a)   Zur Bestimmung des ggT 

     b)   Zur Bestimmung des kgV 

     c)   Weder a) noch b) 
 

     y = a · x + b 
     x = c · b + d 
     b = e · d + 0 

Welcher der Buchstaben  a, b, c, d  oder  e  liefert den gewünschten ggT? 

Bitte den richtigen Buchstaben eintragen! 

  Gesucht ist  ggT( 315, 420 ) 
 

  a)   ggT(a,b) = ggT(b,a) 

  b)   ggT(a,b) = a   ===>  a = b

  c)   ggT(a,b) = b   ===>  a = nb  für eine natürliche Zahl n 

  d)   ggT(12a,7a) = a
 

Wahr  oder  falsch ? 

kgV(a,b) : ggT(a,b)  =  max{a,b} : min{a,b} 
 

Was gilt stattdessen? 

  a)   Je größer das kgV, um so kleiner der ggT 

  b)   Je kleiner der ggT,  um so größer das kgV 

  c)   kgV(a,b) : ggT(a,b)  =  b : a   <===>   b ist Vielfaches von a
 

ggT( 120, kgV(18,20)) = ?? 

Was ist richtig? 

   a)   x  >  n

   b)   x  =  n

   c)   x  <  n 

   d)   Ob  a), b) oder c) gilt, hängt von den konkreten Zahlen ab. 

   a)   Für jede natürliche Zahl x

   b)   Immer, wenn  x = y erfüllt ist 

   c)   Nie 

   d)   Nur für  x = y = 1 

Wenn  p₁,  p₂ ,..., p_n  paarweise verschiedene Primzahlen sind, dann ist auch 

  p₁ · p₂ · ...· p_n + 1 

   eine Primzahl. 
 

ggT(10,15): 

    15 = 1 · 10   +  5 
    10 = 2 · 5  +  0 

Daher ist ggT(10,15) = 5 

Da  ggT  und  kgV  eng zusammenhängen (wie?), kann man den euklidischen Algorithmus natürlich auch zur Bestimmung des  kgV  einsetzen.
 

  b)   ggT(a,b) = a   ===>  a = b  : Falsch, wie man am Gegenbeispiel a=2, b=4 sieht 

  c)  ggT(a,b) = b   ===> a = nb   : Richtig, denn wegen ggT(a,b) = b   muss  b  ein Teiler von  a  sein 

  d)   ggT(12a,7a) = a   : Richtig, denn 7 und 12 sind teilerfremd. (Kann man auch mit dem euklidischen Algorithmus beweisen) 
 

     y = a · x + b 
     x = c · b + d 
     b = e · d + 0 

In diesem Fall ist  d  der gesuchte ggT, denn aufgrund der Rechnung ist 

  d  ein Teiler von  b  (und d) und damit auch ein Teiler von  x  und damit auch ein Teiler von  y. 
Durch weitere Überlegungen, die hier nicht durchgeführt werden,  kann man einsehen, dass es sich auch um den größten Teiler handelt.

kgV( n, m ) muss immer ein Vielfaches von  n  sein, also kgV( n, m ) =  a n . 

Damit gilt   ggT( n , kgV( n, m ))  =  ggT( n , a n) = n

Also ist b) richtig und somit sind  c) und d) falsch. 
 

  p₁ · p₂ · ...· p_n + 1 

keine Primzahl sein, man betrachte 

p₁= 3  und   p₂= 5 :    Hier ist 3 · 5 + 1 = 16 
 

    420 = 1 · 315  +  105 
    315 = 3 · 105  +  0 

Daher ist ggT(315,420) = 105. 
 

kgV(18,20) = 180  und  damit ist  ggT( 120, kgV(18,20)) = ggT( 120, 180) = 60 . 
 

              a · b  =  kgV(a,b) ·  ggT(a,b) 

  a)   Je größer das kgV, um so kleiner der ggT 
  b)   Je kleiner der ggT,  um so größer das kgV  folgen jeweils unmittelbar 

  c)  kgV(a,b) : ggT(a,b)  =  b : a   <===>   b ist Vielfaches von a 
Rechnen wir schnell nach (sei T=ggT(a,b) und V=kgV(a,b) ): 

V: T  =  b : a  <===>  a V = bT <===>  a² V = ab T <===> a² V = V T² <===>  a² =  T²  <===>  a = T <===> b  ist ein Vielfaches von a

Das einzige sinnvolle Kreuz  gehört an die Stelle c).