In diesem Fragebogen beschäftigen wir uns mit dem Vektorraum der reellen Funktionen. Wer nicht mehr weiß, wie dieser Vektorraum definiert ist,  findet  hier  Einzelheiten.
 
 
Frage 1
In dem reellen Vektorraum aller Abbildungen von IR nach IR sind die Vektoren Abbildungen. Wir wollen zum Einstieg Abbildungen addieren und skalar multiplizieren.

Seien die Abbildungen  und  g  definiert durch  f ( x ) =  x + 2  und  g ( x ) = x2   .   Was ist   f + 2 · g  ?

   a): Eine reelle Zahl

   b): Die Abbildung von IR nach IR,  die jedes  x  auf   2 x2 + 2  abbildet

   c): Die Abbildung von IR nach IR,  die jedes  auf   2 x2 + x + 2  abbildet

   d): Die Abbildung von IR nach IR,  die jedes  auf   x3 + 2 x   abbildet 

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Frage 2
Wenn  und  g  Abbildungen und  a  und  b  reelle Zahlen sind, handelt es sich bei   a · f + b · g  stets wieder um eine Abbildung.

Sei   die identische Abbildung und  definiert durch  g ( x ) =  x - 1 .
Welche der folgenden Behauptungen sind für   f + b ·  richtig?

  a):  Für jede reelle Zahl  b  ist    f + b · g  eine Abbildung von  IR  nach  IR.

  b):  Es gibt keine reelle Zahl  mit der Eigenschaft:   f + b · g  ist die Identität.

  c):  Für b = - 1  ist     f + b ·   die Nullabbildung  ( jedes  x  wird auf  0  abgebildet )

  d):  Für b = - 1  ist     f + b · g   nicht bijektiv

  e):  a), b), c) und  d)  sind alle falsch

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Frage 3
Wir erinnern uns: Bezüglich der Vektoraddition bilden die reellen Funktionen eine abelsche Gruppe.

Ist die folgende Behauptung


Wahr     oder   Falsch   ??


Nur bijektive Abbildungen besitzen ein inverses Element
 

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Frage 4
Wir bezeichnen die Nullabbildung mit  o  ( Also  o ( x ) = 0  für jede reelle Zahl  x ) und beachten, dass diese Abbildung das neutrale Element unseres Vektorraumes ist.

Gesucht ist die inverse Abbildung  g  zur Abbildung  f , definiert durch   f ( x ) = x2.

Was triifft zu?

  a):   g ( 4 ) = 2

  b):   g ( 1 ) = 1

  c):   g ( x ) =  1 /  x

  d):   a), b) und c) sind alle falsch.
 

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Frage 5:
 Eine Frage zu möglichen Untervektorräumen des Vektorraumes aller reellen Abbildungen:


  a):  Außer den trivialen (nur Nullabbildung bzw. der ganze Raum) gibt es keine Untervektorräume

  b):  Alle konstante Abbildungen bilden einen Untervektorraum  U1 ( konstant  ⇒  f ( x ) = f ( y )    für alle  x  und  y )

  c):  Alle Polynome bilden einen Untervektorraum  U2   (  Polynom  ⇒  f ( x ) =   anxn +...+ a1x + a0 )

  d):  a), b) und c) sind alle falsch

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Frage 6
Kommen wir zum Begriff  Lineare Hülle

( Zur Erinnerung:  L ( f1, ... ,  fn )  ist die Menge aller Linearkombinationen    a1 f1 + ... + an fn   mit reellen Zahlen  ai  und Funktionen  fn )

Was gilt für die lineare Hülle der identischen Abbildung  L ( id )?

  a):  Sie enthält alle Abbildungen

  b):  Sie enthält alle bijektiven Abbildungen

  c):  Sie enthält nur bijektive Abbildungen

  d):  a), b) und c) sind alle falsch
 

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Frage 7
Wir bleiben bei linearen Hüllen. Die Abbildungen  f , g und h  seien gegeben durch

f ( x ) = x,    g ( x ) = x2    und   h ( x ) = x2 - x

Bitte die richtige(n) Aussage(n) ankreuzen:

  a):  L ( f , g , h )  =  L ( f , g )

  b):  L ( f , g )  =  L ( f , h )

  c):  L ( )  =  L ( g , h )

  d):  a), b) und c) sind alle falsch

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Frage 8
Wie in jedem Vektorraum kann man auch hier untersuchen, ob Vektoren (also Abbildungen)    linear abhängig  oder  linear unabhängig  sind.

Im Folgenden sei  o  die Nullfunktion.

Für Abbildungen  fi  und für reelle Zahlen  ai  gelte     a1 · f1 + a2 · f2 = o   ⇒   a1 = a2 = 0.

 Was stimmt?

  a):   f1 = f2

  b):  ( f1 , f2 )  linear unabhängig

  c):   f1  ist invers zu  f2

  d):   a), b) und c) sind alle falsch

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Frage 9
Wir untersuchen im Folgenden, ob   und  g ,  gegeben durch   f ( x ) = x + 1  und  g ( x ) = x - 1 , linear abhängig sind:

Behauptung :    ( f , g )  linear unabhängig

Beweis :   Gesucht sind alle reelle Zahlen   und  b  mit denen   a · f  +  b · g   =   a · ( x + 1 ) + b · ( x - 1 ) =   (a + b ) · x + ( a- b )    die Nullfunktion  ist.

Wir setzen verschiedene Werte für  x  ein:

   x = 0 :   (  a · f  +  b · g  ) ( 0 ) =    ( a + b ) · 0 + ( a - b )  =  a - b

   x = 1 :   (  a · f  +  b · g  ) ( 1 ) =   ( a + b ) · 1 + ( a - b )  =  2a

Weil es sich um die Nullfunktion handelt, muss gelten  a - b = 0  und  2a = 0 , dies geht nur für a = 0  und   b = 0 .

Damit ist gezeigt:    a · f  + b · g   =    o   ⇒   a= b = 0   ⇒   ( f , g )  linear unabhängig.

Ist dieser Beweis      richtig     oder       falsch   ??
 

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Frage 10
Und was ist mit  Sinus  und  Cosinus ?


  a):  ( sin , cos )  sind linear abhängig

  b):  ( sin , cos )  sind linear unabhängig, der Beweis ist aber sehr kompliziert

  c):  ( sin , cos )  sind linear unabhängig und der Beweis ist nicht länger als vorhin bei Frage 9

  d):  Da es sich nicht um reelle Funktionen handelt, stellt sich die Frage nach linear abhängig nicht.

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Antwort zur Frage 1:

Richtig ist c):


Für die Abbildungen  f  und  g , definiert durch  f ( x ) =  x + 2  und  g ( x ) =  x2 ,   gilt nach Definition

 ( f + 2 · g ) ( x )  =  f ( x ) + 2 · g ( x )  =  ( x + 2 ) + 2 · x2  =  2 x2 + x + 2 

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Antwort zur Frage 5:

Kreuz bei  b) und c):

Wir beschäftigen uns erst mit b) und c):


Die Nullabbildung ist ein konstantes Polynom (alle Koeffizienten ai = 0 ), damit sind die Teilmengen   U1  und  U2  nicht leer.

Wenn  f  und  g  konstante Abbildungen  [Polynome] sind, ist  f + g auch konstant  [bzw. ein Polynom].
  (Wie addiert man Polynome f ( x ) =  anxn + ... + a1x + a0  und   g ( x ) =  bmxm + ... + b1x + b0 ?)

Wenn eine  konstante Abbildung  [Polynom] ist und  eine reelle Zahl, ist  a · ebenfalls konstant  [bzw. ein Polynom]

Damit haben wir in Kurzform nachgewiesen, dass  U1  und  U2  Untervektorräume sind.

Jetzt zu a) und d):
Weil es reelle Abbildungen gibt, die keine Polynome sind  (wie  die Sinusfunktion), handelt es sich um  echte  Unterräume, a) und somit auch d) sind falsch.
 

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Antwort zur Frage 2:

Richtig sind  a) und d):


Für die Identität ( x ) =  x   und für  g( x ) =  x - 1    ist    ( f + b · g ) ( x )  =  x + b · ( x - 1 ) =  ( 1 + b ) x - b .

   a):  Richtig, für jede reelle Zahl  ist   ( 1 + b ) x - b  auch eine reelle Zahl.

   b):  Falsch, für  b = 0  ist  f + b · g  =  die identische Abbildung.

   c):  Falsch, für  b = - 1  ist    ( f + (-1) · g ) ( x )  =    ( 1 + (-1) ) x - (-1)  =  1  nicht die Nullabbildung.

   d):  Richtig, denn jede reelle Zahl wird auf die Zahl  1  abgebildet  ( ⇒ nicht injektiv)
 

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Antwort zur Frage 9

Das Kreuz gehört zu richtig:


Hoffentlich keinen Fehler gefunden (Es sollte nämlich keinen geben)!

Dieser Beweis zeigt einwandfrei die lineare Unabhängigkeit der Abbildungen   f   und   g .

 

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Antwort zur Frage 4:

Nur  d)  ist  korrekt:


Die Summe aus Abbildung und inverser Abbildung muss für jede reelle Zahl  x  die Zahl  0  ergeben.


Die inverse Abbildung zu   f , definiert durch  f( x )  =  x2, ist daher die Abbildung  g , definiert durch  g( x )  =  - x


Damit ist offensichtlich  c)  falsch. Wegen  g ( 4 ) = - 16  und  g ( 1 ) = - 1  sind auch  a)  und  b)  falsch.

 

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Antwort zur Frage 8:

Nur  b)  ist richtig:


Zur  Erinnerung (Kurzform): 

  ( v1,...,vn )  heißt linear unabhängig  :⇔   a1v1 +...+ anvn  =  o   ⇒  a1 = ... = an = 0

  a1 · f1 + a2 · f2 = o  ⇒  a1 = a2 = 0  bedeutet also nichts anderes als die lineare Unabhängigkeit von  ( f1f2) , dies war die Behauptung b).

a) und c) sind falsch, dies sieht man am Beispiel  f1( x ) = x + 1  ,   f2( x ) = x - 1  :

Hier gilt   a1 · f1 + a2 · f2 = o  ⇒  a1 = a2 = 0   (hiermit beschäftigen wir uns gleich), aber es ist weder
   f=   f2 , noch  ist   f invers zu  f2.
 

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Antwort zur Frage 7:

Kreuze bei a) und b):


Es ist  f ( x ) = x,    g ( x ) =  x2,   h ( x ) =  x2 - x .
 

a):  L ( f , g , h )  =   L ( f , g )  :  Jede Linearkombination  von   und  gehört auch zur linken Menge ( man addiere einfach  0 · h ).
Wegen  h = g - f  gilt  h &isin L ( f , g ).

Die beiden Mengen sind gleich und die Behauptung ist wahr.


b):  L ( f , g )  =  L ( f, h )  :  Wegen   g = f + h  ist  g &isin L ( f , h ), also  L ( f , h )  =  L ( f, g, h ).
Zusammen mit a) (hier wurde  L ( f , g, h )  =  L ( f, g )  gezeigt) folgt die Behauptung)


c):  L ( )  =  L ( g , h )  ist falsch, zur rechten Menge gehört zum Beispiel  g,  L ( f )  besteht aber nur aus Abbildungen der Art   a · x    (siehe Frage  5 )
 

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Antwort zur Frage 10:

Kreuz bei  c):

Wir untersuchen  sin  und  cos  auf lineare (Un)abhängigkeit.

Behauptung :    ( sin , cos ) linear unabhängig

Beweis :   Für welche reellen Zahlen  a  und  b  ist   a · sin + b · cos  die Nullfunktion  o ?

Wir setzen für  die Werte   0  und  π / 2  ein:

x = 0 :         a · sin ( 0 )  + b · cos ( 0 )  =   a · 0 +  b · 1  =  b

x = π / 2 :    a · sin ( π / 2 )  + b · cos ( π / 2 )  =   a · 1 + b · 0   = a

Weil es sich um die Nullfunktion handelt, muss gelten   b = 0  und  a = 0 .


Damit ist die lineare Unabhängigkeit von   ( sin , cos )  gezeigt.
 


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Antwort zur Frage 6:

Kreuz bei d):

Die lineare Hülle  L ( id )  besteht  genau aus allen Abbildungen   mit    f ( x ) = a · x , wobei für die reelle Zahl  a  auch  a = 0  zugelassen ist.

  a) und b):   Die Abbildung   mit  g ( x ) = x3  ist bijektiv, gehört aber nicht zur linearen Hülle, also keine Kreuze bei a) und b).

  c): Für  a = 0  gehört die nicht bijektive Nullabbildung dazu, ebenfalls falsch.

  d): Richtig, denn a), b) und c) sind alle falsch.
 


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Antwort zur Frage 3:

Kreuz bei Falsch:

In einer Gruppe besitzt  jedes  Element (genau) ein Inverses, also in der Gruppe der Abbildungen auch jede nicht bijektive Abbildung.

(Beachte:  Die vorliegende Verknüpfung ist  nicht  die Hintereinanderausführung, sondern die Addition von Abbildungen)

 


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Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
-----
Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 

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Einzelheiten zur Definition des Vektorraumes:


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© H. J. Samaga,  10.05.02 / 01.09.05