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Proseminar zur Analysis (SS 2010)
- Orthogonalpolynome und ihre Anwendungen -

Termine/Aktuelles

Das Seminar wendet sich an Studierende der Bachelorstudiengänge Mathematik, Wirt­schafts­mathematik, LA an Gymnasien und LA an Beruflichen Schulen.
Als Vorkenntnisse werden je zwei Semester Analysis und lineare Algebra vorausgesetzt, so dass das Proseminar (vorzugsweise) im vierten Semester besucht werden sollte. Einige speziell benötigten Begiffe werden jedoch in Vorträgen wiederholt.

  • Die Vorträge am 4. und am 11.5.2010 entfallen. Somit findet die nächste Sitzung am 18.5.2010 statt.
  • Bitte beachten Sie die ergänzenden Informationen zur Gliederung.
  • Bitte beachten Sie die kleine Änderung in der Reihenfolge der Vorträge, die auf Grund der Pfingstwoche notwendig geworden ist.
  • Zum Seminar biete ich Dienstags von 14:00 bis 16:00 eine feste Sprechstunde an (direkt im Anschluss an das Seminar). Weitere Termine sprechen Sie bitte per Email mit mir ab.
  • Die Literatur zum Seminar finden Sie in einem separaten Regal in der Bereichsbibliothek der Mathematik. Sollte dort etwas fehlen, dann schreiben Sie mich kurz an.
  • Bitte denken Sie daran, mir eine Email mit der Betreffzeile "Proseminar zur Analysis" zuzusenden. Nur wenn ich Ihre aktuelle Emailadresse habe, kann ich Sie schnell mit aktuellen Informationen versorgen.
  • Die Vorträge finden jeweils Dienstags von 12:15 bis 13:45 in Raum Geom 432 statt. Der erste Vortrag findet am 6.4.2010 statt.
  • Es sind noch Vortragsthemen zu vergeben (in der Tabelle unten die Einträge mit NN). Bei Interesse melden Sie sich per Email bei mir:  
  • Eine Vorbesprechung findet am 5.2.2010 um 9:00 in Raum Geom-435 statt.
    Sollte die maximale Teilnehmerzahl erreicht sein, oder sollte der Termin zur Anmeldung schon verstrichen sein, und Sie haben weiter Interesse an einer Teilnahme, so können Sie trotzdem an der Vorbesprechung teilnehmen. Einerseits können wir gegebenenfalls Extratermine vereinbaren, andererseits springen erfahrungsgemäß einige Studierende vor Beginn des Seminars wieder ab.
  • Sie müssen sich zur Teilnahme über Stine für diese Veranstaltung registrieren.

Allgemeine Infos

  • Spätestens eine Woche vor Ihrem Vortragstermin reichen Sie die Gliederung Ihres Vortrags bei mir ein (bitte als pdf-Datei).
    Sollte ein Vortrag aus zwei Sitzungen bestehen, so muss die Gliederung beide Teile enthalten. Die Gliederung sollte über die Überschriften hinausgehende kurze Erläterungen enthalten. Wenn Sie schon Teile Ihrer Ausarbeitung fertig haben, dann können Sie mir diese gerne auch schon vorab schicken.
  • Wie Sie Ihren Vortrag gestalten, bleibt Ihnen überlassen. Sollten Sie einen Projektor oder Beamer benötigen, so melden Sie sich bitte frühzeitig. Ein PC kann nicht zur Verfügung gestellt werden und die Kompatibilität mit Ihrer Hardware sollte vorher getestet werden.
  • Optimal wäre es, wenn die Ausarbeitung Ihres Themas zum Vortrag bereits vorliegt, d.h. Sie stellen in Ihrem Vortrag Ihre Ausarbeitung vor.
  • Die Abgabe der Endfassung Ihrer Ausarbeitung erfolgt spätestens zwei Wochen nach Ihrem Vortrag. Die Ausarbeitung sollte mit LaTex erfolgen, ausnahmsweise darf aber auch ein Office-Programm wie OpenOffice oder MS-Office verwendet werden. Sie sollte mir dann aber im pdf-Format zugeschickt werden.
  • Neben dem fachlichen Teil ist die Einteilung der Ihnen zur Verfügung stehenden 90 Minuten (bzw. 2x90 Minuten) ein wesentlicher Punkt. Kalkulieren Sie Zwischenfragen ein, und lassen Sie am Ende Ihres Vortrags noch Zeit für eine abschließende Diskussion.

Vorträge

6.4.2010:NN.

Skalarprodukte auf Funktionenräumen, die Legendre-Polynome.
13./20.4.2010: K. Elischew und E. Koch.

Orthogonalpolynome zu verschiedenen Gewichten: Darstellung und Eigen­schaften.
27.4.2010: B. Rathje.

3-Term-Rekursionen und Kettenbrüche.
4./11.5.2010:NN.

Approximation durch Orthogonalpolynome und Nullstellenverteilung.
18.5.2010: NN.

Koordinatensysteme und der Laplaceoperator.
1./8.6.2010: Y. Mogge und L. Schmiester.

Sturm-Liouville Differentialgleichungen und die Besselfunktionen.
15./22.6.2010: J. Beyrer und P. Henze.

Die Schroedingergleichung, Kugelflächenfunktionen und das Wasser­stoff­atom.
29.6/6.7.2010:A. Menouni und P. Molle.

Interpolationsquadratur und Gauß-Quadratur.

Inhalt

Sowohl in der Analysis als auch in der Linearen Algebra haben wir mit den Polynomen Bekanntschaft gemacht. So spielten sie in der Analysis eine wichtige Rolle im Zu­sam­menhang mit der Taylorreihenentwicklung und in der linearen Algebra waren sie ein Beispiel für einen Vektorraum, der nicht von vornherein eine Teilmenge eines Zahlenraums war.
Aus der Linearen Algebra kennen wir ein Verfahren, mit dem wir aus einer Menge von Vektoren eine Menge zueinander senkrechter Vektoren auswählen können. Wenden wir dieses Verfahren auf den Raum der Polynome an, so erhalten wir die so genannten Orthogonalpolynome.
Ähnlich wie wir das von der Taylorentwicklung kennen, kann man nun Funktionen mit Hilfe dieser Orthogonalpolynome annähern oder approximieren.
Abgesehen von ihrer Approximationseigenschaft, stehen die Orthogonalpolynome im Zusammenhang mit vielen verschiedenen mathematischen Anwendungen. So findet man sie zum Beispiel bei der Untersuchung der Lösungen linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Schrödinger-Gleichung des Wasserstoffatoms) oder Lösungen von Drei-Term-Rekursionen wieder.
Außerdem finden die Orthogonalpolynome Anwendung bei der Untersuchung von Kettenbrüchen und von Interesse sind auch ihre erzeugenden Funktionen. Ebenso gelangt man zu Orthogonalpoynomen, wenn man nicht explizit integrierbare Funktionen zumindest näherungsweise integrieren möchte (Quadraturformeln).

Literatur

  • George E. Andrews, Richard Askey and Ranjan Roy. Special Functions, Cambridge University Press, 1999.
  • Donald E. Bourne and Peter C. Kendall. Vektoranalysis, Teubner Studienbücher, 1973.
  • Garrett Birkhoff and Gian-Carlo Rota. Ordinary Differential Equations, John Wiley and Sons, 3rd ed. 1978.
  • Peter Deuflhard and Andreas Hohmann. Numerische Mathematik I, Walter de Gruyter, 1993.
  • Günther Hämmerlin and Karl-Heinz Hoffmann. Numerische Mathematik, Springer Verlag, 4. Aufl. 1994.
  • Frank Klinker. Koordinatensysteme und Spezielle Funktionen, Manuskript, 1997.
  • Christian B. Lang and Norbert Pucker. Mathematische Methoden der Physik, Spektrum Akademischer Verlag, 1998.
  • N. Sieber and H.-J. Sebastian. Spezielle Funktionen, Teubner Verlagsgesellschaft, 1988.
  • Gabor Szegö. Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 4th ed. 1975.


 
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