a)       Subtraktion

  b)       Addition

  c)       Multiplikation

  a)       kann kommutativ sein

  b)       muss kommutativ sein

  c)       kann es nicht geben

  a)       kann eine Untergruppe mit drei Elementen haben

  b)       kann eine Untergruppe mit vier Elementen haben

  c)       hat stets eine Untergruppe mit zwei Elementen

  Zwei Gruppen können  homomorph  sein, ohne  isomorph  zu sein

  Zwei Gruppen können  isomorph  sein, ohne  homomorph  zu sein

  Sei  Z  die Menge der ganzen Zahlen, für eine feste natürliche Zahl   n  sei  n Z := {n·z | z  ∈ Z }.

  a)       ( Z,+ )  ist eine zyklische Gruppe

  b)       ( Z,+ )  und  ( 2 Z,+ )  sind isomorph

  c)       ( 2 Z,+ )  ist eine echte Untergruppe von  ( Z,+ )

  d)       Der Durchschnitt von  ( 2 Z,+ )  und  ( 3 Z,+ )  ist leer

     Wahr        oder falsch?  

  Zyklische Gruppen können nichtzyklische Untergruppen haben

  a)       Sie hat 2³ Elemente

  b)       Sie ist zyklisch

  c)       Sie ist nicht kommutativ

  d)       Sie hat mehr als drei echte Untergruppen

  e)       Sie ist isomorph zur Diedergruppe  D₃

  Für  x, y &isin Z  definieren wir   x * y := x + y + 1

  Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

  a)       ( Z,* ) ist ein Gruppoid

  b)       ( Z,* ) ist eine Halbgruppe

  c)       ( Z,* ) ist eine Gruppe

  d)       a) bis c) sind alle falsch

Die Gruppen  ( Z,+ )  und  ( Z,* )  aus Frage 9 mit  x * y := x + y + 1  sind isomorph
 

  Die ganzen Zahlen mit der

  a)  Subtraktion bilden  keine  Gruppe, denn es gibt kein linksneutrales Element

  b)  Addition bilden eine Gruppe. Dies sollte hinlänglich bekannt sein und wird hier nicht näher erläutert.

  c)  Multiplikation bilden  keine  Gruppe, denn nicht jedes Element besitzt bezüglich der Multiplikation in  Z  ein Inverses.

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 Das Kreuz gehört natürlich zu   falsch:

 
  Von der letzten Frage wissen wir, dass Isomorphie nichts anderes ist als Homomorphie plus Zusatzeigenschaft bijektiv.
 
  Daher kann die Behauptung aus logischen Gründen nicht stimmen!

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 Richtig ist a):

 
Natürlich gibt es Gruppen mit sechs Elementen, man denke beispielsweise an die Modulo-6-Addition auf der Menge  {0,1,2,3,4,5}  oder an alle Drehungen und Spiegelungen, die ein gleichseitiges Dreieck auf sich abbiden (Hintereinanderausfürung alsVerknüpfung), damit ist c) hochgradig falsch.

Genauer: Jede Gruppe der Ordnung 6 ist entweder isomorph zur kommutativen Gruppe  ( Z₆,+₆ )  oder zur nichtkommutativen symmetrischen Gruppe  S₃.

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  Das Kreuz gehört zu  Wahr:

  Eine ganz einfache Frage, wenn man weiss, was homomorph (= strukturerhaltend) und isomorph (= strukturerhaltend + bijektiv) bedeutet.

  Da jede Gruppe  G  zur trivialen Gruppe  {e}  mit einem Element homomorph ist (man bilde jedes Element von  G auf  das einzige Element  e  ab, die Strukturerhaltung folgt nahezu automatisch), sind  G  und  {e}  homomorph, aber im Fall, dass  G  mehr als ein Element besitzt, nicht isomorph.

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  a):  Da es genau 3! = 6 Bijektionen zwischen zwei drei-elementigen Mengen gibt, ist a)  FALSCH
 
  b) und c):  Da  S₃  nicht abelsch ist (Für Leute, die die Zykelschreibweise kennen:  (12)(13)  ist verschieden von  (13)(12))  und zyklische Gruppen grundsätzlich abelsch sind (Beweis??), ist b)   FALSCH  und c)  RICHTIG
 
  d):  RICHTIG: Außer den trivialen gibt es noch folgende Untergruppen (Wir verwenden erneut die Zykelschreibweise):
       U₁ := { id, (12) }, U₂:= { id, (13) }, U₃ := { id, (23) }, U₄:= { id, (123), (132) }.
 
 e):  RICHTIG: Die Diedergruppe  D₃  besteht aus den insgesamt sechs Abbildungen (Drehungen und Spiegelungen), die ein gleichseitiges Dreieck auf sich abbilden. Jede Permutation aus  S₃  entspricht damit eineindeutig einer Abbildung aus  D₃, die Verknüpfung ist jeweils die Hintereinanderausführung.

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  Die Behauptung ist  falsch:

 
  Ein Satz besagt, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ebenfalls zyklisch ist.
  Ein Beweis hierzu findet man in jedem gängigen Lehrbuch über Gruppentheorie.

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  Es liegt Isomorphie vor, als Beweis geben wir eine strukturerhaltende und bijektive Abbildung  f  von  ( Z, + )  nach  ( Z, * )  an:   f ( x ) := x - 1 .

  Über die Bijektivität soll hier kein Wort verloren werden, zur Strukturerhaltung (Kurzform):

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  a)  ist   RICHTIG:  ( Z,+ )  ist die bis auf Isomorphie einzige unendliche zyklische Gruppe.

  b)  ist   RICHTIG:   Die Bijektion   f : Z → 2 Z  mit   f ( z ) := 2 z  ist strukturerhaltend. (Beweis??)

  c)  ist   RICHTIG:   Die Zahl 1 gehört zu   Z, aber nicht zu  2 Z. (Der Nachweis der Gruppeneigenschaften von  ( 2 Z,+ )  sei als Übung empfohlen)

  d)  ist   FALSCH:   2 Z  und  3 Z  sind beides  Untergruppen, und der Durchschnitt von Untergruppen ist  nie  leer (Stichwort neutrales Element)

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 Kreuze bei a) und c):

Fangen wir mit der falschen Aussage an:
  b) ist falsch, dies folgt aus dem Satz von Lagrange: Die Ordnung einer Untergruppe (= Anzahl der Elemente) muss stets ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Nun zu den korrekten Behauptungen:
  Bis auf Isomorphie gibt es genau zwei Gruppen mit sechs Elementen, nämlich  Z₆  und  S₃. Beide Gruppen haben Untergruppen der Ordnung drei und zwei.
  Bei  Z₆  sind dies  { 0, 3 }  bzw.  { 0, 2, 4 }.
  Die Untergruppen der symmetrischen Gruppe  S₃  werden uns noch später begegnen!
 

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