21. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb, Frühjahr 2000
Aufgaben für die Oberstufe
Aufgabe 1: [3 P.]
Die natürlichen Zahlenn, m seien teilerfremd, d.h. sie besitzen keinen gemeinsamen Teiler größer als 1. Der Bruch
[MN]
kann möglicherweise gekürzt werden, indem man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teilerdteilt. Welches ist der größtmögliche Wert fürd?
Aufgabe 2: [5 P.]
In einem Kreis mit Mittelpunkt 0 schneiden sich die Sehnen mit den EndpunktenA, CundB, Din einem PunktK. Msei der Umkreismittelpunkt des DreiecksAKB, Nsei der Umkreismittelpunkt des Dreiecks CKD.Beweisen SieïOMï =ïKNï.
Aufgabe 3: [5 P.]
Bei einem Kartenstapel liegen einige der Karten mit dem Bild nach oben, andere mit dem Bild nach unten. Von Zeit zu Zeit greift Peter sich irgendeinen Stapel heraus, dessen oberste und unterste Karte mit dem Bild nach oben zeigt. Diesen Stapel dreht er herum und legt ihn in die gleiche Lücke zurück. (Hierbei kann der herausgenommene Stapel auch aus nur einer Karte bestehen.) Beweisen Sie, dass bei diesem Vorgehen irgendwann alle Karten mit dem Bild nach unten liegen müssen.
Aufgabe 4: [5 P.]
Auf einem Blatt Karopapier sei ein konvexes Polygonpgezeichnet, dessen Eckpunkte alles Karoeckpunkte sind und das keine senkrechten oder waagerechten Randstücke hat. Zeigen Sie, dass stets die Längen der waagerechten und der senkrechten Karoseiten, die innerhalb vonpliegen, übereinstimmen.
Aufgabe 5: [7 P.]
Finden Sie die größte ZahlNmit folgender Eigenschaft: es gibt eine natürliche Zahlnmit: 1 teilt die Quersumme vonn+ 1, 2 teilt die Quersumme vonn+ 2, 3 teilt die Quersumme vonn+ 3, u.s.w. bisNteilt die Quersumme vonn+N.
Aufgabe 6:
In einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer gegen jeden anderen genau einmal. Bei einem Sieg erhält der Gewinner einen Punkt, bei einem Patt bekommt jeder einen halben Punkt gutgeschrieben. Der Verlierer bekommt keinen Punkt. Eine Partie heißttoll,falls ein Spieler mit einem niedrigeren Abschlusspunktestand gegen einen Spieler mit einem höheren Punktestand gewonnen hat.
(a) [6 P.] Zeigen Sie, dass der Anteil der tollen an allen Partien stets unter 3/4 liegt.
(b) [6 F,] Zeigen Sie, dass die Zahl 3/4 aus (a) nicht verkleinert werden kann.
An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen. Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.