a)    Der Differenzenquotient ist der Quotient aus den Differenzen  f (x) − f (x₀)  und  x − x₀  für  x ≠ x₀ .

     b)    Der Differenzenquotient ist die Differenz aus den Quotienten  f (x) / x  und  f (x₀) / x₀ .

     c)    Der Differenzenquotient ist der Betrag des Ausdrucks in a).

     d)    Der Differenzenquotient ist ausschließlich für differenzierbare Funktionen definiert.

     a)    Wenn der Grenzwert existiert, ist  f  an der Stelle  x₀  differenzierbar.

     b)    Wenn der Grenzwert existiert, ist  f  an der Stelle  x₀  stetig.

     c)    Wenn  f  an der Stelle  x₀  differenzierbar ist, existiert der Grenzwert.

     d)    Wenn  f  an der Stelle  x₀  stetig ist, existiert der Grenzwert.

     a)    Weil sie dort nicht stetig ist.

     b)    Weil dort der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht existiert.

     c)    Unsinn, die Funktion ist dort doch differenzierbar.

     a)    Weil die Betragsfunktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.

     b)    Weil der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle  x₀ = 1  nicht existiert.

     c)    Unsinn, die Funktion ist an der Stelle  x₀ = 1  differenzierbar.

Gesucht ist die Ableitung der Funktion  f (x) = x²  an der Stelle  x₀ = 3.

Hier die richtigen Zahl angeben:  

Welche der folgenden Stichworte beinhalten brauchbare Hilfsmittel bei diesem Unterfangen?

     a)    Binomische Formel

     b)    Euklidischer Algorithmus

     c)    Polynomdivision

     d)    Keines dieser Stichworte hat irgendetwas mit der gesuchten Ableitung zu tun.

             bijektiv,  konstant,  differenzierbar  und  stetig

Zur Abwechslung sollen diesmal die  falschen  Behauptungen angekreuzt werden!

     a)    Jede konstante Funktion ist stetig.

     b)    Jede bijektive Funktion ist differenzierbar.

     c)    Es gibt stetige Funktionen, die nicht bijektiv sind.

     d)    Es gibt differenzierbare Funktionen, die nicht stetig sind.

     a)    Die dritte Ableitung ist die Nullfunktion.

     b)    Die fünfte Ableitung existiert nicht.

     c)    Die Ableitung  f '  ist nicht differenzierbar.

     d)    a) bis c) sind alle falsch.

     a)    h (x) = f (g (x) )

     b)    h (x) = g (f (x) )

     c)    h (x) = f (x) · g (x)

     d)    h (x) = 10 x

    f (0) = 1 ,     f ' (1) = 1 ,     f '' (x) = 6x - 2

     a)    So eine Funktion kann es nicht geben.

     b)    Es gibt genau eine Funktion mit den gesuchten Eigenschaften.

     c)    Es gibt mehrere Funktionen mit den gesuchten Eigenschaften.

Wenn  f  eine reelle Funktion und  x₀  eine feste reelle Zahl ist, dann heißt     für  x ≠ x₀  Differenzenquotient.

a) Richtig (Wie es der Name sagt: Ein Quotient von Differenzen)

b) Falsch (Sonst müsste es ja wohl Quotientendifferenz heißen)

c) Falsch (Der Betrag hat hier nichts zu suchen)

d) Falsch (Näheres hierzu in der nächsten Frage)

Wir berechnen die Ableitung:

 f (x) = x²  ⇒   f ' (x) = 2x , also  f ' ( 3 ) = 6 .

Wir erinnern uns (hoffentlich) an die Definition:

 f  ist an einer Stelle  x₀  genau dann differenzierbar, wenn der in der Frage angegebene Grenzwert    existiert.

Damit sind a) und c) richtig. Auch b) ist richtig, denn wenn der Grenzwert existiert, ist die Funktion differenzierbar, und wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie auch stetig. d) ist allerdings falsch, man denke etwa an die Betragsfunktion!

Es sei  f (x) = x³  und  g (x) = x + 2 .  Für welche der folgenden Funktionen  h  gilt  h ' (1) = 10 ?
 

  a):    h (x) = f ( g (x) ) = (x + 2)³   ⇒   h ' (x) = 3(x + 2)² ,   also   h ' (1) = 27

  b):    h (x) = g ( f (x) ) = x³ + 2   ⇒   h ' (x) = 3x² ,   also   h ' (1) = 3

  c):    h (x) = f (x) · g (x) = x³ · (x + 2) = x⁴ + 2x³   ⇒   h ' (x) = 4x³ + 6x² ,   also   h ' (1) = 10

  d):    h (x) = 10x   ⇒   h ' (x) = 10 ,   also   h ' (1) = 10

Für alle positiven Zahlen ist  |x|= x , daher stimmt die Funktion  f (x) = |x| - x  für positive Zahlen mit der differenzierbaren Nullfunktion überein. Damit ist die Funktion insbesondere an der Stelle  x₀ = 1  differenzierbar.

Nach Voraussetzung ist  f (x) = a x³ + b x² + c x + d  mit  a ≠ 0.

Wir differenzieren:

 f ' (x) = 3 a x² + 2 b x + c ,

 f '' (x) = 6 a x + 2 b ,

 f ''' (x) = 6 a ,

 f ⁽ⁿ⁾ (x) = 0   für alle natürlichen Zahlen n > 3.

Zur Erinnerung: Es sollten die falschen Behauptungen angekreuzt werden!

a)  Jede konstante Funktion ist stetig:  Das stimmt (ohne weiteren Kommentar), also kein Kreuz.

b)  Jede bijektive Funktion ist differenzierbar: Falsch, als Gegenbeispiel nehme man die Identität und vertausche die Bilder von 0 und 1. Diese neue Abbildung bleibt bijektiv, ist aber in 0 und 1 nicht stetig und deshalb dort nicht differenzierbar.

c)  Es gibt stetige Funktionen, die nicht bijektiv sind: Natürlich, ein Beispiel ist die Betragsfunktion.

d)  Es gibt differenzierbare Funktionen, die nicht stetig sind: Falsch und deshalb anzukreuzen (ohne Kommentar)

Wegen  f '' (x) = 6 x - 2  ist  f ' (x) = 3 x² - 2 x + a ,  a   irgendeine reelle Zahl.

Aus der Bedingung  f ' (1) = 1  folgt dann  a = 0 , also  f ' (x) = 3 x² - 2 x.

Hieraus erhalten wir  f (x) = x³ - x² + b ,  b  irgendeine reelle Zahl.

Bleibt die Bedingung  f (0) = 1 :  Dies ist nur für  b = 1  möglich.

Die Funktion ist also eindeutig bestimmt, es ist  f (x) = x³ - x² + 1 .

Nach den binomischen Lehrsätzen ist  x² - x₀² = ( x - x₀ ) ⋅ ( x + x₀ ) ,

Polynomdivision ergibt  ( x² - x₀² ) : ( x - x₀ ) = ( x + x₀ ) .

Damit ist    die gesuchte Ableitung.

Der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert an der Stelle 0 nicht, also ist die Betragsfunktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Zu a): Falsch, die Betragsfunktion ist überall stetig - dies sollte man/frau eigentlich wissen!