Oma Elsbeth hat 15 linke und 12 rechte Handschuhe. Da sie nicht mehr so gut sehen kann, kommt es auch mal vor, dass sie zwei nicht zueinander passende Handschuhe anzieht. Bei den linken Handschuhen sehen zwei gleich aus, bei den rechten sehen fünf Handschuhe gleich aus.

Wieviele Handschuhkombinationen gibt es, die Oma Elsbeth anziehen kann?

Wir bieten drei mögliche Antworten an, bitte die richtige Antwort ankreuzen:
 

  a) 18, denn 18 = (15 · 12) / ( 2 · 5)

  b) 91, denn 91 = (15 - 2) · ( 12 -5 )

  c) 112, denn 112 = 14 · 8
 

Der Losverkäufer A bietet folgendes Losverfahren an:
Man zieht zwei Plastikrosen mit Zurücklegen aus einem großen Sack. In diesem Sack befinden sich 5 Rosen mit roter Blüte und 5 Rosen mit gelber Blüte.
Zieht man zwei Rosen gleicher Blütenfarbe, so erhält man den Hauptpreis.

Der Losverkäufer B bietet folgendes Losverfahren an:
Auch bei ihm zieht man zwei Plastikrosen aus einem demselben Sack mit 5 Rosen mit roter Blüte und 5 Rosen mit gelber Blüte, allerdings ohne Zurücklegen.
Zieht man zwei Rosen gleicher Blütenfarbe, so erhält man einen Hauptpreis.

Bei welchem Losverkäufer besteht eine größere Chance, einen Hauptpreis zu erhalten?

  a)    bei Losverkäufer A  

  a)    bei Losverkäufer B  

Der Losverkäufer C bietet folgendes Losverfahren an:
Man zieht drei Plastikrosen mit Zurücklegen aus einem großen Sack. In diesem Sack befinden sich 20 Rosen mit roter Blüte, 20 Rosen mit weißer Blüte und 20 Rosen mit gelber Blüte.
Zieht man drei Rosen gleicher Blütenfarbe, so erhält man den Hauptpreis.

Der Losverkäufer D bietet folgendes Losverfahren an:
Auch bei ihm zieht man drei Plastikrosen aus einem großen Sack, allerdings ohne Zurücklegen. In diesem Sack befinden sich 30 Rosen mit roter Blüte, 30 Rosen mit weißer Blüte und 20 Rosen mit blauer Blüte.
Zieht man drei Rosen gleicher Blütenfarbe, so erhält man einen Hauptpreis.

Bei welchem Losverkäufer besteht eine größere Chance, einen Hauptpreis zu erhalten?

  a)    bei Losverkäufer C  

  a)    bei Losverkäufer D  

In einer Urne befinden sich 6 blaue, 3 grüne und 6 gelbe Kugeln. Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Dabei werden nur die Farben der Kugeln betrachtet.

Bitte die richtige(n) Behauptung(en) ankreuzen:

  a)   Beachtet man die Reihenfolge, so gibt es 27 verschiedene mögliche Ausgänge.

  b)   Beachtet man die Reihenfolge nicht, so gibt es 9 verschiedene mögliche Ausgänge.

Wir bleiben bei der Urne mit den 6 blauen, 3 grünen und 6 gelben Kugeln. Erneut werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen und nur die Farben der Kugeln betrachtet.

Bitte die richtige(n) Behauptung(en) ankreuzen:

  a)   Jedes mögliche Ereignis tritt bei Beachtung der Reihenfolge nicht unbedingt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein.

  b)   Beachtet man die Reihenfolge, ist die Wahrscheinlichkeit 3 verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, 6 / 27  =  2 / 9 .

  c)   Beachtet man die Reihenfolge, ist die Wahrscheinlichkeit 2 blaue und 1 gelbe Kugel zu ziehen, (6/15) · (6/15) · (6/15) · 3! =  48 / 125 .

In einer Urne befinden sich 5 grüne, 3 orangefarbene und 1 weiße Kugel.

Auf der Frage nach der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen die Farben grün und orange gezogen werden. wird folgende Antwort gegeben:

Es gibt insgesamt fünf verschiedene Ausgänge, nämlich einmal eine grüne und eine orangefarbene, einmal eine grüne und eine weiße, einmal eine orangefarbene und eine weiße und jeweils zwei grüne und zwei orangefarbene Kugeln zu ziehen.

Folglich beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 / 5

Wahr        Falsch  

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

  a)   Bei den Ausgängen muss zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit auch die Reihenfolge der gezogenen Kugeln beachtet werden. Somit ergeben sich acht verschiedene Ausgänge. Bei zwei von ihnen wird eine grüne und eine orangefarbene Kugel gezogen, da man ja zuerst die grüne oder die orangefarbene Kugel ziehen kann.
Folglich beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 2 / 8.

  b)   Die Wahrscheinlichkeiten der fünf angegebenen Ausgänge sind unterschiedlich. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang, eine grüne und eine orangefarbene Kugel zu ziehen, (5/9) · (3/8) = 5/24 und für den Ausgang, zwei grüne Kugeln zu ziehen,(5/9) · (4/8) = 5/18.
Folglich beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 5 / 18.

  c)   Bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung muss die Reihenfolge der gezogenen Kugeln und die jeweils unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten der Ausgänge beachtet werden.
Folglich beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit (5/9) · (3/8) + (3/9) · (5/8) = 5/12.

a) Auf wie viele Arten können diese 6 Fünfen in der Klasse verteilt sein? Die richtige Zahl ist:  

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler A eine der 6 Fünfen hat, ist   /
(Die richtige Zahl als gekürzten Bruch in der Form  Zähler / Nenner angeben)

c) Es werden bereits 6 Arbeiten zurückgegeben, bei denen schon 2 Fünfen dabei sind. Die Wahrscheinlichkeit für Schüler A, eine Fünf zu bekommen, wenn er seine Arbeit noch nicht erhalten hat, ist   /
(Die richtige Zahl als gekürzten Bruch in der Form  Zähler / Nenner angeben)

a) Es lernen sich bei dieser Party zwei Leute kennen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sie die gleiche Trinkbecherfarbe haben, ist   /

b) An einem Bistrotisch mit fünf Personen haben genau zwei Personen die gleiche Trinkbecherfarbe.
Die Wahrscheinlichkeit, dass diese zwei Personen nebeneinander stehen, ist   /

Die richtigen Zahlen als gekürzte Brüche in der Form  Zähler / Nenner angeben

Ein Glücksspielbetreiber bietet folgendes Glücksspiel an:

Man würfelt mit einem Würfel viermal hintereinander. Würfelt man jedes Mal eine gerade Zahl, erhält man 20€. Würfelt man zweimal oder dreimal eine gerade Zahl, erhält man 10€.

Behauptung: Das Spiel lohnt sich für den Spieler bei einem Einsatz von 6€.

Wahr        Falsch  

c) ist richtig:

Da bei den linken Handschuhen zwei gleich aussehen, gibt es dort nur 14 unterscheidbare Handschuhe und bei den rechten dementsprechend nur acht. Somit beträgt die Anzahl der möglichen Kombinationen 14 · 8 = 112

Richtig ist a):

Zu a): Betrachtet man die Reihenfolge, so beträgt zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für (b,b,b)  8 / 125  und für (g,g,g)   1 / 125. Somit tritt bei Beachtung der Reihenfolge jedes mögliche Ereignis nicht unbedingt mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein.

Zu b): Es gibt zwar bei Beachtung der Reihenfolge sechs verschiedene Ausgänge mit drei verschiedenen Farben, die insgesamt 27 verschiedenen Ausgänge aber besitzen jeweils unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt (6/15) · (3/15) · (6/15) · 3! = 24/125, da die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel 6/15, für eine grüne Kugel 3/15, für eine gelbe Kugel 6/15 beträgt und es 3! Möglichkeiten gibt, drei Kugeln auf drei Plätze zu verteilen.

Zu c): Es gibt nur drei Möglichkeiten, zwei blaue und eine gelbe Kugel auf drei Plätze zu verteilen, nämlich (b,b,ge), (b,ge,b) und (ge,b,b). Somit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit (6/15) · (6/15) · (6/15) · 3 = 24/125.

Zunächst zum Losverkäufer A:
Die vier Möglichkeiten (r,r), (r,g), (g,r), (g,g,) sind gleichwahrscheinlich, in zwei Fällen gewinnt man einen Hauptpreis.
Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Hauptpreis zu erhalten, 2 / 4  =  1 / 2 .

Nun zum Losverkäufer B:
Bei den zwei Tupeln (r,r) (g,g) erhält man einen Hauptpreis.
Die Wahrscheinlichkeit für diese Tupel beträgt jeweils  (5/10) · (4/9)  =  2 / 9.
Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Hauptpreis zu erhalten, 4 / 9.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit eines Hauptpreises beim Losverkäufer A größer.

Zu a): Für zwei Personen gibt es mit Beachtung der Reihenfolge bezüglich der Trinkbecherfarbe 5 · 5 = 25 verschiedene Farbkombinationen. In fünf Fällen haben beide die gleiche Trinkbecherfarbe. Folglich beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 5 / 25  =  1 / 5.

Zu d): An einem Fünferbistrotisch haben die Personen X und Y die gleiche Trinkbecherfarbe. Weil es für Y genau zwei Möglichkeiten gibt, neben X zu stehen und zwei Möglichkeiten, nicht neben X zu stehen, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 2 / 4  =  1 / 2 .

Zu a): Für jeden Zug gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, nämlich eine blaue, eine grüne oder eine gelbe Kugel zu ziehen. Folglich gibt es 3 · 3 · 3 = 27 verschiedene Ausgänge, wenn man die Reihenfolge betrachtet.

Zu b): Wird die Reihenfolge nicht beachtet, so gibt es zunächst 3 Ausgänge, bei denen jeweils nur eine Farbe vorkommt. Zusätzlich gibt es noch 3 · 2 = 6 Ausgänge, bei denen eine Farbe genau zweimal vorkommt. Schließlich gibt es noch einen Ausgang, bei dem alle drei Kugeln eine andere Farbe haben. Somit gibt es 3 + 6 + 1 = 10 verschiedene Ausgänge, wenn man die Reihenfolge nicht beachtet.

Zu a): Die Frage ist die nach der Anzahl, die 6 Fünfen auf die 26 Schüler zu verteilen.
Das entspricht der Frage, wie viele 6-elementige Teilmengen eine 26-elementige Menge hat.
Die Antwort ist folglich   "26 über 6"  =  26! / (6! · 20!)  =  230230.

Zu b): Ganz einfach: 6 von 26 Arbeiten sind mit Fünf benotet, also   6 / 26  =  3 / 13.

Zu c): Da 6 Arbeiten bereits zurückgegeben wurden, sind noch 20 offen und noch 4 Fünfen zu vergeben, also   4 / 20  =  1 / 5.

Aussage c) ist richtig und schließt somit die Aussagen a) und b) aus.

Bei a) sind die neun verschiedenen Ausgänge nicht alle gleichwahrscheinlich. Bei b) wurde nur die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine grüne und dann eine orangefarbene Kugel zu ziehen, berechnet.

Wahr:
 

Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade oder eine ungerade Zahl zu würfeln, beträgt 1 / 2.

Bei 16 möglichen Würfelergebnissen bei vierfachem Wurf kommt es genau einmal vor, dass alle Würfe gerade Zahlen ergeben, folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, viermal eine gerade Zahl zu würfeln 1 / 16.

Weil es insgesamt vier Möglichkeiten gibt, drei gerade Zahlen und eine ungerade Zahlen zu zu würfeln, ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit 4 · 1/16  =  1 / 4

Analog gibt es sechs mögliche Fälle mit zwei geraden und zwei ungeraden Zahlen mit zugehöriger Wahrscheinlichkeit 6 · 1/16  =  3 / 8.

Somit ergibt sich ein zu erwartender Gewinn von 20€ · 1/16 + 10€ · (3/8 + 1/4 )  =  7.50€.

Das Spiel lohnt sich also bei einem Einsatz von 6€.

Falsch:
 

Wie die korrekte Antwort lautet, klären wir in der nächsten Frage!

Beim Losverkäufer D besteht eine größere Chance auf einen Hauptpreis:

Wir betrachten die 3er Tupel der gezogenen Rosen. Daher betrachten wir also folglich auch die Reihenfolge der gezogenen Rosen. Hierbei entspricht r der roten, w der weißen, g der gelben und b der blauen Blütenfarbe.

Zunächst zum Losverkäufer C:
Hier ergeben sich 3³ = 27 verschiedene mögliche 3er Tupel. Jedes dieser Tupel ist gleichwahrscheinlich, da jede Blütenfarbe gleich oft vorkommt und die gezogene Rose wieder zurücklegt wird.
Bei den drei Tupeln (r,r,r), (w,w,w) und (g,g,g) erhält man einen Hauptpreis. Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Hauptpreis zu erhalten, 3 / 27 = 1 / 9 .

Nun zum Losverkäufer D:
Bei den drei Tupeln (r,r,r), (w,w,w) und (b,b,b) erhält man einen Hauptpreis.
Die Wahrscheinlichkeit für die Tupel (r,r,r) und (w,w,w) beträgt jeweils : (30/80) · (29/79) · (28/78) = 203/4108.
Die Wahrscheinlichkeit für das Tupel (b,b,b) beträgt (20/80) · (19/79) · (18/78) = 57/4108.
Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Hauptpreis zu erhalten, 2 · 203/4108 + 57/4108  >  1/9.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, drei Rosen gleicher Blütenfarbe zu ziehen, beim Losverkäufer D größer.