Bitte die Aussagen ankreuzen, die  nicht  zu den Axiomen einer affinen Ebene gehören:

  a)   Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen

  b)   Auf jeder Geraden liegen gleich viele Punkte

  c)   Durch drei Punkte, die nicht genau auf einer Geraden liegen, geht genau ein Kreis

  d)   Es gibt zwei Punkte vom Abstand  1

Welche Punktmenge ist mit  { X ∈ P  |  { A,X }  ÷  { B,X } }  gemeint?

  a)   Ein Kreis mit Mittelpunkt  X  durch die Punkte  A  und  B

  b)   Die Mittelsenkrechte von  { A,B }

  c)   Die Mittelpunkte aller Kreise durch die Punkte  A  und  B

  d)   Die Gerade durch die Punkte  A  und  B

Jede affine Ebene, in der man auf der Menge  P₂  eine Äquivalenzrelation definieren kann, ist eine normale euklidische Ebene.
 

Wahr         Falsch 

  a)   Jedes Parallelogramm  ABCD  besitzt äquivalente Gegenseiten  ( D.h.  { A,B }  ÷  { C,D } )

  b)   Zu jedem Punkt  P  und Kreis  k  gibt es eine Tangente durch  P  an  k

  c)   Durch drei paarweise verschiedene Punkte geht genau ein Kreis

  d)   Jede Gerade durch die Punkte A  und  B  schneidet den Kreis  k_A ( B )  in zwei verschiedenen Punkten

Welche der folgenden Eigenschaften gelten für eine Bewegung in der Anschauungsebene?

  a)   Bewegungen erhalten den euklidischen Abstand

  b)   Bewegungen sind bijektiv

  c)   Bewegungen erhalten Parallelität

  d)   Jede Bewegung hat keinen, einen oder unendlich viele Fixpunkte

  e)   Bei jeder Bewegung sind Gerade und Bildgerade parallel

Bewegungen bilden Kreise auf Kreise und Mittelsenkrechte auf Mittelsenkrechte ab
 

Wahr         Falsch 

  a)   Die Abbildung  f  mit  f ( ( x , y ) ) := ( x − 1 , y + 2 )  ist eine Translation

  b)   Die Abbildung  g  mit  g ( ( x , y ) ) := ( y − 1 , x + 2 )  ist eine Translation

  c)   Jede Translation ist eine Bewegung

  d)   Jede Bewegung ist eine Translation

Es geht um Abbildungen  f, g, h, k , die folgendermaßen definiert sind:

 

f ( ( x , y ) ) := ( x − 1 , y + 1 )	g ( ( x , y ) ) := ( 2 − x , 2 − y )
h ( ( x , y ) ) := ( y − 1 , x + 2 )	k ( ( x , y ) ) := ( y − 1 , x + 1 )

 

Bitte die richtige Abbildung (d.h. den entsprechenden Buchstaben  f, g, h  oder  k in das richtige freie Kästchen eintragen:

Die Abbildung    ist eine Translation	Die Abbildung    ist eine Geradenspiegelung
Die Abbildung    ist eine Punktspiegelung	Die Abbildung    ist eine Gleitspiegelung

In Kurzform lauten die Axiome einer affinen Ebene

  (AE 1)  Je zwei Punkte legen eine Gerade fest
  (AE 2)  Zu jeder Geraden und jedem Punkt gibt es genau eine parallele Gerade durch diesen Punkt
  (AE 3)  Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.

Wir stellen fest:

  a) Es gibt drei Punkte, die nicht gemeinsam auf einer Geraden liegen : Es handelt sich um eines der Axiome, siehe oben

  b) Auf jeder Geraden liegen gleich viele Punkte : Kein Axiom, kann man aber in jeder affine Ebene beweisen

  c) Durch drei Punkte, die nicht genau auf einer Geraden liegen, geht genau ein Kreis : Kein Axiom

  d) Es gibt zwei Punkte vom Abstand 1 : Kein Axiom

c) und d) sind zwar in der Anschauungsebene richtig, die Begriffe Kreis und Abstand sind aber nur in speziellen affinen Ebenen sinnvoll.

Eine normale euklidische Ebene ist per Definition eine affine Ebene mit einer Äquivalenzrelation ÷ ,  in der zusätzlich das sogenannte  Parallelogrammaxiom  (PG)  und das  Kreisschnittaxiom  (KS)  erfüllt sein müssen.

(PS) lautet in Kurzform: Jedes Parallelogramm  ABCD  besitzt äquivalente Gegenseiten ( {A,B}  ÷  {C,D} ).

(KS) lautet in Kurzform: Der Durchschnitt des Kreises  k_A(B) := { X ∈ P  |  {A,X}  ÷  {A,B} }  und der Geraden durch  A  und  B  besteht aus zwei Punkten.

a) entspricht dem Parallelogrammaxiom, d) dem Kreisschnittaxiom; diese beiden Axiome müssen in normalen euklidischen Ebenen erfüllt sein.

b) Zu jedem Punkt  P  und Kreis  k  gibt es eine Tangente durch  P  an  k : Wird nicht verlangt und ist außerdem Unsinn, man denke an den Einheitskreis in der Anschauungsebene und einen Punkt innerhalb.

c) Durch drei paarweise verschiedene Punkte geht genau ein Kreis: Dieses Axiom gehört zu Möbiusebenen und hat nichts mit normal und euklidisch zu tun.

Auf jeder nichtleeren Menge kann man mit einer beliebigen Partition (einer Einteilung in nichtleere, sich nicht überlappende Teilmengen) eine Äquivalenzrelation erzeugen – dies wurde bereits im ersten Semester behandelt.

Spannend wird die Sache allerdings erst, wenn man sich für Äquivalenzrelationen mit interessanten Zusatzeigenschaften interessiert, so kommt man beispielsweise zu normalen euklidischen Ebenen.

a) Richtig:  Kann durch einfaches Nachrechnen gezeigt werden, kam auch bei den Übungen vor.

b) Falsch:  g( (x,y) ) := (y-1,x+2)  bildet die Gerade  g₀  auf die hierzu nicht parallele Gerade g_0,2  ab, kann deshalb keine Translation sein.

c) Richtig:  Kann durch einfaches Nachprüfen der relevanten Eigenschaften (bijektiv, abstandserhaltend, Bildgerade und Gerade parallel) gezeigt werden. Für Hörer/innen meiner Vorlesung: Im Kapitel über Bewegungen gab es hierzu ein Korollar.

d) Falsch:  Es gibt Bewegungen (Drehung, Punktspiegelung), die keine Translationen sind.

Man erinnere sich an die Frage 2, in der geklärt wurde, dass man in  jeder  affinen Ebene auf der Menge  P₂  eine Äquivalenzrelation definieren kann.

(Ein zugegebenermaßen ziemlich langweiliges Beispiel für so eine Äquivalenzrelation ist die Relation  {A,B}  ÷  {C,D}   : ⇔    {A,B} ,  {C,D}  ∈  P₂   (hier stehen zwei Strecken immer zueinander in Relation).
 

ABER:  Nicht jede affine Ebene ist eine normale euklidische Ebene (siehe nächste Frage)!

Bewegungen sind insbesondere distanztreue Kollineationen, und alle distanztreue Kolineationen bilden Kreise auf Kreise und Mittelsenkrechte auf Mittelsenkrechte ab, dies findet man in der Fachliteratur oder als Satz meiner Vorlesung.

Jede Bewegung  f  ist nach Definition eine Kollineation. Damit liegt eine bijektive und parallelitäterhaltende Abbildung vor.

Für die zugehörige Äquivalenzrelation  ÷  gilt ferner  {A,B}  ÷  {f(A),f(B)}  für alle Punktepaare aus  P₂

Damit sind insgesamt a), b) und c) richtig.

Auch d) stimmt: Translationen sind Bewegungen ohne Fixpunkt, Drehungen solche mit genau einem Fixpunkt. Weil jede distanztreue Abbildung mit mehr als einem Fixpunkt nach einem hoffentlich bekkannten Satz (siehe z.B. Vorlesung) eine Geradenspiegelung oder die Identität ist, liegen sofort unendlich viele Fixpunkte vor.

e) ist falsch, hierzu als Gegenbeispiel die Geradenspiegelung an  g_0,0  ( x - Achse ) : Diese Bewegung bildet die Gerade  g_1,0  auf die hierzu nicht parallele Gerade  g_-1,0  ab.

Die Abbildung

    f ( (x,y) ) := ( x − 1 , y + 1 )    ist eine Translation (Jede Gerade auf parallele Gerade, kein Fixpunkt)

    g ( (x,y) ) := ( 2 − x , 2 &minus y )    ist eine Punktspiegelung mit einzigem Fixpunkt (1,1)

    h ( (x,y) ) := ( y − 1 , x + 2 )    hat keinen Fixpunkt, ist aber keine Translation (siehe Frage 9): Gleitspiegelung

    k ( (x,y) ) := ( y − 1 , x + 1 )    ist eine Geradenspiegelung mit der Spiegelachse  g_1,1.

1. Der euklidische Abstand führt zu einer Äquivalenzrelation auf der Menge der Punktepaare.
    Beachte: Punktepaare  {A,B}  und  {C,D}  stehen in Relation, wenn die Länge der Strecke  A B  gleich der Länge der Strecke  C D  ist.
    Die notwendigen Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitivit überprüfe man/frau in Eigenregie.

2. Parallelogrammaxiom und Kreisschnittaxiom sind in der Anschauungsebene erfüllt.
    (Wer Schwierigkeiten hiermit hat, möge sich den jeweiligen Sachverhalt aufzeichnen.)

Damit erfüllt die Anschauungsebene die Axiome einer normalen euklidischen Ebene.

Um diese Frage richtig beantworten zu können, muss man sich mit einigen Definitionen auskennen.

Sei eine affine Ebene mit einer Äquivalenzrelation  ÷  auf  P₂  gegeben (dies ist immer möglich, siehe Frage 2).

Die zu untersuchende Menge  { X ∈ P  |  { A,X }  ÷  { B,X } }  besteht aus allen Punkten, die zu den gegebenen Punkten  A  und  B  in Relation stehen (oder konkret: die von  A  und  B  die gleiche Entfernung haben).

Zu den Mengen in a) und d):
   Ein Kreis oder eine Gerade durch  A  und  B  enthält auf jeden Fall  A , dieser Punkt gehört aber nicht zu der zu untersuchenden Menge.

Zu b): Die Mittelsenkrechte von  {A,B} : Nach Definition ist  m_A,B := { X ∈ P  |  {A,X}  ÷  {B,X}  }.
   Wegen  {B,X} = {X,B}  ist dies die gesuchte Menge.

Zu c): Der Mittelpunkt eines jeden Kreises durch  A  und  B  steht zu diesen Punkten in Relation. Es handelt sich ebenfalls um die Menge  m_A,B , also auch richtig.

P S :  Warum der Name  Mittelsenkrechte sinnvoll ist, mache man sich in einer Skizze für die Anschauungsebene klar!