Wir haben gelernt, dass jede Gruppe G aus einer nicht leeren Menge mit einer binären Verknüpfung * : G × G → G besteht, für die einige Bedingungen gelten müssen.

 Welche der folgenden Eigenschaften (Schlagworte) müssen jede Gruppe erfüllen? (Kreuz an entsprechende Stelle)

  a)          assoziativ 
  b)          kommutativ
  c)          endlich
  d)          neutrales Element

Welche Eigenschaften fehlen noch?

  a)        ∃ x ∈ G   ∀ a ∈ G :   a * x = e    : In  G  gibt es ein festes Element  x  mit der Eigenschaft   a * x = e  für alle Elemente   a .
  b)        ∀ x ∈ G  ∃ y ∈ G :   x * y = e    : In   G   findet man zu jedem Element ein weiteres, deren Verknüpfung miteinander das neutrale Element ergibt.
  c)        ∀ x,y ∈ G  gilt    y * x =  x * y

Wahr       oder falsch  ?

Die ganzen Zahlen mit der Addition als binäre Verknüpfung bilden eine abelsche Gruppe.

Bei welchen der folgenden Strukturen handelt es sich um Gruppen?

  a)        ( IN₀ , + )         (Natürliche Zahlen inklusive 0, normale Addition) 
  b)       ( Z  , * )             (Ganze Zahlen, normale Multiplikation) 
  c)       ( IR , + )            (Reelle Zahlen, normale Addition) 
  d)       ( Q \ {0}, * )      (Rationale Zahlen ohne 0, normale Multiplikation) 
 

 In jeder Gruppe ist das neutrale Element  zu sich selbst invers
 

Zu  jeder natürlichen Zahl  n > 0 gibt es eine Gruppe mit genau  n  Elementen

  a)  das neutrale Element dieser Gruppe :         sowie     b)  das inverse Element von  1  :  
 

Wahr       oder falsch   ?

Für jede Primzahl   p ≠ 2   ist in der Gruppe  ( Z_p, +_p ) das neutrale Element das einzige selbstinverse Element.
 

Die Menge aller bijektiven Abbildungen der reellen Zahlen auf sich mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung bilden eine Gruppe
 

  a)       Die Abbildung  f  mit   f ( x ) = 0  für jedes  x  ist das neutrale Element.
  b)       Die Abbildung  f  mit  f ( x ) = x   für jedes  x  ist das neutrale Element.
  c)       Diese Gruppe ist kommutativ
  d)       Diese Gruppe ist nicht kommutativ

a*(b*c) = (a*b)*c   für alle Elemente einer Gruppe.  a) war also anzukreuzen.

zu b) und c): Es gibt  endliche und unendliche Gruppen, manche Gruppen sind kommutativ, andere nicht - zu jedem dieser Kombinationen gibt es Beispiele, doch dazu eventuell später. Jedenfalls durften b) und c) nicht angekreuzt werden.

zu d): Die Existenz eines neutralen Elements gehört zu Gruppen wie das Amen zur Kirche, auf jeden Fall ein Kreuz bei d)! Und wer es total vergessen hat:

Ein Element  e  einer Gruppe ( G,*)  heißt neutrales Element  : ⇔   e*g = g*e = g  für alle  g  aus G .

 Für  x = e  ist dies wegen der Eigenschaften des neutralen Elements richtig.

Zu jedem Element  x ∈ G  gibt es ein Element  y ∈ G  mit der Eigenschaft  x * y = e

Dies ist Behauptung b).

a) und c) sind falsch: In a) wird behauptet, dass jedes Element das gleiche Inverse besitzt, während c) das nicht in jeder Gruppe gültige Kommutativgesetz beinhaltet.
 

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 —  Es gibt reelle bijektive Abbildungen (zum Beispiel die Identität)

 —  Die Verkettung von Bijektionen liefert wieder eine Bijektion, ferner ist diese Verknüpfung assoziativ. (Sollte man aus alten Studienzeiten wissen)

 —  Zu jeder Bijektion  f  gibt es eine inverse Bijektion  f ^-1   (Ebenfalls Uraltwissen)

 —  Der Rest wird in der nächsten Frage geklärt!
 

  a)  ( IN , + )            keine Gruppe, da inverse Elemente fehlen

  b)  ( Z  , * )             keine Gruppe, da inverse Elemente fehlen

  c)  ( IR , + )            Gruppe mit neutralem Element  0 , zu  a  ist  -a  invers

  d)  ( Q \ {0}, * )      Gruppe mit neutralem Element  1 , zu  a  ist   1 / a  invers  (zum Glück haben wir die Zahl  0  herausgenommen)
 

Für die gewöhnliche Addition heißt dies  x + x = 2 x = p .   p war aber als von 2 verschiedene Primzahl vorausgesetzt, ein Widerspruch.

Das einzige selbstinverse Element in dieser Gruppe ist daher das neutrale Element.

b)  Wegen  1 + 4 = 5    ist   1 +₅ 4 = 0 , also ist  4  invers zu  1 .
 

  b)    Die Abbildung  f = id  ( f ( x ) := x )  ist das neutrale Element: Jede Funktion, verknüpft mit  id , bleibt unverändert.

  c) und d)  Die Gruppe ist nicht kommutativ, dies zeigen wir an dem Beispiel  f ( x ) = 2 x  und g ( x ) =  x+1 :

    ( f  º g )( x ) =  f ( g ( x ))  =  f ( x+1 ) =  2 (x+1) = 2 x + 2

    ( g  º f )( x ) =  g ( f ( x ))  =  g ( 2 x ) =  2 x+1
 

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Näheres über diese Gruppe - auch bekannt unter dem Namen  ( Z_n, +_n )  -  findet man in jedem einführenden Lehrbuch über Algebra (Hornfeck, Meyberg, ...) oder auch im Skript.

  —  Die Menge der ganzen Zahlen ist nicht leer.

  —  Die Addition von ganzen Zahlen ergibt wieder eine ganze Zahl  ( binäre Verknüpfung )

  —  Das Assoziativgesetz ist für die Addition erfüllt  ( a + ( b + c ) = ( a + b ) + c )

  —  Es gibt ein neutrales Element   (  a + 0 = 0 + a = a   )

  —  Zu jeder ganzen Zahl  a  ist die ganze Zahl  - a  invers   (  a + ( - a ) = 0  )