Frage 1
Für beliebige Mengen  A  und  B  gelte:   ist Teilmenge von   B  und  B   ist Teilmenge von   A .

Welche der folgenden Behauptungen sind wahr?

a)  A  ist Element von  A × A  (kartesisches Produkt)
b)  ist Teilmenge von   A × A
c)  A × B  =    B × A
d)  B \ A  ist die leere Menge
e)  A = B

Ankreuzen:      a)      b)      c)      d)      e) 
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Frage 2
Um diese Frage richtig bearbeiten zu können, muss der Begriff   Potenzmenge   bekannt sein. (Menge aller Teilmengen)

Sei  A  eine Menge mit   Elementen. Wieviele Elemente besitzt die Potenzmenge von   A ?

  a)  kk
  b)  k² 
  c)  2k
  d)  k
 

  Ankreuzen:      a)      b)      c)      d) 
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Frage 3
Welche der folgenden Eigenschaften besitzt eine Ordnungsrelation?

  a)  Reflexivität
  b)  Symmetrie
  c)  Antisymmetrie
  d)  Transitivität

  Ankreuzen:      a)      b)      c)      d) 
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Frage 4
Wir wollen den Begriff der Reflexivität bei Relationen klären. Was muss für eine reflexive Relation auf  A  gelten?

  a)  Wenn  r  ein Element von   ist, dann ist   ( r,r )  ein Element der Relation
  b)  Wenn   ( r,s )  und  ( s,t )  zur Relation gehören, dann auch das Paar  ( r,t
  c)  Ein Paar  (r,s )  gehört nur dann zur Relation, wenn   r = s  gilt
  d)  Jedes Element von  gehört auch zur Relation

  Erst die Kreuzchen machen:     a)      b)      c)      d) 
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Frage 5
Jetzt geht es um Abbildungen. Sei  f  eine Abbildung von   nach  X . Welche der folgenden Eigenschaften gelten für   injektive  Abbildungen?

  a)  Zu jedem   a  aus  gibt es höchstens ein   aus   X  mit   f ( a ) = x
  b)  Zu jedem   aus  X  gibt es mindestens ein   a   aus   mit f ( a ) = x
  c)  Immer, wenn  und  b  aus   verschieden sind, sind auch   f ( a)  und   f ( b )  verschieden

  Erst die Kreuzchen machen:      a)       b)        c) 
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Frage 6
Zum Zusammenhang von   injektiv, surjektiv, bijektiv:  Was stimmt?

  a)   Aus bijektiv folgt surjektiv
  b)   Wenn surjektiv, dann auch injektiv
  c)   bijektiv genau dann, wenn injektiv und surjektiv
  d)   Alle Behauptungen   a) - c)  sind falsch

  Erst die Kreuzchen machen:      a)       b)        c)    d) 
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Frage 7

Wahr oder falsch?

Jede injektive Abbildungen einer Menge auf sich ist auch surjektiv
 

Erst das Kreuzchen machen:      Wahr       Falsch 
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Frage 8

Wahr oder falsch?

Zu jeder bijektiven Abbildung gibt es genau eine Umkehrfunktion
 

  Erst ein Kreuzchen machen:      Wahr       Falsch 
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Frage 9
Was sind Permutationen

  a)  Mengen mit paarweise verschiedenen Elementen
  b)  Abbildungen einer Menge auf sich, bei der alle Elemente permutieren (also keine Fixpunkte)
  c)  Injektive Abbildungen einer endlichen Menge auf sich
  d)  Surjektive Abbildungen einer endlichen Menge auf sich
  e)  Bijektive Abbildungen einer endlichen Menge auf sich

Ankreuzen         a)      b)      c)      d)      e) 
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Frage 10
Welche der folgenden Behauptungen über die Gleichmächtigkeit  von Mengen sind korrekt?

  a)  Wenn  und  Y  gleichmächtig sind, kann  keine echte Teilmenge von  Y  sein
  b)  Die Menge der natürlichen Zahlen ist gleichmächtig zur Menge der rationalen Zahlen
  c)  Wenn es eine Bijektion zwischen X  und Y  gibt, sind diese Mengen gleichmächtig
  d)  Die Menge der rationalen Zahlen ist gleichmächtig zur Menge der irrationalen Zahlen

  Ankreuzen:      a)      b)      c)      d) 
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Antwort zur Frage 1:            Richtig anzukreuzen waren  c),  d)  und  e):
Die Elemente eines kartesischen Produktes A × B sind Paare (a,b) mit a aus A und b aus B. Daher sind a) und b) auch unabhängig von der Bedingung an A und B falsch.

Die Voraussetzung:  ist Teilmenge von  B  und ist Teilmenge von  A  bedeutet nichts anderes als Mengengleichheit A = B. Daher sind die Aussagen c) und e) Selbstgänger.

d) stimmt ebenfalls wegen A = B, denn A \ A ist die leere Menge.

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Antwort zur Frage 5:                       Kreuze  bei  a)  und  c):
 a)  Zu jedem   a  aus   gibt es höchstens ein  aus   X  mit  f ( a ) = x :
    Gilt für jede Abbildung, also auch für injektive Abbildungen.

 b)  Zu jedem  aus  X  gibt es mindestens ein  aus  mit   f ( a ) = x :
    Dies ist die (nicht gefragte) Definition der Surjektivität. Nicht jede surjektive Abbildung ist injektiv!

 c)  Immer, wenn   und  b  aus  verschieden sind, sind auch f ( a )  und  f ( b )  verschieden :
    Hier wird injektiv erklärt. 
 

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Antwort zur Frage 2:               Die gesuchte Zahl steht bei c:
   Für eine Menge mit   Elementen gilt

  a)  k ist die Anzahl der Elemente aller Abbildungen von   A  nach  A .
  b)  k²  ist die Anzahl der Elemente von A × A
  c)  2ist die gesuchte Anzahl der Elemente der Potenzmenge, Beweis in Lehrbüchern oder im Skript (Erstes Semester)
  d)  k!  ist die Anzahl der Elemente aller bijektiven Abbildungen von  A  nach  A .
 

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Antwort zur Frage 9                           Richtig sind c), d)  und e):
  a) ist ein ziemlicher Unsinn, denn dies gilt erstens für jede Menge und hat zweitens nichts mit Permutationen zu tun.

  b)  ist zwar fantasievoll, aber trotzdem falsch

  e)  ist richtig, denn so definiert man Permutationen

  c) und d) sind richtig, denn bei  endlichen  Mengen bedeuten injektiv, surjektiv und bijektiv dasselbe!

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Antwort zur Frage 4:                         a)  ist richtig:

   Reflexivität bedeutet für eine Relation, dass jedes Element zu sich selbst in Relation steht, dies ist die Aussage von a).

  b)  Wenn  ( r,s ) und ( s,t) zur Relation gehören, dann auch  das Paar  ( r,t):    Hier wird  nicht reflexiv, sondern transitiv erklärt.

  c)  Ein Paar ( r,s ) gehört nur dann zur Relation, wenn  r = s   gilt :  Reflexive Relationen dürfen auch Paare  ( r,s )  mit verschiedenen Elementen   und   s  enthalten, daher falsch.

  d)  Jedes Element von  gehört auch zur Relation :  Umgangssprachlich vielleicht mit Einschränkungen zu akzeptieren, mathematisch aber viel zu ungenau und deshalb keine korrekte Antwort.

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Antwort zur Frage 8:                          Wahr:

Wenn eine Abbildung  fA -->  B  bijektiv ist, ist jedem a aus  genau ein  b aus  zugeordnet und umgekehrt gehört zu jedem  aus  genau ein   aus   A. (sogenannte eineindeutige Zuordnung).

Daher kann man die ganze Prozedur umkehren, man erhält genau eine ebenfalls bijektive Abbildung von nach  A, dies ist die Umkehrfunktion.
 

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Antwort zur Frage 7:                       Falsch:

Diese Behauptung ist nur für endliche Mengen richtig, sonst gibt es viele Gegenbeispiele, man denke an die reelle e - Funktion: Injektiv, aber keine negative reelle Zahl besitzt ein Urbild. 
 
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Antwort zur Frage 10:              Hoffentlich  nur b)  und  c)  angekreuzt:
a)  Das ist das Verrückte bei unendlichen Mengen: Es kann bijektive Abbildungen von einer Menge (Beispiel: Ganze Zahlen) auf eine echte Teilmenge (Beispiel: Gerade Zahlen) geben ( f ( x ) = 2 x ), damit   ist nach c) die echte Teilmenge der geraden Zahlen gleichmächtig zur Menge der ganzen Zahlen.

  b)  ist richtig, man erinnere sich an das Cantorsche Diagonalverfahren.

  c)  Wenn es eine Bijektion zwischen X  und   Y  gibt, sind diese Mengen gleichmächtig: So und nicht anders ist die Gleichmächtigkeit von Mengen definiert.

  d)  Rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen sind nicht gleichmächtig, sonst wären auch rationale und reelle Zahlen gleichmächtig, dies stimmt aber nicht (Nachweis indirekt, indem man annimmt, man könnte die reellen Zahlen aus dem Intervall  [0,1]  durchnummerieren ...

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Antwort zur Frage 6:                     KREUZE bei a) und c):

Bijektiv ist die Zusammenfassung von injektiv und surjektiv, damit sind a)  und  c)  richtig 

  b)  ist falsch: Die reelle Funktion  f ( x ) :=  x³ - x  ist surjektiv, aber nicht injektiv  ( f(0) = f(1) )

  d):  Da a) und  c)  richtig sind, ist d) falsch. 
 

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Antwort zur Frage 3:          Kreuze bei  a),  c),  d):

Äquivalenzrelationen sind reflexiv, symmetrisch und transitiv.
 
Ordnungsrelationen sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
 

Gewissensfrage: Was bedeuten denn diese Begriffe?
 

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Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
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Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 

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H. J. Samaga, 02.05.01 / 04.07.01 / 30.04.05