3 behandelt

  b) Muss es sich um eine Gruppe handeln: Falsch, haben wir in Frage 4 behandelt

  c) Kann es sich nicht um eine Gruppe handeln: Falsch, haben wir in Frage 3 behandelt

  d) Muss es sich nicht um eine Gruppe handeln: Richtig, haben wir in Frage 4 behandelt
 

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Antwort zur Frage 9:
  a) Bis auf Isomorphie gibt es nur eine Gruppe der Ordnung 5 ist richtig: Alle Gruppen der Ordnung 5 sind isomorph zur zyklischen Gruppe ({0,1,2,3,4},+5) , genannt Z5.

  b) Jede Gruppe der Ordnung 6 ist kommutativ ist falsch: Die Gruppe S3 aller Permutationen einer dreielementigen Menge hat die Ordnung 6 und ist nicht kommutativ.

  c) Es gibt mindestens vier Gruppen der Ordnung 8, die nicht isomorph sind ist richtig: Es gibt sogar fünf paarweise nicht isomorphe solcher Gruppen.

  d) Jede Gruppe der Ordnung 7 ist zyklisch ist richtig: 7 ist eine Primzahl ist und alle Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch.

  e) Von drei Gruppen der Ordnung 6 sind mindestens zwei isomorph ist richtig: Jede dieser Gruppen ist entweder isomorph zur zyklischen Gruppe Z6 oder zur symmetrischen Gruppe S3.
 

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Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
-----
Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 

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H J Samaga, 12.06.01 / 13.06.05