Hinweis: In diesem Fragebogen steht  IR  für die Menge der reellen Zahlen und  V  für einen reellen Vektorraum mit Nullvektor o.

Jedes richtige Kreuz bringt einen Pluspunkt, jedes falsche einen Minuspunkt!


 

Die Fragen: Wahr oder Falsch?


Wahr Falsch
In  V  gibt es  α,β ∈ IR  und  x∈ V  mit  ( α + β ) x = α x + β x
Im reellen Vektorraum  IR3  gibt es einen Vektor  x  mit  x + x = o
IR  ist ein Untervektorraum von  IR3
Die Vereinigung von Untervektorräumen ist stets ebenfalls ein Untervektorraum
Es gibt drei Untervektorräume von  V, deren Durchschnitt leer ist
Der Durchschnitt von linearen Hüllen ist stets eine lineare Hülle
Für alle Vektoren  u,v  gilt  L(u,v) = L(v,u)
Für alle Vektoren  u,v  gilt  L(u,v) = L(u + v,v)
Sechs Vektoren des  IR5  sind stets linear abhängig
Sechs Vektoren des  IR8  können linear unabhängig sein
  Zur  Kontrolle     oder zur      AUSWERTUNG

 
 
 
 
 
 
 


 





 
 
Erzielt  Punkte von maximal 
Umgerechnet  Prozent
Dies ist 
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Benötigte Zeit  Sekunden
Damit werden Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt

 

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  H. J. Samaga,  11.05.05
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



Die Antworten: Wahr oder Falsch?

Wahr:  Dies ist eine der vier Bedingungen, die für die Skalarmultiplikation verlangt werden.

Wahr:  Der Nullvektor hat (als Einziger) diese Eigenschaft.

Falsch:  Damit man von einem Untervektorraum sprechen kann, muss eine Teilmenge der zum Vektorraum gehörenden Gruppe vorliegen, aber die reellen Zahlen sind keine Teilmenge des Anschauungsraumes  IR3 . Bitte merken: Die reelle Achse besteht in diesem Fall nicht aus Zahlen, sondern aus Zahltripel  (r,0,0).

Falsch:   Die Vereinigung ist nur dann ein Unterraum, wenn die zu vereinigenden Mengen ineinander enthalten sind (Satz der Vorlesung).

Falsch:   Der Durchschnitt von Unterräumen ist stets wieder ein Unterraum. Er enthält den Nullvektor und ist deshalb nie die leere Menge.

Wahr:  Lineare Hüllen sind Untervektoräume und der Durchschnitt von Unterräumen ist nach einem Satz wieder ein Unterraum (und damit die lineare Hülle seiner Basisvektoren)

Wahr:  Jedes Element einer linearen Hülle besteht aus einer Summe von Vektoren, und bei Summen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Summanden an.

Wahr:   Sieht man am Besten so ein:  L(u,v) = L(u,v,u+v), denn u+v ist linear abhängig von u und v. Weil u auch von v und u+v linear abhängt, ist  L(u,v,u+v) = L(u+v,v)

Wahr:  Die Dimension gibt stets an, wieviele Vektoren maximal linear unabhängig sein können. Wegen 6 > 5 sind sechs Vektoren eines fünfdimensionalen Vektorraumes zwingend linear abhängig.

Wahr:  Die ersten sechs Vektoren  e1,..., e6  der kanonischen Basis sind linear unabhängig.

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