Wahr oder falsch?

 Es gibt keine stetige reelle Funktion von  IR  nach  IR , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Wahr        Falsch  

Jetzt geht es um differenzierbare reelle Funktionen. Welche der folgenden Behauptungen stimmen?

Wahr oder falsch?

Die Menge aller bijektiver Abbildungen von  IR  nach  IR  bildet mit der Addition

(f + g) ( x )  =  f ( x )  + g ( x )

als Verknüpfung eine Gruppe.

Wahr        Falsch  

Zur linearen Algebra:

Welche der folgenden Behauptungen treffen für paarweise verschiedene Vektoren  x, y, z  aus dem Vektorraum  IR ²  zu?

	a)	(x, y)  linear unabhängig	==>	x + y   ist nicht der Nullvektor
	b)	(x, y)  linear unabhängig	==>	(x+y, x-y )  linear unabhängig
	c)	(x, y, z)   können linear unabhängig sein

Was wissen wir über die Lösbarkeit von folgendem linearen Gleichungssystem:

Ein wenig Geometrie:

In der Anschauungsebene (also  IR ²)  seien die Punkte  (1,2)  und (2,1)  gegeben. Welche Gerade verbindet diese beiden Punkte?

(Zur Erinnerung: In der affinen Anschauungsebene gibt es zwei Arten von Geraden, nämlich g_m,b:={ (x,mx+b) | x ∈ IR }   und   g_k:={ (k,y) | y ∈ IR } )

 
Bitte ankreuzen und gegebenenfalls die Zahl(en) einsetzen:
 

a)	Es handelt sich um eine Gerade vom Typ gm,b mit  m =   und  b =
b)	Es handelt sich um eine Gerade vom Typ gk   mit   k =

Welche der folgenden Abbildungen von  IR ²  nach  IR ²  sind Bewegungen oder Dilatationen?

Bitte ankreuzen, falls die betreffende Eigenschaften zutrifft:
 

(Zur Erinnerung: Dilatationen bilden Geraden auf dazu parallele Geraden ab, Bewegungen sind abstandstreu)

ggT(16,18,20)  =  ggT((16,18),20)  =  ggT(2,20) = 2

ggT(98,10) · kgV(10,98)  =  980,  denn   ggT(m,n) · kgV(m,n)  =  m · n

Kreuz bei a)

a) ist ein Selbstgänger und bedarf keiner weiteren Erklärung
 

b) ist falsch: Polynomfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden (wie beispielsweise  x  und  x+2) , besitzen die gleiche Ableitung

      a)   (2 + i) · (1- i )  =  2 - 2i + i + 1  =  3 - i , der Realteil ist   3

      b)   (1- i) ²  =  1 - 2i -1  =  0 - 2i , der Imaginärteil ist   -2

      c)   (3 - 4 i) : (4 + 3 i)  =  (3 - 4 i) : ( i(3 - 4i))  =  1 / i  =  -i , der Betrag ist   1

Kreuz bei a)

Es geht um eine Gerade durch die Punkte  (1,2)  und  (2,1) . Da die ersten Komponenten verschieden sind, muss die gesuchte Gerade vom Typ  g_m,b sein.

Setzen wir die Koordinaten der beiden Punkte in  y =  m · x + b  ein, erhalten wir das Gleichungssystem

Alternative Lösungsmöglichkeit: Man mache eine Zeichnung!

Falsch:

Die stetige reelle Exponentialfunktion  e^x , die für jede reelle Zahl definiert ist, ist injektiv:

  e^x = e^y   ===>   x = y

aber nicht surjektiv:

  Für jede reelle Zahl ist e^x > 0 , also gibt es keine Urbilder für negative Zahlen.

(Übrigens sollte man wissen, wie der Graph der Exponentialfunktion aussieht!)

Kreuz bei a):

Wenn wir in dem linearen Gleichungssystem

beide Zeilen addieren, folgt  2x = 2, also  x = 1 . Dies in eine der Gleichungen eingesetzt, liefert  y = 0.

Das System ist daher eindeutig lösbar.

Kreuze bei a) und b):

Sei  o  der Nullvektor.

a)  x + y = o  bedeutet etwas ausführlicher aufgeschrieben  1 · x + 1 · y = o .
An dieser Linearkombination erkennt man die lineare Abhängigkeit der beteiligten Vektoren  x  und  y . Die Summe linear unabhängiger Vektoren kann also nie den Nullvektor ergeben, a) ist anzukreuzen.

b) Gesucht sind Skalare  a  und  b , die die Gleichung    a · (x + y) + b · (x − y) =  o  mit linear unabhängigen Vektoren  x  und  y  erfüllen.
Weil  x  und  y  linear unabhängig sind, ist  x + y  und   x − y  jeweils nicht o . Zu Lösen ist also das Gleichungssystem

c) Hoffentlich nicht angekreuzt:   Drei Vektoren eines zweidimensionalen Vektorraumes sind  nie und nimmer linear unabhängig!!!
 

So ist es richtig:

f  ist eine Translation mit Verschiebungsvektor (1,-1).

g  ist eine Geradenspiegelung, die die  x - Achse auf die (hierzu nicht parallele)  y - Achse abbildet, daher keine Dilatation.

h  ist eine Streckung mit Faktor 2 um den Ursprung. Geraden werden parallel verschoben (also Dilatation), Abstände werden verdoppelt, also keine Bewegung.

Falsch:

Ein Gegenbeispiel liefern die identische Funktion  f =  id  und die Funktion   g =  − id :

f  und  g  sind bijektiv, aber  f + g  ist wegen  (f + g) ( x ) =  x − x  =  0  die konstante Nullfunktion, die nicht bijektiv ist.

So ist es richtig:

Zu  g : Nicht injektiv, da g(-1) = g(1) und nicht surjektiv, da kein Urbild zu negativen Zahlen existiert.
zu  k : Nicht injektiv, da k(0) = k(1) . Die übrigen Behauptungen mache man sich grafisch klar: Jede Parallele zur  x - Achse schneidet den Graph der jeweiligen Funktion mindestens einmal (im Fall k, also surjektiv) und genau einmal bei f, h und l (also jeweils bijektiv).