Es sei  M := IN × IN . Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

     a)    M  ist eine Relation auf  IN .

     b)    M  ist eine Äquivalenzrelation.

     c)    M  ist eine Ordnungsrelation.

     d)    a) bis c) sind alle falsch.

Bitte die richtigen Behauptungen ankreuzen!

Wahr       oder   Falsch   ?

Die Gleichheitsrelation ist auf der Menge der rationalen Zahlen eine Ordnungsrelation.

Wahr       oder   Falsch   ?

Die Summe von drei divergenten Folgen kann auch konvergent sein.

Es geht um die Reihe   . Was stimmt?

     a)    Die Reihe ist konvergent mit Grenzwert 4/5.

     b)    Die Reihe ist konvergent mit Grenzwert 2/3.

     c)    Die Reihe ist divergent.

Wenn eine Folge zwei verschiedene Häufungspunkte hat, dann kann die betreffende Folge

     a)    nicht beschränkt sein.

     b)    nicht monoton sein.

     c)    nicht konvergent sein.

Bitte Kreuze an die richtige(n) Stelle(n)!

Wahr       oder   Falsch   ?

Es gibt gleichmächtige unendliche Gruppen, die nicht isomorph sind.

Welche der folgenden Behauptungen über zyklische Gruppen stimmen?

     a)    Es gibt zyklische Gruppen mit genau vier Elementen.

     b)    Es gibt zyklische Gruppen mit genau sechs Elementen.

     c)    Es gibt zyklische Gruppen mit abzählbar unendlich vielen Elementen.

     d)    Es gibt zyklische Gruppen mit überabzählbar unendlich vielen Elementen.

Jägerzaunregel  ist ein anderes Wort für die

     a)    Cramersche Regel

     b)    Regel von Sarrus

     c)    Regel von de l'Hospital

     d)    Regel von de Morgan

Sei  f  :  A  →  B  eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen  A  und  B . Was stimmt?
 

     a)    Bild  f  ist ein Untervektorraum von  A

     b)    Kern  f  = { o_A }  ⇒  f  injektiv

     c)    f  surjektiv  ⇒  Bild  f  =  B

Wahr       oder   Falsch   ?

Es gibt endliche affine Ebenen mit einer ungeraden Anzahl an Geraden

a)   Nach Definition ist jede Teilmenge des kartesischen Produktes einer Menge eine Relation auf dieser Menge. Insbesondere ist dann das komplette kartesische Produkt eine Relation.

b)   Da jedes Element zu jedem anderen in Relation steht, sind Reflexivität, Symmetrie und Transitivität natürlich erfüllt, es liegt eine Äquivalenzrelation vor.

c)  Da beispielsweise  (1,2)  und  (2,1)  zur Relation gehören, kann sie nicht antisymmetrisch sein, also keine Ordnungsrelation.

d)  ist wegen  a)  und nbsp;b)  natürlich nicht anzukreuzen.

Sollte man/frau auf jeden Fall über Reihen wissen:

Eine Reihe kann nur konvergent sein, wenn die zugehörige Folge eine Nullfolge ist (und selbst dann kann es mit der Konvergenz schief gehen, wer kennt nicht die harmonische Reihe ... )

Da im vorliegenden Fall die zugehörige Folge   gegen  2/3 konvergiert ( warum? ), muss die Reihe divergent sein.

Die Gleichheitsrelation ist reflexiv, weil  r = r  für jede Zahl  r  gilt.

Sie ist antisymmetrisch, weil zwei verschiedene Zahlen nie gleich sind, also bei der Gleichheitsrelation nie in Relation zueinander stehen. Daher ist die Antisymmetrie trivialerweise erfüllt.

Sie ist transitiv, denn es geht immer nur um gleiche Zahlen ( r = r  und  r = r   ⇒  r = r ).

Insgesamt liegt eine Ordnungsrelation vor.

Mit der Regel von Sarrus, die auch Jägerzaunregel genannt wird, kann man die Determinante einer 3×3 - Matrix berechnen (man sollte natürlich auch wissen wie!)

Zu den anderen Regeln:

  Cramersche Regel:  Hilft bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen

  Regel von de l'Hospital:  Ein Hilfsmittel aus der Differentialrechnung zur Bestimmung von Grenzwerten

  Regel von de Morgan:  Gehört zur Mengenlehre bzw. mathematischen Logik

Was sollte man über affine Ebenen wissen, bei denen es eine Gerade mit genau  n  Punkten gibt?

Zum Beispiel

 —  Auf jeder Geraden liegen  n  Punkte

 —  Durch jeden Punk gehen  n + 1  Geraden

 —  Es gibt genau  n²  Punkte und  n · (n+1)  Geraden.

Da  n · (n+1)  immer eine gerade Zahl ist, ist die Behauptung falsch.

Die Summe von (beliebig vielen) divergenten Folgen kann konvergent sein, ein Beispiel:

Sei  ( a_n )  die divergente Folge  1, 2, 3, ...   und  ( b_n )  die divergente Folge  2, 4, 6, ...

Dann ist  ( c_n )  =  − ( a_n ) − ( b_n )  die ebenfalls divergente Folge   − 3, − 6 , − 9, ... , aber

( a_n ) + ( b_n ) + ( c_n )  ist die konvergente konstante Nullfolge.

a) und b):  Zu jeder natürlichen Zahl  n  ( n > 0 ) gibt es die zyklische Gruppe  ( {0,1,...,n − 1},+_n )  mit der Modulo-Addition ( Beispiel: 3 +₅ 4 = 2 ), denn jedes  n  kann als  n – malige (Modulo)addition der Zahl  1  geschrieben werden.

c) Ebenfalls richtig, die Gruppe der ganzen Zahlen mit der üblichen Addition ist eine zyklische Gruppe, ebenfalls von  1  erzeugt.

d) ist falsch, dies liegt an der Überabzählbarkeit.

Alle rationalen Zahlen bilden mit der Addition eine Gruppe  ( Q, + ).

Alle rationalen Zahlen ohne 0 bilden mit der Multiplikation eine Gruppe  ( Q*, · ).

Q  und  Q*  sind gleichmächtig (jeweils abzählbar nach Cantor).

( Q, + )  hat nur ein selbstinverses Element (nämlich nur das neutrale Element 0 ), während  ( Q*, · )  zwei Selbstinverse   ( außer dem neutralen Element 1 ist auch  − 1  selbstinvers ) besitzt.

Damit kann es keinen Isomorphismus zwischen diesen Gruppen geben!

Zum Standardwissen über Folgen gehören folgende Aussagen:

 —  Jede Folge hat höchstens einen Grenzwert

 —  Jeder Grenzwert ist gleichzeitig Häufungspunkt

 —  Monotone Folgen haben höchstens einen Häufungspunkt

Die Folge von Frage 5 hat zwei Häufungspunkte. Sie ist deshalb garantiert nicht konvergent und auch nicht monoton, also Kreuze bei b) und c).

Beschränkt kann eine Folge mit zwei Häufungspunkten sein, als Beispiel diene die Folge   1, − 1, 1, − 1, 1, − 1, ... , daher kein Kreuz bei a).

a)   Bild f  ist kein Untervektorraum von  A , sondern von  B .

b)   Wenn   Kern f  = { o_A }  gilt, ist  f  injektiv. Kurze Beweisidee:  f  nicht injektiv  ⇒  ∃  v,w  mit  f (v) = f (w)  ⇒  f (v − w) = o_B  ⇒  v − w ∈ Kern f , Widerspruch.

c)  f  surjektiv bedeutet, dass jeder Vektor aus  B  ein Urbild hat, und dies heißt  Bild f = B .

Eine Relation heißt	reflexiv:	Jedes Element steht in Relation zu sich selbst
	symmetrisch:	Wenn  r  in Relation zu  s , dann auch  s  in Relation zu  r
	transitiv:	Wenn  r  in Relation zu  s  und  s  in Relation zu  t , dann auch  r  in Relation zu  t
	antisymmetrisch:	Wenn  r  in Relation zu  s  und  r ≠ s , dann  s  nicht in Relation zu  r

Eine Äquivalenzrelation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv

Eine Ordnungsrelation ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.

Die Grenzwertsätze sagen leider nur etwas über konvergente Folgen aus, z.B.

Die Summe zweier konvergenter Folgen ist stets konvergent.

Was kann aber passieren, wen man zwei  divergente  Folgen addiert?

Zwei Gruppen  (G,*)  und  (H,#)  sind isomorph, wenn es eine Bijektion  f : G  →  H  gibt, die außerdem strukturerhaltend ist.

Strukturerhaltend bedeutet:  ∀ x, y  ∈  G  muss gelten   f ( x * y ) = f ( x ) # f ( y ) .

Ferner bildet jeder Isomorphismus das neutrale Element von  G  auf das neutrale Element von  H  ab, auch jedes selbstinverse Element wird auf ein selbstinverses Element abgebildet.

Eine Teilmenge  S  einer Gruppe  (G,*)  heißt  Erzeugendensystem , wenn jedes Element von  G  als Verknüpfung von endlich vielen Elementen, die selbst oder deren Inverse in  S  liegen, geschrieben werden kann.

Besitzt eine Gruppe ein Erzeugendensystem aus  einem  Element, heißt diese Gruppe  zyklisch .

(Ungenaue) Kurzform der Definition einer affinen Ebene:

Eine affine Ebene besteht aus Punkten und Geraden mit

     1)  Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade

     2)  Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine parallele Gerade

     3)  Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen