Auf einem Kindergeburtstag befinden sich mit dem Geburtstagskind insgesamt 12 Kinder im Alter von 9 bis 12 Jahren. Das Geburtstagskind behauptet, dass garantiert mindestens vier Kinder gleich alt sind. Das Geburtstagskind hat recht.

Wahr        Falsch  

In jeder siebenelementigen Teilmenge M von {1,2,...,12} gibt es mindestens eine zweielementige Teilmenge, deren Elemente teilerfremd sind.

Wahr        Falsch  

Eine Gruppe von 51 Äpfelpflückern benutzt zum Äpfelpflücken Eimer, in die jeweils genau 50 Äpfel passen.

Zu jedem Zeitpunkt haben mindestens zwei Äpfelpflücker die gleiche Anzahl an Äpfeln in ihren Eimern.

Wahr        Falsch  

Ein kleiner Hühnerhof verwendet zur Verstauung der Eier Eierpaletten für jeweils 30 Eier.

a) Wie viele Hühner darf der Hühnerhof höchstens haben, damit mindestens 2 Eier einer Palette vom selben Huhn stammen?

b) Wie viele Hühner darf der Hühnerhof höchstens haben, damit immer mindestens 5 Eier einer Palette vom selben Huhn stammen?

  a)   Er darf höchstens       Hühner haben.

  b)   Er darf höchstens       Hühner haben.

Unter je 37 Punkten in einem Quader mit den Kantenlängen 2, 3 und 6 gibt es immer 2 Punkte, deren Abstand d zueinander nicht mehr als  √3  beträgt.

Wahr        Falsch  

Wenn es in einer neu zusammengestellten Schulklasse mit 18 Schülern eine Clique von 6 Personen gibt, so gibt es garantiert auch eine Anticlique von 6 Personen.
 

Hinweis: In einer Clique kennt jede Person jede andere, in einer Anticlique kennt sich niemand untereinander.

Wahr        Falsch  

Unter vier Personen gibt es stets eine Clique oder eine Anticlique mit drei Personen.
 

Wahr        Falsch  

Wahr oder falsch?

In einer Gruppe von wenigstens zwei Personen gibt es stets eine Clique oder eine Anticlique mit zwei Personen.
 

Wahr        Falsch  

Aus wievielen Personen muss eine Gruppe mindestens bestehen, damit es 50 Anticliquen geben kann?

Er müssen mindestens      Personen sein.

Ein Mathematiker hat sich für seine Geburtstagsfeier etwas Besonderes überlegt. Er möchte seine 65 Gäste zu einem Theaterbesuch einladen. Die Gäste sollen willkürlich gezogene Platzkarten erhalten. Die n Plätze des Theaters sind von 1 bis n durchnummeriert. Nun verkündet der Gastgeber, dass alle diejenigen Zweierteams, deren eine Platznummer ein Vielfaches der anderen ist, einen Gewinn erhalten. Wie viele Plätze darf das Theater höchstens haben, damit es garantiert mindestens ein Gewinnerteam gibt?

Es darf höchstens      Plätze haben.

Diese Aussage ist falsch:.

Für die 12 Kinder gibt es 4 verschiedene Altersklassen, nämlich 9, 10, 11 und 12 Jahre. Folglich können in jeder Altersklasse auch nur 3 Kinder sein.

Wenn das Geburtstagskind gesagt hätte, dass mindestens 3 Kinder gleich alt sind, wäre die Aussage richtig.

Diese Aussage ist wahr:

Man kann den Quader mit den Kantenlängen 2, 3 und 6 in 2 · 3 · 6 = 36 Einheitswürfel unterteilen. Da es 37 Punkte gibt, müssen nach dem Schubfachprinzip mindestens 2 Punkte in einem Einheitswürfel liegen. Wenn man bezwecken möchte, dass die Punkte einen möglichst großen Minimalabstand haben, liegen höchstens 2 Punkte in einem Einheitswürfel. Da der Abstand zweier Punkte in einem Einheitswürfel nie mehr als  √3  beträgt, ist die Aussage wahr.

Richtig:

Verteilen wir die sieben Elemente von M auf die Mengen {1,2}, {3,4}, ... , {11,12}, müssen in mindestens einer dieser Mengen zwei Elemente liegen, diese beiden Zahlen sind teilerfremd.

Es müssen mindestens 6 Personen sein:

Zunächst gehen wir von dem günstigsten Fall aus, dass es nämlich keine einzige Clique in dieser Gruppe gibt, so dass folglich auch die gesamte Gruppe eine Anticlique bildet.

Nun suchen wir das kleinste n, so dass es mindestens 50 Teilmengen dieser n Personen gibt, die mindestens zwei Elemente enthalten. Bekanntlich hat eine n-elementige Menge 2ⁿ Teilmengen. Da hier jedoch auch die leere Menge und alle einelementigen Teilmengen enthalten sind, müssen wir diese noch subtrahieren. Zu berechnen ist 2ⁿ - 1 - n

Für n=5 ergibt sich: 2⁵ - 1 - 5 < 50 .

Für n=6 ergibt sich: 2⁶ - 1 - 6 = 57 .

Folglich beträgt das kleinste n = 6, in einer Gruppe mit 6 Personen kann es 50 Anticliquen geben.

zu a): Der Hühnerhof darf höchstens 29 Hühner haben.

Hat der Hühnerhof 30 Hühner, so kann jedes Ei einer Palette von einem anderen Huhn stammen. Hat der Hühnerhof 29 Hühner, so müssen nach dem Schubfachprinzip mindestens 2 Eier einer Palette vom selben Huhn stammen.

zu b): Der Hühnerhof darf höchstens 7 Hühner haben.

Hat der Hühnerhof 8 Hühner, so können jeweils 4 Eier einer Palette von 7 Hühnern und 2 Eier von einem achten Huhn stammen. Hat der Hühnerhof 7 Hühner, so bleiben, wenn von jedem der 7 Hühner 4 Eier auf der Palette liegen, noch 2 Eier auf der Palette übrig. Folglich müssen bei 7 Hühnern mindestens 5 Eier von dem selben Huhn stammen.

Wahr:

Betrachtet man zwei beliebige Personen dieser Gruppe, so bilden sie auf jeden Fall entweder eine Clique oder eine Anticlique.

Falsch:

Wenn nämlich jeweils 2 Personen eine Clique bilden und es ansonsten keine weiteren Cliquen gibt, ergibt sich weder eine Clique noch eine Anticlique mit 3 Personen.

Wir schreiben jede der Platzkarten als Zweierpotenz mal ungerade Zahl.
Beispiele: 14 = 2 · 7,    32 = 2⁵ · 1,    5 = 2⁰ · 5.

Zu den Zahlen von 1 bis 128 gehören 64 ungerade Zahlen. Bei der Zuordnung der 65 Platzkarten auf die zugehörige ungerade Zahl muss mindestens eine ungerade Zahl zweimal vorkommen, diese beiden Plätze sind Vielfache voneinander.

Hat das Theater 129 Plätze, können die Leute auf den Nummern 65, 66, ... , 129 sitzen.

Falsch:

Wenn es unter den 18 Schülern eine Clique mit 6 Personen gibt, so können die übrigen 12 Schüler auch eine Clique bilden. Folglich kann es dann keine Anticlique mit 6 Personen geben.

Falsch:

Seien die 51 Äpfelpflücker die Objektmenge. Die Schubfächer geben die Anzahl der vorhandenen Äpfel in einem Eimer an. Nun kann man zu jedem Zeitpunkt jedes Objekt einem Schubfach zuordnen. Da es 51 Objekte (von 0 bis 50) für 51 Schubfächer gibt, kann es folglich auch vorkommen, dass die 51 Objekte genau auf die 51 Schubfächer aufgeteilt werden, so dass kein Schubfach zwei Objekte enthält.